2020-2021学年高考数学理科模拟试题二及答案解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合A={﹣1，0，1}，B={x|lgx≤0}，则A∩B=（　　）

A．{﹣1，0，1}    B．{1}    C．{﹣1}    D．{﹣1，1}

2．设z1=1+i，复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，则=（　　）

A．i    B．﹣i    C．﹣1    D．1

3．设函数（e为自然底数），则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（　　）

A．0＜x＜1    B．0＜x＜4    C．0＜x＜3    D．3＜x＜4

4．已知向量与的夹角为， =（2，0），||=1，则|﹣2|=（　　）

A．    B．    C．2    D．4

5．执行如图所示的程序框图，若输出的k值为8，则判断框图可填入的条件是（　　）

A．    B．    C．    D．

6．等差数列{an}中，an＞0，a12+a72+2a1a7=4，则它的前7项的和等于（　　）

A．    B．5    C．    D．7

7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2a的直角三角形，侧视图是半径为a的半圆，则该几何体的体积是（　　）

A．πa3    B．πa3    C．πa3    D．2πa3

8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（　　）

A．关于点（，0）对称    B．关于直线x=对称

C．关于点（，0）对称    D．关于直线x=对称

9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的一点P（x0，y0）到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

10．若x，y满足不等式组，且y+x的最大值为2，则实数m的值为（　　）

A．﹣2    B．    C．1    D．

11．已知函数f（x）在（﹣∞，2]为增函数，且f（x+2）是R上的偶函数，若f（a）≤f（3），则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤1    B．a≥3    C．1≤a≤3    D．a≤1或a≥3

12．直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（　　）

A．1    B．    C．    D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设（5x﹣）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为______．

14．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的表面积是______．

15．已知抛物线y2=2x的焦点为F，过F点作斜率为的直线交抛物线于A，B两点，其中第一象限内的交点为A，则=______．

16．已知数列{an}中，a1=2，且an+1﹣4an=22n+1，则数列{}的前n项和为______．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）（2016•兴安盟一模）已知函数，x∈R．

（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；

（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．

18．（12分）（2016•兴安盟一模）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（a，b）（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．

（Ⅰ）求某个家庭得分为（5，3）的概率？

（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？

（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望．

19．（12分）（2016•兴安盟一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AD⊥A1B，垂足为D．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面A1BC；

（Ⅱ）若，AB=BC=1，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的余弦值．

20．（12分）（2016•兴安盟一模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足+=t（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．

21．（12分）（2016•兴安盟一模）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；

（Ⅲ）求证：．

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）（2016•兴安盟一模）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．

（1）求证：AG•EF=CE•GD；

（2）求证：．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2016•兴安盟一模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线L的参数方程为（t为参数），直线L与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．

[选修4-5：不等式选讲]

24．（2016•兴安盟一模）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．

（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；

（2）若f（x）≥+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合A={﹣1，0，1}，B={x|lgx≤0}，则A∩B=（　　）

A．{﹣1，0，1}    B．{1}    C．{﹣1}    D．{﹣1，1}

【考点】对数函数的单调性与特殊点．

【分析】解对数不等式求得B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．

【解答】解：集合A={﹣1，0，1}，B={x|lgx≤0}={x|0＜x≤1}，

则A∩B={1}，

故选：B．

【点评】本题主要考查对数不等式的解法，两个集合的交集的定义与求法，属于基础题．

2．设z1=1+i，复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，则=（　　）

A．i    B．﹣i    C．﹣1    D．1

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由已知求得复数z2，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：∵z1=1+i，且复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，

∴z2=1﹣i，

则=．

故选：A．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

3．设函数（e为自然底数），则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（　　）

A．0＜x＜1    B．0＜x＜4    C．0＜x＜3    D．3＜x＜4

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】由f（x）＜1，可得x2﹣3x＜0，解得x范围，即可判断出结论．

【解答】解：由f（x）＜1，可得x2﹣3x＜0，解得0＜x＜3，

可得：0＜x＜1是使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件．

故选：A．

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．已知向量与的夹角为， =（2，0），||=1，则|﹣2|=（　　）

A．    B．    C．2    D．4

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】求出及||，计算（）2的数值再开方即可．

【解答】解：||=2， =||||cos=1，

∴（）2=﹣4+4=4．

∴|﹣2|=2．

故选C．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．

5．执行如图所示的程序框图，若输出的k值为8，则判断框图可填入的条件是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S≥时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S≤．

