2021-2022学年湖北省黄冈市高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题

1．若集合，则下列选项正确的是（）

A． ． ． ．

【答案】C

【分析】根据集合的交集与并集运算定义即可求解．

【详解】由，故A错，C正确；

由，故B，D错；

故选：C

2．若点在角的终边上，则的值为（）

A． ． ． ．

【答案】B

【分析】根据三角函数定义进行求解.

【详解】由三角函数定义可知：

故选：B

3．若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2 a ， a]上的偶函数，则＝（）

A．1 ．2 ．3 ．4

【答案】A

【分析】利用偶函数的图象关于轴对称，可列出方程组，即可得到答案；

【详解】二次函数为偶函数，对称轴为轴，且区间[2－2 a ， a]关于原点对称，

故选：A

4．德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数的性质：①；②的值域为；③为奇函数；④，其中表述正确的个数是（）

A．1 ．2 ．3 ．4

【答案】C

【分析】①②可以直接根据题意得到，③④可以利用题意进行推导出.

【详解】因为是无理数，所以，①正确；

的函数值是1或0，所以的值域为，②正确；

若是有理数，则是有理数，则，若是无理数，则是无理数，则，综上：是偶函数，③错误；

若是有理数，则是有理数，则，若是无理数，则是无理数，，④正确，所以表述正确个数为3.

故选：C

5．已知函数，若，则实数a的取值范围是（）

A． ．  ． ．

【答案】A

【分析】构造函数，容易判断为奇函数，且在R上单调递增，进而将原不等式转化为，最后根据单调性求得答案.

【详解】设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a >1－2a，∴ a >．

故选：A.

6．已知实数a的取值能使函数的值域为，实数b的取值能使函数的值域为，则（）

A．4 ．5 ．6 ．7

【答案】B

【分析】根据题意得到，根据二次函数最小值求出，进而求出答案.

【详解】依题意知：的值域为，则若函数的值域为，则的最小值为2，令解得：

∴5．

故选：B

7．函数的图像大致是（）

A． ．

C． ．

【答案】A

【分析】先求解函数定义域，进而化简为，判断函数的奇偶性和函数值的符号，通过排除法即可得出结果．

【详解】∵，∴函数定义域为关于原点对称，

，函数为奇函数，由

易得的图象为A．

故选：A

8．已知函数，则（）．

A．2019 ．2021 ．2020 ．2022

【答案】B

【分析】由题意可得，求的和，利用倒序相加即可得到答案.

【详解】因为，

所以.

.

故选：B.

二、多选题

9．已知，不等式不成立，则下列的取值不正确的是（）

A． ． ． ．

【答案】BCD

【分析】特称命题的否定为全称命题，，不等式不成立，等价于，不等式恒成立，再利用即可得到答案.

【详解】已知，不等式不成立，等价于，不等式恒成立，.只要的取值是的子集就正确.则选项BCD都不正确.

故选：BCD.

10．已知，，那么的可能值为（）

A． ． ． ．

【答案】BD

【分析】根据题干条件和同角三角函数的平方关系建立方程组，求出正弦和余弦，进而求出正切值.

【详解】因为①，又sin2α+cos2α=1②，

联立①②，解得或，

因为，所以或．

故选：BD

11．已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是（）

A．

B．函数在上单调递减

C．

D．满足不等式的的取值范围为

【答案】ABD

【分析】令求出的值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明单调性可判断B；由以及可判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：令，得，所以，故选项A正确；

对于B：令，得，所以，

任取，，且，则，

因为，所以，所以，所以在上单调递减，故选项B正确；

对于C：

=

故选项C不正确；

对于D：因为，由可得，所以，所以不等式等价于即，因为在上单调递减，

所以解得：，所以原不等式的解集为，故选项D正确；

故选：ABD

12．已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则下列结论正确的是（）

A． ．

C． ．

【答案】BCD

【分析】作出函数与的图象，数形结合可判断A选项；求出，，利用基本不等式可判断B选项，利用双勾函数的单调性可判断D选项；利用二次函数的对称性可求得的值，可判断C选项的正误.

【详解】在同一个坐标系内作出和的图象，如下图所示：

要使方程有四个不同的根，只需，故A错误；

对于B，由图可知，

由可得，所以，，即，

所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，故B对；

对于C，由图可知，点与点关于直线对称，则，

所以，，故C对；

对于D，由得：，

令，其中，任取、且，

则，

因为，则，，故，

即函数在上单调递增，因为，则，故D对.

故选：BCD.

三、填空题

13．木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统木雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气．如图是一扇环形木雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知，，，则该扇环形木雕的面积为________．

【答案】

【分析】根据扇形的面积公式计算即可．

【详解】环形面积.

故答案为：．

14．若函数在区间[1，2]上的最小值为3，则的最小值为_______．

【答案】

【分析】先根据一次函数单调性及最小值求出，再变形后利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【详解】单调递增，所以在区间[1，2]上，所以，因为，所以

，当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：

15．已知函数满足：①；②，则的值为______．

【答案】3

【分析】根据题意得到函数在上的最小值为-8，分与两种情况表达出相应的最小值，列出方程，求出的值，注意舍去不合要求的的值.

【详解】因为函数满足： ①；②，

即函数在上的最小值为-8，

因为，对称轴是，开口向上，

当时，在单调递减，在单调递增，

故的最小值为，解得，，不合题意，

当时，在单调递减，

解得，，符合题意．综上所述，．

故答案为：3

四、双空题

16．已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数的取值范围为__________ ，方程解的个数为_________．

【答案】

【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围；在方程中，设，作出函数的图象，数形结合可得出函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再利用数形结合思想得出方程、、的根的个数，即可得解.

