2019-2020学年天津市滨海新区七年级下期末数学试卷及答案解析

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．（3分）在实数，，，0，π，中，无理数的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（3分）已知点P（0，a）在y轴的负半轴上，则点Q（﹣a2﹣1，﹣a+1）在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（3分）下列实数中最大的是（　　）

A．﹣2 B．0 C． D．

4．（3分）有下面几个样本用以统计某路口在学校放学时不同时段的车流量，其中，合适的样本是（　　）

A．抽取两天作为一个样本    

B．以全年每一天为样本    

C．选取每周周日作为样本    

D．从春、夏、秋、冬每个季节中各选两周作为样本

5．（3分）的算术平方根是（　　）

A．2 B．4 C．±2 D．±4

6．（3分）如图，已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则下列不等式中不正确的是（　　）

A．c＜b＜a B．ac＞ab C．cb＞ab D．c+b＜a+b

7．（3分）方程x+y＝5的自然数解有（　　）个．

A．4 B．5 C．6 D．7

8．（3分）如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　）

A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）    

B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）    

C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）    

D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）

9．（3分）已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则m的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

10．（3分）如图，在矩形OABC中，OA＝8，OC＝4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（　　）

A．（4，8） B．（5，8） C．（，） D．（，）

11．（3分）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为（　　）

A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27    

C．3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 D．3×5+3×0.8（x﹣5）≥27

12．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（　　）

A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．a＜﹣3 D．﹣4＜a＜

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13．（3分）的平方根是　   　；﹣2的相反数是　   　：|﹣3|＝　   　．

14．（3分）如图，直线AB，CD交于点O，我们知道∠1＝∠2，那么其理由是　   　．

15．（3分）某中学抽取部分学生对“你最喜欢的球类运动”调查问卷，收集整理数据后列频数分布表（部分）如下：

16．（3分）若是第三象限内的点，且a为整数，则a＝　   　．

17．（3分）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝　   　度．

18．（3分）四个形状、大小相同的长方形，如图，拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为28厘米，那么，每块小长方形的面积是　   　平方厘米．

三．解答题（共7小题，满分66分）

19．（8分）解方程

（1）

（2）

20．（10分）解不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

（1）3x﹣1＜4（x﹣1）+5

（2）

21．（8分）如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD（请填空）

解：∵EF∥AD

∴∠2＝　   　（　   　

又∵∠1＝∠2

∴∠1＝∠3（　   　）

∴AB∥　   　（　   　）

∴∠BAC+　   　＝180°（　   　）

∵∠BAC＝70°（　   　）

∴∠AGD＝　   　（　   　）

22．（10分）前苏联教育家苏霍姆林斯曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读，阅读，再阅读．”课外阅读也可以促进我们养成终身学习的习惯．云南某学校组织学生利用课余时间多读书，读好书，一段时间后，学校对部分学生每周阅读时间进行调查，并绘制了不完整的图表，如图所示：

（1）填空：m＝　   　．n＝　   　．

（2）请补全频数分布直方图；

（3）该校共有3600名学生，估计学生每周阅读时间x（时）在6≤x＜12范围内的人数有多少人？

23．（10分）已知AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，连接EG、FG．

（1）如图1，当点G在AB、CD之间时，请直接写出∠AEG、∠CFG与∠G之间的数量关系　   　；

（2）如图2，当点G在AB上方时，且∠EGF＝90°，求证：∠BEG﹣∠DFG＝90°；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使∠HEG与∠GEB互补，FT平分∠DFG交HK于点T，延长GE、FT交于点R，若∠ERT＝∠TEB，请你判断FR与HK的位置关系，并证明．（不可以直接用三角形内角和180°）

24．（10分）某自行车行销售甲、乙两种品牌的自行车，若购进甲品牌自行车5辆，乙品牌自行车6辆，需要进货款9500元，若购进甲品牌自行车3辆，乙品牌自行车2辆需要进货款4500元．