【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，

因此S=1+=（此时k=6），

因此S=1+=（此时k=8），即当S≥时，退出循环，输出k的值为8，

因此判断框图可填入的进入循环的条件是：S≤．

故选：C．

【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．

6．等差数列{an}中，an＞0，a12+a72+2a1a7=4，则它的前7项的和等于（　　）

A．    B．5    C．    D．7

【考点】等差数列的性质．

【分析】由已知条件利用等差数列的性质推导出a1+a7=2，由此能求出S7．

【解答】解：∵等差数列{an}中，an＞0，a12+a72+2a1a7=4，

∴（a1+a7）2=4，

∴a1+a7=2，

∴S7=（a1+a7）==7．

故选：D．

【点评】本题考查等差数列的第7项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n基和公式的灵活运用．

7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2a的直角三角形，侧视图是半径为a的半圆，则该几何体的体积是（　　）

A．πa3    B．πa3    C．πa3    D．2πa3

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知这是用轴截面分成两部分的半个圆锥，正视图是斜边长为2a的直角三角形，侧视图是半径为a的半圆，得到圆锥是一个底面半径是a，母线长是2a，利用圆锥的体积公式得到结果．

【解答】解：由三视图可知这是用轴截面分成两部分的半个圆锥，

∵正视图是斜边长为2a的直角三角形，侧视图是半径为a的半圆，

∴圆锥是一个底面半径是a，母线长是2a，

∴圆锥的高是=a，

∴半个圆锥的体积是××π×a2×a=πa3，

故选C．

【点评】本题考查由三视图得到直观图，考查求简单几何体的体积，本题不是一个完整的圆锥，只是圆锥的一部分，这样不好看出直观图．

8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（　　）

A．关于点（，0）对称    B．关于直线x=对称

C．关于点（，0）对称    D．关于直线x=对称

【考点】正弦函数的图象．

【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．

【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为

y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，

故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣） 关于直线x=对称，

故选：D．

【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．

9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的一点P（x0，y0）到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据双曲线的定义知a，根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，再用平方关系可算出c=，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．

【解答】解：根据双曲线的定义知，2a=8，∴a=4，

双曲线两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0，

点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为×=，

即=，

又已知双曲线右支上的一点P（x0，y0），∴，

∴=，即，

∴b=2，∴c==2，

则双曲线的离心率为e==．

故选：A．

【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与到左焦点的距离与到右焦点的距离之差，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．

10．若x，y满足不等式组，且y+x的最大值为2，则实数m的值为（　　）

A．﹣2    B．    C．1    D．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．

【解答】解：∵y+x的最大值为2，

∴此时满足y+x=2，

作出不等式组对应的平面区域如图：

则由，解得，即A（1，），

同时A也在直线y=mx上，

则m=，

故选：D

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

11．已知函数f（x）在（﹣∞，2]为增函数，且f（x+2）是R上的偶函数，若f（a）≤f（3），则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤1    B．a≥3    C．1≤a≤3    D．a≤1或a≥3

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】由f（x+2）是R上的偶函数求出图象的对称轴为x=2，从而由f（x）在（﹣∞，2]上是增函数，判断出f（x）在（2，+∞）上是减函数，由f（a）≤f（3），结合函数的单调性求出a的范围．

【解答】解：∵f（x+2）是R上的偶函数，∴f（x+2）=f（﹣x+2）

∴f（x）图象的对称轴为x=2，

∵f（x）在（﹣∞，2]上是增函数，∴f（x）在（2，+∞）上是减函数，

∵f（a）≤f（3），且f（3）=f（1），

∴a≤1或a≥3，

故选D．

【点评】本题主要考查了偶函数定义的应用，求出函数的对称轴，判断出函数在定义域上的单调性，本题解答中容易漏点，认为由f（a）≤f（3），直接得到a≥3，突破点在于求出函数的对称轴．

12．直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（　　）

A．1    B．    C．    D．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；两点间距离公式的应用．

【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．

【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求导数得

y′=2x﹣=

当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，

当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数

所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，

所求t的值为．

故选B．

【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设（5x﹣）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为　150　．

【考点】二项式定理的应用．

【分析】根据M﹣N=240，解得 2n 的值，可得 n=4．再求出（5x﹣）n的展开式的通项公式，令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中x的系数．

【解答】解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．

再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得 4n﹣2n=240，即 22n﹣2n﹣240=0．

解得 2n=16，或 2n=﹣15（舍去），∴n=4．

（5x﹣）n的展开式的通项公式为 Tr+1=•（5x）4﹣r•（﹣1）r•=（﹣1）r••54﹣r•．

令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x的系数为 （﹣1）r••54﹣r=1×6×25=150，

故答案为 150•

【点评】本题主要考查二项式的各项系数和与二项式系数和的关系，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

