高数公式与定义高级版

一、函数：五大类基本初等函数

幂函数，指数函数，对数函数

反函数（与原函数关于Y=X相对称）

三角函数：正割函数，余割

反三角函数：（收敛）（发散） 

 （收敛）（发散）

收敛的界限是（-1,1）

函数特性：单调性 奇偶性 有界性 周期性

二、极限

1、数列的极限（收敛·发散）

收敛数列的性质（唯一·有界·保号·）

Ps:函数化简到哪一步可以带数值？（化简到只余一个X项或上下X的次数一致）

2、函数的极限

·极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等

·函数极限的性质（唯一·局部有界·局部保号）

·夹逼准则

·单调有界函数必有极限

（1）两个重要极限

·

·

（2）无穷小：

 ·当（或）时的极限为零

 高阶，低阶，同阶，等价

无穷小的性质：

（1）有限个无穷小的和是无穷小．

（2）常数与无穷小的乘积是无穷小．

（3）有限个无穷小的乘积是无穷小．

（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小

等价无穷小：

·时． 

·

·

·

·

·

·

Ps:无穷小可以在使用，无论、还是

三、连续

1.连续条件：

·自变量变化量趋于零函数值变化量也趋于零

·

2.间断点：第一类，

左右极限都存在；

可去间断点，跳跃间断点

第二类

无穷间断点，振荡间断点

一切初等函数在定义区间内都连续。

闭区间上连续函数的性质：

·零点定理：方程根的存在性

·有界性和最值定理

第二章导数与微分

一、相关概念

1、导数的两大定义式；

·

·

2、左右导数；

·函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在并且相等

3、几何意义；

·切线方程：；

·法线方程：．

4、可导与连续的关系。

·如果函数在点处可导，则在点处必连续，但反之不一定成立，即函数在点处连续，它在该点不一定可导．

可以看课本27页注释理解

5、16个基本导数公式，4个求导法则

二、六大类函数求导

1、复合函数求导；

2、隐函数求导；

·求导两法1．方程两边对求导，求导时要把看作中间变量．

              2. 