（1）求甲、乙两种品牌自行车每辆进货价分别为多少元？

（2）今年夏天，车行决定购进甲、乙两种品牌自行车共50辆，在销售过程中，甲品牌自行车的利润率为80%，乙品牌自行车的利润率为60%，若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500，那么此次最多购进多少辆乙种品牌自行车？

25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是边BC的中点．动点P从点A出发，沿着AB运动到点B停止，速度为每秒钟1个单位长度，连接PE，过点E作PE的垂线交射线AD与点Q，连接PQ，设点P的运动时间为t秒．

（1）当t＝1时，sin∠PEB＝　   　；

（2）是否存在这样的t值，使△APQ为等腰直角三角形？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；

（3）当t为何值时，△PEQ的面积等于10？

2019-2020学年天津市滨海新区七年级下期末数学试卷

参与试题解析

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．（3分）在实数，，，0，π，中，无理数的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据无理数的定义进行解答即可．

【解答】解：在实数，，，0，π，中，无理数有：、、π，

故选：C．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．

2．（3分）已知点P（0，a）在y轴的负半轴上，则点Q（﹣a2﹣1，﹣a+1）在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据y轴负半轴上点的纵坐标是负数求出a的取值范围，再求出点Q的横坐标与纵坐标的正负情况，然后求解即可．

【解答】解：∵点P（0，a）在y轴的负半轴上，

∴a＜0，

∴﹣a2﹣1＜0，﹣a+1＞0，

∴点Q在第二象限．

故选：B．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

3．（3分）下列实数中最大的是（　　）

A．﹣2 B．0 C． D．

【分析】先估算出的范围，再根据实数的大小比较法则比较即可．

【解答】解：﹣2＜0＜，

即最大的是，

故选：D．

【点评】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根、实数的大小比较等知识点，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．

4．（3分）有下面几个样本用以统计某路口在学校放学时不同时段的车流量，其中，合适的样本是（　　）

A．抽取两天作为一个样本    

B．以全年每一天为样本    

C．选取每周周日作为样本    

D．从春、夏、秋、冬每个季节中各选两周作为样本

【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．

【解答】解：A、抽取两天作为一个样本，不具有广泛性与代表性，故A不合题意；

B、以全年每一天为样本，不具有代表性，故B不合题意；

C、选取每周周日作为样本，不具有代表性，故C不合题意；

D、从春、夏、秋、冬每个季节中各选两周作为样本，样本具有广泛性与代表性，故D符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．

5．（3分）的算术平方根是（　　）

A．2 B．4 C．±2 D．±4

【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．

【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，

故选：A．

【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．

6．（3分）如图，已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则下列不等式中不正确的是（　　）

A．c＜b＜a B．ac＞ab C．cb＞ab D．c+b＜a+b

【分析】先根据数轴的特点得出a＞0＞b＞c，再根据不等式的性质进行判断．

【解答】解：由题意，可知a＞0＞b＞c．

A、∵a＞0＞b＞c，∴c＜b＜a，故此选项错误；

B、∵b＞c，a＞0，∴ac＜ab，故此选项正确；

C、∵c＜a，b＜0，∴cb＞ab，故此选项错误；

D、∵c＜a，∴c+b＜a+b，故此选项错误；

故选：B．

【点评】本题主要考查了不等式的性质．根据数轴的特点确定数轴上点所表示的数的符号及大小，是解决本题的关键．

7．（3分）方程x+y＝5的自然数解有（　　）个．

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】首先用x表示y，再进一步根据x等于0、1、2、3、4、5，对应求出y的值，只要y值为自然数即可．

【解答】解：∵x+y＝5，

∴y＝5﹣x，

当x＝0时，y＝5，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝3；

当x＝3时，y＝2；当x＝4时，y＝1；当x＝5时，y＝0；

故选：C．

【点评】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是设x的值为定值，然后求出y的值，看y值是否为自然数即可．