14．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的表面积是　16π　．

【考点】球的体积和表面积．

【分析】根据题意作出图形．三棱锥S﹣ABC的体积可看成是两个三棱锥S﹣ABO和C﹣ABO的体积和，求出球的半径，即可求出球O的表面积．

【解答】解：根据题意作出图形．设球心为O，球的半径为r．

∵SC⊥OA，SC⊥OB，∴SC⊥平面AOB．

三棱锥S﹣ABC的体积可看成是两个三棱锥S﹣ABO和C﹣ABO的体积和．

∴V三棱锥S﹣ABC=V三棱锥S﹣ABO+V三棱锥C﹣ABO

=．

∴球的表面积是S=16π．

故答案为：16π．

【点评】本题考查球O的表面积，考查三棱锥S﹣ABC的体积，确定球的半径是关键．

15．已知抛物线y2=2x的焦点为F，过F点作斜率为的直线交抛物线于A，B两点，其中第一象限内的交点为A，则=　3　．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为F（，0），得到直线AB的方程为y=（x﹣）．将直线AB方程与抛物线y2=2x消去x，得到y2﹣y﹣1=0，解出点A、B的纵坐标，进而可得的值．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵抛物线y2=2x的焦点为F（，0），直线AB经过点F且斜率k=，

∴直线AB的方程为y=（x﹣），

将直线AB方程与抛物线y2=2x消去x，

可得y2﹣y﹣1=0，

∵点A是第一象限内的交点，

∴解方程得y1=，y2=﹣．

因此=3．

故答案为：3

【点评】本题给出经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求线段AF、BF的比值．着重考查了抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．

16．已知数列{an}中，a1=2，且an+1﹣4an=22n+1，则数列{}的前n项和为　　．

【考点】数列递推式．

【分析】根据数列的递推公式得到{an+22n}是以6为首项以4为等比的等比数列，即可求出an的通项公式，继而得到数列{}为常数列，问题得以解决．

【解答】解：∵an+1﹣4an=22n+1，

∴an+1+22n+1=4（an+22n），

∵a1+22=2+4=6，

∴{an+22n}是以6为首项以4为等比的等比数列，

∴an+22n=6×4n﹣1，

∴an=6×4n﹣1﹣22n=×4n，

∴=

∴数列{}的前n项和Tn=++…+=，

故答案为：．

【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的通项公式，以及前n项和公式，属于中档题．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）（2016•兴安盟一模）已知函数，x∈R．

（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；

（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．

【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简三角函数，即可求函数f（x）的最大值和最小正周期；

（2）先求出C，再利用sin（A+C）=2sinA，结合正弦、余弦定理，可求a，b的值．

【解答】解：（1）…．（3分）

∵，∴，∴f（x）的最大值为0，

最小正周期是…（6分）

（2）由，可得

∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴

∴，∴

∵sin（A+C）=2sinA，∴由正弦定理得①…（9分）

由余弦定理得

∵c=3

∴9=a2+b2﹣ab②

由①②解得，…（12分）

【点评】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查正弦、余弦定理的运用，属于中档题．

18．（12分）（2016•兴安盟一模）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（a，b）（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．

（Ⅰ）求某个家庭得分为（5，3）的概率？

（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？

（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望．

【考点】概率的应用；相互事件的概率乘法公式．

【分析】（1）记某个家庭得分情况为（5，3）为事件A，由几何概型公式可得，得5分与3分的概率，由相互事件概率的乘法公式，计算可得答案；

（2）记某个家庭在游戏中获奖为事件B，分析可得获奖的得分包括（5，5），（5，3），（3，5）三种情况，由互斥事件的概率加法公式，计算可得答案；

（3）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是，分析可得X可取的值为0、1、2、3、4、5，由n次重复实验中恰有k次发生的概率公式计算可得X取0、1、2、3、4、5时的概率，列表可得X的分步列，由期望的计算公式可得X的期望．

【解答】解：（Ⅰ）记某个家庭得分情况为（5，3）为事件A，

由几何概型公式可得，得5分与3分的概率均为；

P（A）=×=．

所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为．

（Ⅱ）记某个家庭在游戏中获奖为事件B，则符合获奖条件的得分包括（5，5），（5，3），（3，5），共3类情况．

所以P（B）=×+×+×=，

所以某个家庭获奖的概率为．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是，而X可取的值为0、1、2、3、4、5，

P（X=0）=C50（）0（1﹣）5=，

P（X=1）=C51（）1（1﹣）4=，

P（X=2）=C52（）2（1﹣）3=，

P（X=3）=C53（）3（1﹣）2=，

P（X=4）=C54（）4（1﹣）1=，

P（X=5）=C55（）5（1﹣）0=，

所以X分布列为：

所以X的数学期望为．

【点评】本题考查互斥事件、相互事件的概率计算以及随机变量的分步列、期望的计算，计算量比较大，注意准确记忆公式并正确计算．

19．（12分）（2016•兴安盟一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AD⊥A1B，垂足为D．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面A1BC；