3、参数方程所确定的函数求导；

·

4、幂指函数求导； 

·复合求导法

·对数求导法

5、分段函数求导；

6、抽象函数求导。

三、微分

1、概念；可微

·可微必可导，可导必可微．

·微分公式与导数公式基本相同，只是多了单位dx

2、复合函数微分法则

第三章微分中值定理与导数的应用

一、微分中值定理

·拉格朗日和罗尔的共同条件：

 （1）在闭区间上连续；

 （2）在开区间内可导；

罗尔定理：驻点（3）在区间端点处的函数值相等，即，

               ·即两个值相等

              那么在内至少有一点（），使得．

拉格朗日中值定理：内至少有一点（）

   ·即必有一个值在某瞬间变化量为0（拉格朗日是罗尔定理的补充）

·两个重要推论：

 ·如函数在区间上导数恒为零，那么它在区间上是一个常数．

 ·与在区间内的导数恒有  则这两个函数在 内至多相差一个常数

二、洛必达法则

·需要的条件：

（1）当零或无穷时，函数及都趋于零；

（2）在点的某个去心邻域内及都存在且；

（3）存在（或为无穷大），

可应用   两种类型

还有三种应用方法P46

三、单调性和凹凸性

单调性：求单调区间；（关键：找驻点和不可导点）

求极值；可导函数的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不 一定是极值点。

Ps:不可导点也可能是极值点；定义域有时，极值也可能在边界上。

  对应拐点是一个点（X,Y）

     证明不等式；

证明方程根的唯一性。

     极值的第一充分条件（就是判定左正右负来判定极大极小）

           第二充分条件：   在处取得极大值

   在处取得极小值

     凹凸性：

      ·（1）若在内，则在上的图形是凹的；

 （2）若在内，则在上的图形是凸的．

 凹凸区间；

     拐点：令，解出这方程在区间内的实根，并求出在区间内不存在的点

四、渐近线

1、水平渐近线

2、垂直渐近线

3. 斜渐近线若（），，则就是函数的斜渐近线.（变量的趋向也可为或）

       Ps:即斜渐近线有两种

第四章不定积分

一、原函数与不定积分的概念；

·函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分，记作

（13+2）

原函数； 

被积函数； 

积分变量；x

不定积分的性质：

  ·

  · 

二、计算

1、（第一类换元法）凑微分法（12种见高数公式）

2、第二类换元法（常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式）

（1）当被积函数中含有，可令； 

（2）当被积函数中含有，可令； 

（3）当被积函数中含有，可令； 

3、分部积分法

  （一）4小题

  （二）2小题

  （三）1小题

1. 

2. 

3. 