8．（3分）如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　）

A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）    

B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）    

C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）    

D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）

【分析】依据内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行进行判断即可．

【解答】解：A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），正确；

B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），正确；

C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；

D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），错误；

故选：D．

【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

9．（3分）已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则m的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】将m看做常数解二元一次方程组求得x和y，再根据x+y＝0列出关于m的方程，解之可得．

【解答】解：解方程组得：，

∵x和y互为相反数，

∴x+y＝0，

则7m﹣12﹣4.5m+7＝0，

解得：m＝2，

故选：A．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组．

10．（3分）如图，在矩形OABC中，OA＝8，OC＝4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（　　）

A．（4，8） B．（5，8） C．（，） D．（，）

【分析】由四边形ABCD为矩形，利用矩形的性质得到两对边相等，再利用折叠的性质得到OA＝OD，两对角相等，利用HL得到直角三角形BOC与直角三角形BOD全等，利用全等三角形对应角相等及等角对等边得到OE＝EB，在直角三角形OCE中，设CE＝x，表示出OE，利用勾股定理求出x的值，确定出CE与OE的长，进而由三角形COE与三角形DEF相似，求出DF与EF的长，即可确定出D坐标．

【解答】解：∵矩形ABCO中，OA＝8，OC＝4，

∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，

由折叠得到OD＝OA＝BC，∠AOB＝∠DOB，∠ODB＝∠BAO＝90°，

在Rt△CBO和Rt△DOB中，

，

∴Rt△CBO≌Rt△DOB（HL），

∴∠CBO＝∠DOB，

∴OE＝EB，

设CE＝x，则EB＝OE＝8﹣x，

在Rt△COE中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42，

解得：x＝3，

∴CE＝3，OE＝5，DE＝3，

过D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，

∴＝＝，即＝＝，

解得：DF＝，EF＝，

∴DF+OC＝+4＝，CF＝3+＝，

则D（，），

故选：C．

【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．

11．（3分）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为（　　）

A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27    

C．3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 D．3×5+3×0.8（x﹣5）≥27

【分析】设小聪可以购买该种商品x件，根据总价＝3×5+3×0.8×超出5件的部分结合总价不超过27元，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．

【解答】解：设小聪可以购买该种商品x件，

根据题意得：3×5+3×0.8（x﹣5）≤27．

故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

12．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（　　）

A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．a＜﹣3 D．﹣4＜a＜

【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有5个即可得出a的取值范围是﹣4≤a＜﹣3．

【解答】解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，

解不等式3﹣2x＞0，得：x＜1.5，

∵不等式组的整数解有5个，

∴﹣4≤a＜﹣3．

故选：B．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，关键是能根据不等式组的解集和已知得出a的取值范围．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13．（3分）的平方根是　±3　；﹣2的相反数是　﹣+2　：|﹣3|＝　3﹣　．