【详解】函数，当时，，则，此时，

由题意可知，直线与函数的图象有两个不同的交点，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，故；

方程中，设，

即，即函数与直线的交点问题，

作出函数的图象如下图所示：

因为，函数与有个交点，

即有三个根、、，其中、、，

再结合图象可知，方程有个不同的根，方程有个根，

方程有个根，

综上所述，方程有个不同的解.

故答案为：；.

五、解答题

17．化简求值

(1)；

(2)若，求的值

【答案】(1)2；

(2).

【分析】（1）根据指数的运算法则即可求得答案；

（2）先通过诱导公式将原式化简，进而将代入即可求得答案.

(1)

=1+=2．

(2)

∵原式=

=．∴当时，原式=．

18．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在区间上的最小值和最大值．

【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为；

(2)最大值为，最小值为.

【分析】（1）解不等式可得出函数的单调递增区间，解不等式可得出函数的单调递减区间；

（2）由可求得的取值范围，利用余弦型函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值和最大值.

(1)

解：因为，

令，，得，，

令，，得，，

故函数的递调递增区间为；单调递减区间为.

(2)

解：当时，，

当时，函数取最小值，即，

当时，函数取最大值，即.

因此，函数在区间上的最小值为，最大值为.

19．2020年我国面对前所未知，突如其来，来势汹汹的新冠肺炎疫情，出台了一系列助力复工复产好．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，，平均每趟快递车辆的载件个数(单位：个)与发车时间间隔t近似地满足，其中．

(1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1600个，试求发车时间间隔t的值；

(2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益(单位：元)，问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益(结果取整数)．

【答案】(1)

(2)发车时间间隔为6分钟时，净收益最大为140（元）

【分析】（1）根据，分段讨论求解；

（2）建立净收益函数得，求其最大值即可.

(1)

解：当时，，不满足题意，舍去． 

当时，，即．

解得（舍）或．

∵且，∴．

所以发车时间间隔为5分钟．

(2)

由题意可得．

当，时，（元），

当且仅当，即时，等号成立，

当，时，（元）

所以发车时间间隔为6分钟时，净收益最大为140（元）．

20．已知函数，．

(1)求的最大值及取最大值时的值；

(2)设实数，求方程存在8个不等的实数根时的取值范围．

【答案】(1)当，，时， 

(2)

【分析】（1）去掉绝对值，化为分段函数，求出每一段上的最大值；（2）令，问题转化为在上存在两个相异的实根，进而列出不等式组，求出的取值范围.

(1)

∵，

∴当时， 

∴当时， ．

故当时， ．

(2)

令，则，使方程存在8个不等的实数根，则方程在上存在两个相异的实根， 

令，则，解得：．

故所求的的取值范围是．

21．已知函数f (x)＝x2－4x＋a，g(x)＝ax＋5－a．

(1)若函数y＝f (x)在区间[－1，0]上存在零点，求实数a的取值范围；

(2)若对任意的x1∈[-1，3]，总存在x2∈[-1，3]，使得f (x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)[－5，0]

(2)

【分析】（1）根据二次函数的单调性及零点存在性定理建立不等式求解即可；

（2）由题意转化为当x∈[-1，3]时函数y＝f (x)的函数值组成的集合为函数y＝g(x)的函数值组成的集合的子集，先求出的值域，在分类讨论求的值域，根据子集建立不等式组求解.

(1)

因为函数f (x)的对称轴是x＝2，

所以y＝f (x)在区间[－1，0]上是减函数，

因为函数y＝f (x)在区间[－1，0]上存在零点，则必有

即解得－5≤a≤0．

故所求实数a的取值范围[－5，0]．

(2)

若对任意的x1∈[-1，3]，总存在x2∈[-1，3]，

使得f (x1)＝g(x2)成立，只需当x∈[-1，3]时函数y＝f (x)的函数值组成的集合为函数y＝g(x)的函数值组成的集合的子集．

f (x)＝x2－4x＋a在区间x∈[-1，3]的函数值组成的集合为[a－4，a＋5]，

①当a＝0时，g(x)＝5为常数，不符合题意，舍去；

②当a>0时，g(x)在区间[-1，3]的值域为[5－2a，5+2a]，

所以， 解得．

③当a<0时，g(x)在区间[-1，3]的值域为[5+2a， 5－2a]，

所以，．

综上所述，实数a的取值范围为．

22．已知函数的定义域为，且满足：对任意，都有．

(1)求证：函数为奇函数；

(2)若当，<0，求证： 在上单调递减；

(3)在（2）的条件下解不等式： ．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用赋值法和奇函数的定义，即可得到答案；

（2）对，且，证明，即可得到答案；

（3）利用奇函数的性质，将不等式等价于：，从而利用单调性可得不等式组，解不等式即可得到答案；

(1)

因为函数的定义域为关于原点对称，

由，

取x=y=0，得，∴．

取y=-x，则，∴，故函数为奇函数．

(2)

对，且，则，

由，得，∴，

又， ∴，

∴，由，<0知

即，故在上单调递减．

(3)

（3）由（1）和（2）知函数既为奇函数，同时在上单调递减，

则不等式等价于：，

∴，解得，故不等式的解集为．