单摆运动的数学建模

报告人：曾云霖

专业学号：微电子92    ********

关键词：单摆、简谐运动、空气阻力，摆角大小

摘要：

单摆是生活中常见的模型，也是常用的简单模型。物理学中所讨论的单摆是一种理想化的模型,也称数学摆。它由一根不可伸缩的细线(质量不计),一端固定,另一端悬挂一质量为M的小球(视为质点)而构成的振动系统。

对于理想单摆，我们总是尽可能的简化它的一般分析，认为它只受到重力和拉力的作用。因为拉力与小球的运动总是相互垂直的，对小球的运动没什么影响

但生活中的单摆往往是非理想的，非理想单摆还考虑到绳的重力、空气阻力等，且单摆的运动还与单摆的摆角有关，研究单摆在不同摆角下的运动是有现实和理论意义的

模型建立：

考虑在摆角很小的范围内（小于5度），sinθ≈θ

此时受力如图所示：

   由牛顿第二定律可知

化简可得     

这是一个二阶常系数的奇次线性微分方程,设定初值条件：

 利用高等数学知识可以解得：

代入初值条件：

结论：理想单摆在小摆角下（小于5度）的运动是简谐运动

周期

问题扩展：

实际生活中的单摆是非理想的，总要收到其它力的作用，如绳的重力，空气阻力等

现在我们忽略绳的重力，考虑在空气阻力环境下单摆的运动。

查阅知识可知：空气粘滞阻力与小球速度成正比，即

所以单摆的受力方程变换为

化简可得：

可令

当时

当时

当时

深化扩展：

以上讨论都是在摆角较小的前提下讨论出来的，若是大摆角的摆动，则不再成立了，此时可以考虑泰勒式展开。

因为后面的级数对结果影响不大，所以近似可取

     代入理想方程中

这个微分方程比较难解，可以考虑用Matlab去求其解析解或数值解。