【分析】根据平方根的定义、相反数的定义和绝对值的性质即可解答．

【解答】解：＝9，9的平方根是±3；﹣2的相反数是﹣+2：|﹣3|＝3﹣．

故答案为：±3；﹣+2；3﹣．

【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了平方根的定义、相反数的定义和绝对值的性质．

14．（3分）如图，直线AB，CD交于点O，我们知道∠1＝∠2，那么其理由是　同角的补角相等　．

【分析】依据∠1+∠3＝180°，∠2+∠3＝180°，即可得到∠1＝∠2，依据为同角的补角相等．

【解答】解：∵直线AB，CD交于点O，

∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠3＝180°，

∴∠1＝∠2（同角的补角相等），

故答案为：同角的补角相等．

【点评】本题主要考查了对顶角、邻补角，解题时注意：同角的补角相等．

15．（3分）某中学抽取部分学生对“你最喜欢的球类运动”调查问卷，收集整理数据后列频数分布表（部分）如下：

【分析】先根据乒乓球的频数及频率求得被调查的学生总数，再用羽毛球人数除以总人数求得其百分比，继而根据百分比之和为1可得m的值．

【解答】解：由表可知被调查的学生总数为80÷0.4＝200，

∴羽毛球的人数所占百分比为×100%＝25%，

则m＝1﹣（40%+25%+25%）＝10%，

故答案为：10%．

【点评】本题主要考查频数（率）分布表，解题的关键是掌握频数之和等于总数、频率＝频数÷总人数．

16．（3分）若是第三象限内的点，且a为整数，则a＝　2010　．

【分析】根据第三象限点的符号为（﹣，﹣）可得a的取值范围，根据a为整数即可求解．

【解答】解：∵是第三象限内的点，

∴a﹣2011＜0，41﹣＜0，

∴a＜2011，a＞2009，

∴2009＜a＜2011，

∵a为整数，

∴a＝2010，

故答案为2010．

【点评】主要考查象限内点的符号特点；用到的知识点为：第三象限点的符号为（﹣，﹣）．

17．（3分）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝　80　度．

【分析】设∠EPC＝2x，∠EBA＝2y，根据角平分线的性质得到∠CPF＝∠EPF＝x，∠EBF＝∠FBA＝y，根据外角的性质得到∠1＝∠F+∠ABF＝42°+y，∠2＝∠EBA+∠E＝2y+∠E，由平行线的性质得到∠1＝∠CPF＝x，∠2＝∠EPC＝2x，于是得到方程2y+∠E＝2（42°+y），即可得到结论．

【解答】解：设∠EPC＝2x，∠EBA＝2y，

∵∠EBA、∠EPC的角平分线交于点F

∴∠CPF＝∠EPF＝x，∠EBF＝∠FBA＝y，

∵∠1＝∠F+∠ABF＝40°+y，

∠2＝∠EBA+∠E＝2y+∠E，

∵AB∥CD，

∴∠1＝∠CPF＝x，∠2＝∠EPC＝2x，

∴∠2＝2∠1，

∴2y+∠E＝2（40°+y），

∴∠E＝80°．

故答案为：80．

【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角的性质：三角形的外角等于两个不相邻的内角的和，正确设未知数是关键．

18．（3分）四个形状、大小相同的长方形，如图，拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为28厘米，那么，每块小长方形的面积是　12　平方厘米．

【分析】设每块小长方形的长为xcm，宽为ycm，则由图形可得长是宽的3倍，再结合周长为28厘米，可列出二元一次方程组，解出长和宽，然后相乘即可得每个小长方形的面积．

【解答】解：设每块小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：

解得

∴每块小长方形的面积是：6×2＝12（cm2）

故答案为：12．

【点评】本题考查了利用二元一次方程组解决图形面积的问题，本题属于基础题，难度不大．

三．解答题（共7小题，满分66分）

19．（8分）解方程

（1）

（2）

【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；

（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：（1），

把①代入②得：3x+10﹣4x＝4，

解得：x＝6，

把x＝6代入①得：y＝﹣7，

则方程组的解为；

（2）方程组整理得：，

把②代入①得：3x+2x+6＝11，

解得：x＝1，

把x＝1代入①得：y＝2，

则方程组的解为．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

20．（10分）解不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

（1）3x﹣1＜4（x﹣1）+5

（2）

【分析】（1）依据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得．

（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．

【解答】解：（1）3x﹣1＜4x﹣4+5，

3x﹣4x＜﹣4+5+1，

﹣x＜2，

x＞﹣2，

将解集表示在数轴上如下：

（2）解不等式①，得：x≤，

解不等式②，得：x＞﹣2，

则不等式组的解集为﹣2＜x≤，

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

21．（8分）如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD（请填空）

解：∵EF∥AD

∴∠2＝　∠3　（　两直线平行，同位角相等　

又∵∠1＝∠2

∴∠1＝∠3（　等量代换　）

∴AB∥　DG　（　内错角相等，两直线平行　）

∴∠BAC+　∠DGA　＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）

∵∠BAC＝70°（　已知　）

∴∠AGD＝　110°　（　等式的性质　）

【分析】根据平行线的性质和已知求出∠1＝∠3，根据平行线的判定推出AB∥DG，根据平行线的性质求出∠BAC+∠DGA＝180°即可．

【解答】解：∵EF∥AD，

∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3（等量代换），

∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），

∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵∠BAC＝70°（已知），

∴∠AGD＝110°（等式的性质）．

故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等，等量代换，DG，内错角相等，两直线平行，∠DGA，两直线平行，同旁内角互补，已知，110°，等式的性质．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．