（Ⅱ）若，AB=BC=1，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）推导出A1A⊥BC，AD⊥BC．AD⊥A1B，由此能证明AD⊥平面A1BC． 

（Ⅱ）以B为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出平面PA1B与平面A1BC的夹角的余弦值．

【解答】（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，

∴A1A⊥BC，…（2分）

AB∩AA1=A，又AB⊥BC∴BC⊥面ABA1，…（4分）

又AD⊂面ABA1又AD⊥BC．AD⊥A1B，A1B∩BC=B，

∴AD⊥平面A1BC． …（5分）

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，如图，以B为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

正向与向量同向建立空间直角坐标系B﹣xyz…（6分）

，

则，…（7分），

设平面PA1B的一个法向量

则即，可得…（8分）

∵…（9分）

在Rt△ABD中，，则…（10分）

可得，，…（11分）

所以

∴平面PA1B与平面A1BC的夹角的余弦值是．…（12分）

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

20．（12分）（2016•兴安盟一模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足+=t（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】（Ⅰ）由已知条件得，，由此能求出椭圆C的方程．

（Ⅱ）设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出t的最大整数值．

【解答】解：（Ⅰ）由题知，

∴．即a2=2b2．

又∴，

∴a2=2，b2=1．

∴椭圆C的方程为．…（5分）

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．

设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．

△=k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，

.，…（8分）

∵，

∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），

，．

∵点P在椭圆上，∴，

∴16k2=t2（1+2k2）…（12分）

，

∴t的最大整数值为1．…（14分）

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

21．（12分）（2016•兴安盟一模）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；

（Ⅲ）求证：．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，a﹣alna﹣1≥0对a＞0恒成立，即可求实数a的值；

（Ⅲ）方法一：要证原不等式成立，只需证：，即证：；方法二：n≥2时， ==，即可证明结论成立．

【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=ex﹣a（1分）

∴a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．      （2分）

a＞0时，x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．（4分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），a＞0时，f（x）min=f（lna），∴f（lna）≥0（5分）

即a﹣alna﹣1≥0，记g（a）=a﹣alna﹣1（a＞0）∵g′（a）=1﹣（lna+1）=﹣lna∴g（a）在（0，1）上增，在（1，+∞）上递减∴g（a）≤g（1）=0

故g（a）=0，得a=1（18分）

（Ⅲ）证明：方法一：由（Ⅱ）ex≥x+1，即ln（1+x）≤x（x＞﹣1），则x＞0时，ln（1+x）＜x

要证原不等式成立，只需证：，即证：

下证①（9分）

⇔4（32k﹣2•3k+1）≥3•32k﹣4•3k+1⇔32k﹣4•3k+3≥0⇔（3k﹣1）（3k﹣3）≥0

①中令k=1，2，…，n，各式相加，得=＜1成立，

故原不等式成立．                                               （14分）

方法二：n=1时，，

n≥2时， ==，

n≥2时，＜2

【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，函数的最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）（2016•兴安盟一模）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．

（1）求证：AG•EF=CE•GD；

（2）求证：．

【考点】圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．

【分析】（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．

（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．

【解答】证明：（1）连接AB，AC，

∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，

∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，

∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，

∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，

∴∠DAG=∠ECF，

∴△CEF∽△AGD，

∴，

∴AG•EF=CE•GD

（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，

∠G=∠G，

∴△DFG∽△ADG，

∴DG2=AG•GF，

由（1）知，

∴．

【点评】证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2016•兴安盟一模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线L的参数方程为（t为参数），直线L与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．

【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（1）利用公式化简ρ2sin2θ=ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程；

（2）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到方程t2+t﹣4=0；

由根与系数的关系得t1+t2，t1t2，求出|AB|=|t1﹣t2|．

【解答】解：（1）把代入ρ2sin2θ=ρcosθ中，

化简，得y2=x，

∴曲线C的直角坐标方程为y2=x；

（2）把代入曲线C的普通方程y2=x中，

整理得，t2+t﹣4=0，且△＞0总成立；

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

∵t1+t2=﹣，t1t2=﹣4，

∴|AB|=|t1﹣t2|==3．

【点评】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应把参数方程与极坐标化为普通方程，再进行解答，是基础题．

[选修4-5：不等式选讲]

24．（2016•兴安盟一模）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．

（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；

（2）若f（x）≥+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

【考点】函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．

【分析】（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；

（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．

所以函数f（x）的最小值为4．

（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．

当a＜0时，上式显然成立；

当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．

综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．

【点评】本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决．