信息论基础-练习与思考5

1．一个（7，1）重复码，求其生成矩阵和监督矩阵以及码的最小距离。

2．一个线性分组码的监督矩阵为，求其生成矩阵以及码的最小距离。

3．设一个（15，4）循环码的生成多项式。

（1）求此码的监督多项式h(x)；

（2）求此码的生成矩阵（非系统码和系统码形式）；

（3）求此码的监督矩阵。

4．一个（7，3）线性分组码的生成矩阵为

（1）构造一个等价的系统码生成矩阵；

（2）求其监督矩阵；

（3）构造所有可能的伴随式S的表，并求其所对应的最大可能错误图样

（4）求，并说明它能可靠地纠几个错？

（5）若信息位,求对应的码字；

（6）它与（7，4）汉明码的关系如何？

5．已知一个（6，3）线性分组码的全部码字为001011，110011，010110，101110，100101，111000，011101，000000。求该码的输出矩阵与监督矩阵，并讨论其纠错能力。

6．设一个（7，4）循环码的生成多项式，当接收矢量为时，试问接收是否有错？如果有错，至少有几个错？该码能否纠这些错？并求译码器的码字。

✧答案

✧一个（7，1）重复码，求其生成矩阵和监督矩阵以及码的最小距离。

1．对于（7，1）重复码有，两种形式，可以看出它的生成矩阵是，又由于C1=C0;C2=C0;C3=C0;C4=C0;C5=C0;C6=C0,可知其监督矩阵为(求解方法：先对生成矩阵转置，然后在其后面加上一单位矩阵即可)

， 

2．一个线性分组码的监督矩阵为，求其生成矩阵以及码的最小距离。

2. 解：

；

经过基本矩阵变化为，所以；；。由生成矩阵可知，最小距离。

3.设一个（15，4）循环码的生成多项式。

（1）求此码的监督多项式h(x)；

（2）求此码的生成矩阵（非系统码和系统码形式）；

（3）求此码的监督矩阵。

3．解：

（1）循环码（15，4）用去除得

（2）非系统码的生成矩阵； 

是除所得余式

系统码生成矩阵：

（3）监督矩阵： 

4.一个（7，3）线性分组码的生成矩阵为

（1）构造一个等价的系统码生成矩阵；

（2）求其监督矩阵；

（3）构造所有可能的伴随式S的表，并求其所对应的最大可能错误图样

（4）求，并说明它能可靠地纠几个错？

（5）若信息位,求对应的码字；

（6）它与（7，4）汉明码的关系如何？

4．解：

（1）等价的系统生成矩阵为

（2）监督矩阵

假设发送的信号是，则经编码后输出为，其中

所以：，也就是

（3）错误图样

对应关系如下： 

（4）

    可靠的纠正1个误码。

（5）对应码字为

(6) 该码是（7，4）汉明码的对偶码

5.已知一个（6，3）线性分组码的全部码字为001011，110011，010110，101110，100101，111000，011101，000000。求该码的输出矩阵与监督矩阵，并讨论其纠错能力。

5．解：

任意选取3个线性关系的码字作为生成矩阵，其生成矩阵为：

其监督矩阵为：

因为，即能纠一位错误。

6.设一个（7，4）循环码的生成多项式，当接收矢量为时，试问接收是否有错？如果有错，至少有几个错？该码能否纠这些错？并求译码器的码字。

6．解：

  接收是由错误的。

错误至少有一位。该码能纠正这个错误。

因为，所以译码器的输出为1100101。