22．（10分）前苏联教育家苏霍姆林斯曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读，阅读，再阅读．”课外阅读也可以促进我们养成终身学习的习惯．云南某学校组织学生利用课余时间多读书，读好书，一段时间后，学校对部分学生每周阅读时间进行调查，并绘制了不完整的图表，如图所示：

（1）填空：m＝　25%　．n＝　30　．

（2）请补全频数分布直方图；

（3）该校共有3600名学生，估计学生每周阅读时间x（时）在6≤x＜12范围内的人数有多少人？

【分析】（1）根据百分比之和等于1求出m的值，由0≤x＜3的频数及频率求出总人数，总人数乘以对应的百分比求出n的值；

（2）总人数乘以对应的百分比求出a的值，从而补全直方图；

（3）总人数乘以对应的百分比可得答案．

【解答】解：（1）m＝1﹣（10%+30%+20%+15%）＝25%，

∵被调查总人数为10÷10%＝100，

∴n＝100×30%＝30，

故答案为：25%，30；

（2）a＝100×20%＝20，

补全直方图如下：

（3）估计学生每周阅读时间x（时）在6≤x＜12范围内的人数有3600×（30%+20%）＝1800（人）．

【点评】本题考查频数分布直方图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

23．（10分）已知AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，连接EG、FG．

（1）如图1，当点G在AB、CD之间时，请直接写出∠AEG、∠CFG与∠G之间的数量关系　∠G＝∠AEG+∠CFG　；

（2）如图2，当点G在AB上方时，且∠EGF＝90°，求证：∠BEG﹣∠DFG＝90°；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使∠HEG与∠GEB互补，FT平分∠DFG交HK于点T，延长GE、FT交于点R，若∠ERT＝∠TEB，请你判断FR与HK的位置关系，并证明．（不可以直接用三角形内角和180°）

【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可写出结论；

（2）根据平行线的性质得角相等，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可得证；

（3）根据平行线的性质得角相等，再根据直角三角形中两个锐角互余即可求解．

【解答】解：（1）

如图：过点G作GH∥AB，因为AB∥CD，所以GH∥CD，

所以∠AEG＝∠EGH，∠CFG＝∠FGH，

∴∠EGF═∠AEG+∠CFG

∴∠AEG、∠CFG与∠G之间的数量关系为∠G＝∠AEG+∠CFG．

故答案为：∠G＝∠AEG+∠CFG．

（2）

∵AB∥CD，∴∠DFG＝∠EHG．

∵∠BEG＝∠EGF+∠EHG，∠EGF＝90°，

∴∠BEG﹣∠EHG＝90°；

∴∠BEG﹣∠DFG＝90°．

（3）FR与HK的位置关系为平行．理由如下：

∵FT平分∠DFG交HK于点T，∴∠GFT＝∠KFT，

∴∠EGF＝90°，

∴∠GFT+∠ERT＝90°，

∴∠KFT+∠ERT＝90°，

∵∠ERT＝∠TEB，

∴∠KFT+∠TEB＝90°，

∵AB∥CD，

∴∠FKT＝∠TEB，

∴∠KFT+∠FKT＝90°，

∴∠FTK＝90°，

∴KT⊥FR，即FR⊥HK．

答：FR与HK的位置关系是垂直．

【点评】本题考查了平行线的判定和性质、直角三角形的两个锐角互余，解决本题的关键是应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．

24．（10分）某自行车行销售甲、乙两种品牌的自行车，若购进甲品牌自行车5辆，乙品牌自行车6辆，需要进货款9500元，若购进甲品牌自行车3辆，乙品牌自行车2辆需要进货款4500元．

