平面向量测试题及详解

一、选择题

1．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值为(　　)

A．－2　　 B．0　　　　C．1　　　　D．2  

2．已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数k的值为(　　)

A．－2       B．－1       C．1         D．2   

3．如果向量a＝(k,1)与b＝(6，k＋1)共线且方向相反，那么k的值为(　　)

A．－3       B．2       C．－            

4．在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，则＝(　　)   a－b      a＋b      C．－a＋b       D．－a－b     

5．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝(　　)

A．－3         B．－1       C．1          D．3        

6．已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·(＋)(　　)

A．最大值为8   B．是定值6    C．最小值为2     D．与P的位置有关  

7．设a，b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“|a＋b|＝|a|＋|b|”的(　　)

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件  C．充要条件   D．非充分非必要条件

8.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为(　　)

A．30°       B．60°      C．120°      D．150°      

9．设O为坐标原点，点A(1,1)，若点B(x，y)满足则·取得最大值时，点B的个数是(　　)

A．1          B．2       C．3         D．无数    

10．a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为(　　)

A．λ1＝λ2＝－1     B．λ1＝λ2＝1     C．λ1·λ2＋1＝0       D．λ1λ2－1＝0

11．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ其中λ，μ∈R，则λ＋μ是(　　)

                                 D．1   

12．已知非零向量与满足·＝0，且·＝－，则△ABC的形状为(　)

A．等腰非等边三角形 B．等边三角形  C．三边均不相等的三角形D．直角三角形

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

2、填空题

13．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

14．已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若〈a，b〉为钝角，则λ的取值范围是________．

15．已知二次函数y＝f(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f(1＋x)＝f(1－x)．若向量a＝(，－1)，b＝(，－2)，则满足不等式f(a·b)>f(－1)的m的取值范围为________．

16.已知向量a＝，b＝(cosθ，1)，c＝(2，m)满足a⊥b且(a＋b)∥c，则实数m＝________.

三、解答题

17．已知向量a＝(－cosx，sinx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b，x∈[0，π]．(1)求函数f(x)的最大值；(2)当函数f(x)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小．

18．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．

(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证·＝0.

19．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝(2sin2(＋)，－1)，m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若a＝，b＝1，求c的值．

20．已知向量a＝，b＝，且x∈[，π]．(1)求a·b及|a＋b|；

(2)求函数f(x)＝a·b＋|a＋b|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值．

21．已知＝(2asin2x，a)，＝(－1,2sinxcosx＋1)，O为坐标原点，a≠0，设f(x)＝·＋b，b>a.   (1)若a>0，写出函数y＝f(x)的单调递增区间；

(2)若函数y＝f(x)的定义域为[，π]，值域为[2,5]，求实数a与b的值．

22．已知点M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足·＝6||.(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若－≤·≤－，求直线l的斜率的取值范围．

平面向量答案

1.[解　a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，∵a＋b与4b－2a平行，∴＝，∴x＝2，故选D.

2.[解＝(2,3)，∵⊥a，∴2(2k－1)＋3×2＝0，∴k＝－1，∴选B.

3.[解由条件知，存在实数λ<0，使a＝λb，∴(k,1)＝(6λ，(k＋1)λ)，∴，∴k＝－3，故选A.

4.[解析]　＝b＋a，＝a－b，设＝λ，则＝λa－λb，∴＝＋＝λa＋b，∵与共线且a、b不共线，∴＝，∴λ＝，∴＝a＋b.

5.[解析]　∵a＋b＝(3,1＋n)，∴|a＋b|＝＝，

又a·b＝2＋n，∵|a＋b|＝a·b，∴＝n＋2，解之得n＝3，故选D.

6.[解析]设BC边中点为D，则·(＋)＝·(2) ＝2||·||·cos∠PAD＝2||2＝6.

7.[解析]　|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a与b方向相同，或a、b至少有一个为0；而a与b共线包括a与b方向相反的情形，∵a、b都是非零向量，故选B.

8.[解析]　由条件知|a|＝，|b|＝2，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝，∵(a＋b)·c＝，∴×·cosθ＝，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°.∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.

