2022年中考数学压轴题押题附答案解析

1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．

（1）用含a的代数式表示点C的坐标．

（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若，求a的值．

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即c＝﹣3a，

则点C（0，﹣3a）；

（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，

∵∠PCD+∠PDC＝90°，∠PDC+∠QDB＝90°，

∴∠QDB＝∠DCP，

设：D（1，n），点C（0，﹣3a），

∠CPD＝∠BQD＝90°，

∴△CPD∽△DQB，

∴，

其中：CP＝n+3a，DQ＝3﹣1＝2，PD＝1，BQ＝n，CD＝﹣3a，BD＝3，

将以上数值代入比例式并解得：a＝±，

∵a＜0，故a，

故抛物线的表达式为：yx2x；

（3）如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则DO⊥BC，

过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，

设：OC＝m＝﹣3a，

S1＝S△OBDOB×DMDM，

S2＝S△OAC1×m，而，

则DM，HNDMOC，

∴BNBO，则ON＝3，

则DO⊥BC，HN⊥OB，

则∠BHN＝∠HON，则tan∠BHN＝tan∠HON，

则HN2＝ON×BN（）2，

解得：m＝±6（舍去负值），

CO＝|﹣3a|＝6，

解得：a＝﹣2（不合题意值已舍去），

故：a＝﹣2．

当点C在x轴下方时，同理可得：a＝2（舍去）；

故a＝﹣2，

综上，a＝±2．

2．若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，其图象的顶点为点M，O是坐标原点．

（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；

（2）如图1，若a＞0，b＞0，△ABC为直角三角形，△ABM是以AB＝2的等边三角形，试确定a，b，c的值；

（3）设m，n为正整数，且m≠2，a＝1，t为任意常数，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果对于一切实数t，AB≥|2t+n|始终成立，求m、n的值．

解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

则﹣8a＝3，解得：a，

故抛物线的表达式为：yx2x+3；

（2）△ABM是等边三角形，则点M的纵坐标为：2×sin60°，

如图所示，△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°，

设点A、B的横坐标分别为：m、n，即n＝m+2，

△ABM是等边三角形，则点M的坐标为：（m+1，），

抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2），

将点M的坐标代入上式并解得：a，

则抛物线的表达式为：y（x﹣m）（x﹣n），

则点C的坐标为：（0，mn），

△ABC为直角三角形，OC2＝OA•OB，即（mn）2＝﹣mn，

解得：mn，而n﹣m＝2，

解得：m＝﹣1，n＝1，

则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n）x2+2x，

故a，b＝2，c；

（3）y＝ax2+bx+c＝x2+（3﹣mt）x﹣3mt，

则x1+x2＝mt﹣3，x1x2＝﹣3mt，

AB＝x2﹣x1|mt+3|≥|2t+n|，

则m2t2+6mt+9≥4t2+4tn+n2，

即：（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+（9﹣n2）≥0，

由题意得：m2﹣4＞0，△＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）≤0，

解得：mn＝6，

故：m＝3，n＝2或m＝6，n＝1．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线yx+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求点N的坐标．

（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC时，求点F的坐标．

（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t），请直接写出S与t的函数关系式．

解：（1）直线yx+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），

则c＝2，抛物线表达式为：yx2+bx+2，

将点C坐标代入上式并解得：b，

故抛物线的表达式为：yx2x+2…①；

（2）抛物线的对称轴为：x，

点N的横坐标为：5，

故点N的坐标为（5，﹣3）；

（3）∵tan∠ACOtan∠FAC，

即∠ACO＝∠FAC，

①当点F在直线AC下方时，

设直线AF交x轴于点R，

∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，

设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r，

即点R的坐标为：（，0），

将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，

解得：，

故直线AR的表达式为：yx+2…②，

联立①②并解得：x，故点F（，）；

②当点F在直线AC的上方时，

∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，

则点F′（3，2）；

综上，点F的坐标为：（3，2）或（，）；

（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα，则sinα，cosα；

①当0≤t时（左侧图），

设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，

则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH，

则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，

则DTt，DS，

S＝S△DSTDT×DSt2；

②当t时（右侧图），

同理可得：S＝S梯形DGS′T′DG×（GS′+DT′）3+（）t；

③当t时，

同理可得：St；

综上，S．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．

（1）求证：BC是⊙O的切线．

（2）求证：．

（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．

（1）证明：连接OE，OP，

∵AD为直径，点Q为弦EP的中点，

∴PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，

∴AB垂直平分EP，

∴PB＝BE，

∵OE＝OP，OB＝OB，

∴△BEO≌△BPO（SSS），

∴∠BEO＝∠BPO，

∵BP为⊙O的切线，

∴∠BPO＝90°，

∴∠BEO＝90°，

∴OE⊥BC，

∴BC是⊙O的切线．

（2）证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，

∴AC∥OE，

∴∠CAE＝∠OEA，

∵OA＝OE，

∴∠EAO＝∠AEO，

∴∠CAE＝∠EAO，

∴．

（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，

∴EP⊥AB，

∵CG⊥AB，

∴CG∥EP，

∵∠ACB＝∠BEO＝90°，

∴AC∥OE，

∴∠CAE＝∠AEO，

∵OA＝OE，

∴∠EAQ＝∠AEO，

∴∠CAE＝∠EAO，

∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，

∴△ACE≌△AQE（AAS），

∴CE＝QE，

∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，

∴∠CEH＝∠AHG，

∵∠AHG＝∠CHE，

∴∠CHE＝∠CEH，

∴CH＝CE，

∴CH＝EQ，

∴四边形CHQE是平行四边形，

∵CH＝CE，

∴四边形CHQE是菱形，

∵sin∠ABC═sin∠ACG═，

∵AC＝15，

∴AG＝9，

∴CG12，

∵△ACE≌△AQE，

∴AQ＝AC＝15，

∴QG＝6，

∵HQ2＝HG2+QG2，

∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，

解得：HQ，

∴CH＝HQ，

∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ6＝45．

5．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．

（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；

（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

（1）证明：连接OA．

∵AB＝AC，

∴，

∴OA⊥BC，

∴∠BAO＝∠CAO，

∵OA＝OB，

∴∠ABD＝∠BAO，

∴∠BAC＝2∠ABD．

（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．

①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∴∠DBC＝2∠ABD，

∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，

∴8∠ABD＝180°，

∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．

②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，

∴∠C＝4∠ABD，

∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，

∴10∠ABD＝180°，

∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．

③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．

综上所述，∠C的值为67.5°或72°．

（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．

则，

∴，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，

∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，

∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，

∴a2，

∴BH，

∴BC＝2BH．