贝叶斯统计复习

 1.  设是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为 （1）   

（2）

求的后验分布。

解：

2．  设是来自均匀分布的一个样本，又设的先验分布为Pareto分布，其密度函数为

其中参数，证明：的后验分布仍为Pareto分布。

解：样本联合分布为：

因此的后验分布的核为，仍表现为Pareto分布密度函数的核

即

即得证。

3．  设是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为，

（1）证明：伽玛分布是参数的共轭先验分布。

（2）若从先验信息得知，先验均值为0.0002，先验标准差为0.0001，确定其超参数。

解：

4. 设一批产品的不合格品率为，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设X为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则X服从几何分布，其分布列为      

假如只能以相同的概率取三个值1/4, 2/4, 3/4，现只获得一个观察值，求的最大后验估计。

解：的先验分布为

在给定的条件下，X=3的条件概率为

联合概率为

X=3的无条件概率为

的后验分布为

5。设是来自如下指数分布的一个观察值，

取柯西分布作为的先验分布，即

求的最大后验估计。

解 后验密度

6. 设是来自均匀分布的一个样本，又设服从Pareto分布，密度函数为

求的后验均值和后验方差。

解：的先验分布为： 

令

可得后验分布为： 

则的后验期望估计为：，

后验方差为：.

7.  设x服从伽玛分布，的分布为倒伽玛分布，

（1）证明：在给定x的条件下，的后验分布为倒伽玛分布。

（2）求的后验均值与后验方差。

解：由可以得出

（1）的后验分布为：

即为倒伽玛分布的核。

所以的后验分布为

（2）后验均值为

后验方差为

8.  对正态分布作观察，获得三个观察值：2，3，5，若的先验分布为，求的0.95可信区间。

9. 设某电子元件的失效时间X服从指数分布，其密度函数为

若未知参数的先验分布为倒伽玛分布。计算该种元件在时间200之前失效的边缘密度。

解：

10. 设相互，且。若是来自伽玛分布的一个样本，找出对的联合边缘密度。

解：

11.  某厂准备一年后生产一种新产品，如今有三个方案供选择：改建本厂原有生产线（）,从国外引进一条自动化生产线（）；与兄弟厂协助组织“一条龙”生产线（）。厂长预计一年后市场对此产品的需求量大致可分为三种：较高（）；一般（）；较低（）。假设其收益矩阵为（单位：万元），

假设厂长根据自己对一年后市场需求量是高，中，低，给出的主观概率分别为0.6,0.3，0.1。求在悲观准则，乐观准则，和先验期望准则下的最优行动。

解：悲观准则下：首先行动，，的最小收益分别为-200，-800，-30,。然后选出其中最大的收益为-30，从而最优行动为

乐观准则下：首先行动，，的最大收益分别为700，980，400,。然后选出其中最大的收益为980，从而最优行动为。

   先验期望准则下：各行动的先验期望收益为

       从而最优行动为。

12.  某水果店准备购进一批苹果投放市场，市场需求量和采购量都在500至2000公斤之间，已知其收益函数为，假设的先验分布为上的均匀分布，该店应购进多少苹果可使先验期望收益最大？

解：先验期望收益为

当a=1343时，先验期望达到最大，故应购进1343公斤苹果。 

13. 设某决策问题的收益函数为，若服从上的均匀分布，

（1）求该决策问题的损失函数。

（2）在先验期望损失最小的原则下寻求最优行动。

解：

14. 一位卖花姑娘每晚购进鲜花第二天去卖，假设每束花的购进价格为1元，售价为6元，若当天卖不掉，因枯萎而不能再卖。根据经验一天至少能卖5束鲜花，最多能卖10束鲜花。

（1）写出状态集和行动集。

（2）写出收益函数。

（3）在折中准则下，对乐观系数的不同值，讨论卖花姑娘前一天应购进几束鲜花为好。

解：

： 

15. 在二行动决策问题中，收益函数为

若，计算先验EVPI。

解： 

16. 在二行动决策问题中，收益函数为

若，对，分别计算先验EVPI。

解：