9.[解析]　x2＋y2－2x－2y＋1≥0，即(x－1)2＋(y－1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，·＝x＋y，设x＋y＝t，则当直线y＝－x平移到经过点C时，t取最大值，故这样的点B有1个，即C点．

10.[解析]　∵A、B、C共线，∴，共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a，b不共线，根据平面向量基本定理得，消去λ得λ1λ2＝1.

11.[解析]　＝＋＝＋，＝＋＝＋，

相加得＋＝(＋)＝，∴＝＋，∴λ＋μ＝＋＝.

12.[解析]　根据·＝0知，角A的内角平分线与BC边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及·＝－可知A＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．

13.[解析]　a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×＝1，|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4×1＝12，

∴|a＋2b|＝2.

14.[解析]　∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0，∴λ<－，当a与b方向相反时，λ＝－3，∴λ<－且λ≠－3.

15.[解析]　由条件知f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)，∵m≥0，∴a·b＝m＋2≥2，由f(a·b)>f(－1)得f(m＋2)>f(3)，∵f(x)在[1，＋∞)上为减函数，∴m＋2<3，∴m<1，∵m≥0，∴0≤m<1.

16.[解析]　∵a⊥b，∴sinθcosθ＋＝0，∴sin2θ＝－，又∵a＋b＝，(a＋b)∥c，∴m(sinθ＋cosθ)－＝0，∴m＝，∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝，∴sinθ＋cosθ＝±，∴m＝±.

17.[解析]　(1)f(x)＝a·b＝－cos2x＋sinxcosx＝sin2x－cos2x－＝sin－.

∵x∈[0，π]，∴当x＝时，f(x)max＝1－＝.

(2)由(1)知x＝，a＝，b＝，设向量a与b夹角为α，则cosα＝＝＝，∴α＝.因此，两向量a与b的夹角为.

18.[解析]　(1)解：∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ，∵过(4，－)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明：F1(－2，0)，F2(2，0)，＝(－3－2，－m)，＝(－3＋2，－m)，

∴·＝－3＋m2，又∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0，即⊥.

19.[解析]　(1)∵m⊥n，∴m·n＝0，∴4sinB·sin2＋cos2B－2＝0，

∴2sinB[1－cos]＋cos2B－2＝0，∴2sinB＋2sin2B＋1－2sin2B－2＝0，

∴sinB＝，∵0(2)∵a＝，b＝1，∴a>b，∴此时B＝，

方法一：由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，∴c2－3c＋2＝0，∴c＝2或c＝1.

方法二：由正弦定理得＝，∴＝，∴sinA＝，∵0若A＝，因为B＝，所以角C＝，∴边c＝2；若A＝π，则角C＝π－π－＝，

∴边c＝b，∴c＝1.综上c＝2或c＝1.

20.[解析]　(1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，|a＋b|＝＝＝＝2|cosx|，∵x∈[，π]，∴cosx<0，∴|a＋b|＝－2cosx.

(2)f(x)＝a·b＋|a＋b|＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝22－

∵x∈[，π]，∴－1≤cosx≤0，∴当cosx＝－1，即x＝π时fmax(x)＝3.

21.[解析]　(1)f(x)＝－2asin2x＋2asinxcosx＋a＋b＝2asin＋b，

∵a>0，∴由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得，kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)

(2)x∈[，π]时，2x＋∈[，]，sin∈[－1，]当a>0时，f(x)∈[－2a＋b，a＋b]   ∴，得，当a<0时，f(x)∈[a＋b，－2a＋b]  ∴，得综上知，或

22.[解析]　设动点P(x，y)，则＝(x－4，y)，＝(－3,0)，＝(1－x，－y)．

由已知得－3(x－4)＝6，化简得3x2＋4y2＝12，得＋＝1.

所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为＋＝1.

(2)由题意知，直线l的斜率必存在，不妨设过N的直线l的方程为y＝k(x－1)，

设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由消去y得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.

因为N在椭圆内，所以Δ>0.所以

因为·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋k2)(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)[x1x2－(x1＋x2)＋1]

＝(1＋k2)＝，

所以－≤≤－.解得1≤k2≤3.所以－≤k≤－1或1≤k≤.