 即 

注意事项：

       如被积函数为幂函数和 正（余）弦函数/指数函数，分部积分设幂函数为u  目的：降幂

       如被积函数为幂函数和对数函数/反三角函数，则设后两者为u 

       目的：化为x

简单根式的积分

第五章定积分

一、定积分的相关概念和性质

 ·什么是定积分

    a积分下限，b积分上限

    叫做积分区间．

说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关

推理：在区间上连续，则在上一定可积；若在上可积，则在区间上不一定连续，故函数在区间上连续是在上可积的充分非必要条件．

Ps：在区间上有界，且只有有限个间断点，同样可积。

几何意义：面积的代数和

 区间上函数时，是由、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积．

，曲边梯形位于轴的下方，表示面积的负值．

既取得正值又取得负值时，此时定积分表示轴上方图形的面积减去轴下方面积所得之差．

比较性质：

  ·定积分对于积分区间的可加性

定积分的中值定理

· （）．（类似拉格朗日）

         ·称为函数在区间上的平均值．

二、关于计算方面的内容

1、定积分的计算；

    ·牛顿——莱布尼茨公式

   定积分的还原法和分部积分法

      · 定积分的换元法

 设函数在区间上连续，函数满足条件：

 （1），；

 （2）在（或）上具有连续导数，且其值域，则有（原函数的定义域是新元的值域）

 ·定积分的分部积分法：

   （参照不定积分的分部积分法）

   ·定积分的两个简便公式

    1. 若在上连续且为奇函数，则；若在上连续且为偶函数，则

 第二个看不懂+_+

2、积分上限的函数；

（1）变上限定积分；

  ·并且设为上的一点  ,在区间上连续

 由

 变为  （）变dx为dt

（2）求导运算；

·1. （）．

 ·2.对于积分上限函数的复合函数，求导法则可按下述公式进行：

积分下限函数：

积分上下限均有函数：

定积分的性质见高数公式

3、广义积分（反常积分）（即在无穷上有确切值）

（1）无穷限的广义积分；

   ·分为三种情况

函数在无穷区间//上的反常积分：

举例：存确切值则收敛，无则发散

计算方法同上；

（2）无界函数的广义积分（瑕积分）

   无界间断点，瑕点

4、用定积分求面积和体积

平面图形的面积：

·型区域 由y=f(x)与y=g(x)和两条x=?组成 

  型区域 由x=f(y)与x=g(y）与两条y=?组成 

  要求：（）或（）

  旋转体的体积：

 ·1.绕x轴旋转的体积

 绕y轴旋转的体积

 相当于面积乘以高

第六章微分方程

一、相关概念

定义：未知函数，未知函

一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，数的导数，自变量；

阶，

解：如果函数满足一个微分方程，则称它是该微分方程的解

通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同时

初始条件： 当自变量取某值时，要求未知函数及其导数取给定值，这种条件称为初始条件．

特解：满足给定初始条件的解

二、四类方程

1、可分离变量的微分方程； 

2、一阶线性微分方程；

1.一阶齐次线性： 

            通解 ： 

2.一阶非齐次线性的

             通解： 

    区别：Q(X)是否为零

3、二阶常系数齐次线性微分方程

·当时，方程  称为二阶常系数齐次线性微 分方程。

定理1   若、是齐次线性方程  的两个解，则也是它的解，且当  与  线性无关时， 是其通解．

定理2   若为非齐次线性方程的某个特解，为对应的齐次线性方程的通解，则为非齐次线性方程的通解．

      二阶常系数齐次线性微分方程的通解

考查特征方程，设、为其两个特征根，则

1.不相等的实根（、为任意常数）

2.相等的实根

3.共轭复根

 其中，， 

4、二阶常系数非齐次线性。。

·这里只考虑这一种形式（、、为常数，为关于的次多项式）.

定理1同上定理2

定理2：定理1中的的形式一定为（求最终特解可能用到待定系数法），其中即为原非齐次方程中的，是与同次的多项式（一般不相等），中的是常数，且只能取三个数中的一个，按如下规则取值

当特征方程的根是：

                非根，k=0;

                单根，k=1；

                二重根k=2.

（单根是只有一个,与其他跟都不相同的根，二重根是有两个根相同）

如：x^2-1=0 有两个单根 x^2=0 有一各二重根 x^2(x^2-1)=0 有一个二重根,两个单根）

第八章 多元函数微分学

一、二元函数，三元函数

二元函数的定义域：平面区域（平面点集），图形

空间曲面

三、求偏导数；求全微分；

变量的对称性

四、二元隐函数求偏导数；

五、二元函数的极值。

第九章二重积分

一、相关概念

面积元素，

积分区域：平面闭区域

曲顶柱体的体积

二次积分,累次积分

交换积分次序

二、计算（直角坐标系中的计算）

极坐标系

第十章无穷级数

一、无穷级数的定义，分类，

常数项无穷级数

函数项无穷级数：幂级数

   收敛，发散；

收敛级数三大性质（1,2,5）；

三大级数：调和级数，

等比级数（几何级数），

p-级数

二、正项级数审敛法

1、比较审敛法；

2、比较审敛法的极限形式；

3、比值审敛法；阶乘

4、根值审敛法

三、交错级数（莱布尼茨定理）

四、绝对收敛，条件收敛

五、幂级数

1、相关概念；

收敛点，发散点

收敛域，发散域

收敛区间，收敛半径R

和函数

第七章向量代数与

空间解析几何

一、向量

1、相关概念：大小，方向

模：向量的大小称为向量的模，记为或

单位向量，零向量（向量即为空间中两点之差）

空间直角坐标系（三维）

坐标的两种表示方法：或

正交，方向角，方向余弦

平行的充要条件：

1.向量与非零向量平行的充要条件是存在一个实数，使得

2.，， 

3.或 

垂直的充要条件：

或 

2、向量的运算

·1.线性运算：加法，减法，数乘

  2.数量积（点乘积）

  3.向量积（叉乘积）

计算方法见高数公式

右手法则

二、空间曲面和曲线

三、平面及其方程

1.点法式方程

2.一般式方程  （，， 不同时为零）

3.截距式方程 （，， 均不为零）

4.两平面之间的关系（看法向量n1与n2）

 设有两个平面和

 ·，即,则两平面平行。

 ·，即，则两平面垂直。

   · 两平面夹角即两法向量夹角， ， ．

四、（空间）直线及其方程

点向式方程 点， 

一般式方程 

参数方程  点， 

   ， 

两条直线之间的关系：， 方向向量，

：， 方向向量，

两直线的夹角，即方向向量之间的夹角，   

  两直线平行  ，即 

两直线垂直  ，即 

直线与平面之间的关系（主要看法向量和方向向量）

 ·平面法向量 

 ·直线方向向量 

 ·直线与平面的方向夹角 ， 

  ·线面垂直：，即 

 ·线面平行：，即 

五、几个距离公式

  1.两点之间的距离： 

  2.点面之间的距离： 

  3.点到直线的距离：