（1）求甲、乙两种品牌自行车每辆进货价分别为多少元？

（2）今年夏天，车行决定购进甲、乙两种品牌自行车共50辆，在销售过程中，甲品牌自行车的利润率为80%，乙品牌自行车的利润率为60%，若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500，那么此次最多购进多少辆乙种品牌自行车？

【分析】（1）设甲种品牌自行车每辆进货价为x元，乙种品牌自行车每辆进货价为y元，根据“购进甲品牌自行车5辆，乙品牌自行车6辆，需要进货款9500元；购进甲品牌自行车3辆，乙品牌自行车2辆，需要进货款4500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进乙种品牌自行车m辆，则购进甲种品牌自行车（50﹣m）辆，根据利润＝成本×利润率，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【解答】解：（1）设甲种品牌自行车每辆进货价为x元，乙种品牌自行车每辆进货价为y元，

依题意，得：，

解得：．

答：甲种品牌自行车每辆进货价为1000元，乙种品牌自行车每辆进货价为750元．

（2）设购进乙种品牌自行车m辆，则购进甲种品牌自行车（50﹣m）辆，

依题意，得：1000×（50﹣m）×80%+750m×60%≥29500，

解得：m≤30．

答：此次最多购进30辆乙种品牌自行车．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是边BC的中点．动点P从点A出发，沿着AB运动到点B停止，速度为每秒钟1个单位长度，连接PE，过点E作PE的垂线交射线AD与点Q，连接PQ，设点P的运动时间为t秒．

（1）当t＝1时，sin∠PEB＝　　；

（2）是否存在这样的t值，使△APQ为等腰直角三角形？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；

（3）当t为何值时，△PEQ的面积等于10？

【分析】（1）由题意得出AP＝1，BP＝3，BE＝CE＝1，利用勾股定理求得PE＝，根据正弦函数的定义可得答案；

（2）证△BPE∽△CEF得＝，据此求得CF＝，DF＝，再证△ECF∽△QDF得＝，据此求得DQ＝15﹣4t，AQ＝17﹣4t，根据△APQ为等腰直角三角形列方程求解可得答案；

（3）根据S△PEQ＝S直角梯形ABEQ﹣S△APQ﹣S△BPE＝2t2﹣16t+34及△PEQ的面积等于10列方程求解可得．

【解答】解：（1）根据题意知，当t＝1时，AP＝1，

则PB＝3，

∵BC＝2，点E是边BC的中点，

∴BE＝CE＝1，

则PE＝＝＝，

∴在Rt△PBE中，sin∠PEB＝＝＝，

故答案为：；

（2）存在，t＝．

如图，记QE与CD的交点为F，

由题意知AP＝t，BP＝4﹣t，

∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝2，

∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，DC＝4，AD＝2，

∴∠PEB+∠BPE＝90°，

∵∠PEQ＝90°，

∴∠PEB+∠CEF＝90°，

∴∠BPE＝∠CEF，

∴△BPE∽△CEF，

∴＝，即＝，

∴CF＝，

∴DF＝CD﹣CF＝4﹣＝，

∵∠C＝∠FDQ＝90°，∠CFE＝∠DFQ，

∴△ECF∽△QDF，

∴＝，即＝，

∴DQ＝15﹣4t，

则AQ＝AD+DQ＝2+15﹣4t＝17﹣4t，

∵△APQ为等腰直角三角形，

∴AP＝AQ，即t＝17﹣4t，

解得t＝，

故当t＝时，△APQ为等腰直角三角形．

（3）S△PEQ＝S直角梯形ABEQ﹣S△APQ﹣S△BPE

＝×（1+17﹣4t）×4﹣×（17﹣4t）×t﹣×（4﹣t）×1

＝2t2﹣16t+34，

由题意知2t2﹣16t+34＝10，

解得t＝2或t＝6，

∵0≤t≤4，

∴t＝2．

【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的应用及割补法求三角形的面积等知识点．