2021年广西北部湾经济区中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）

1．（3分）（2021•广西）下列各数是有理数的是（　　）

A．π B． C． D．0

2．（3分）（2021•广西）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）（2021•广西）如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C出口走出的概率是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）（2021•广西）我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面．经测算，地球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为（　　）

A．4×109 B．40×107 C．4×108 D．0.4×109

5．（3分）（2021•广西）如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（　　）

A．这一天最低温度是﹣4℃    

B．这一天12时温度最高    

C．最高温比最低温高8℃    

D．0时至8时气温呈下降趋势

6．（3分）（2021•广西）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．3a2﹣2a＝a2

7．（3分）（2021•广西）平面直角坐标系内与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，3）

8．（3分）（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（　　）

A． B． C．2 D．3

9．（3分）（2021•广西）函数y＝2x+1的图象不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．（3分）（2021•广西）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

11．（3分）（2021•广西）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则的值为（　　）

A． B． C． D．

12．（3分）（2021•广西）定义一种运算：a*b，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是（　　）

A．x＞1或x B．﹣1＜x C．x＞1或x＜﹣1 D．x或x＜﹣1

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）

13．（3分）（2021•广西）要使分式有意义，则x的取值范围是　    　．

14．（3分）（2021•广西）分解因式：a2﹣4b2＝　             　．

15．（3分）（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为 　                　米（结果保留根号）．

16．（3分）（2021•广西）为了庆祝中国党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）．小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是 　    　．

17．（3分）（2021•广西）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是 　                　．

18．（3分）（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 　                　．

三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

19．（6分）（2021•广西）计算：23×（1）÷（1﹣3）．

20．（6分）（2021•广西）解分式方程：1．

21．（8分）（2021•广西）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．

（1）求证：△ABC≌△CDA；

（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；

（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．

22．（8分）（2021•广西）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：

4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7

4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0

整理数据：

（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？

（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？

23．（8分）（2021•广西）【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？

解：相等．在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．

∴∠AEF＝∠DFC＝90°，

∴AE∥DF．

∵l1∥l2，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴AE＝DF．

又S△ABCBC•AE，S△DBCBC•DF．

∴S△ABC＝S△DBC．

【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．

解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．

请将余下的求解步骤补充完整．

【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．

24．（10分）（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：yx2x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：yx2+bx+c运动．

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．

25．（10分）（2021•广西）如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE＝x，连接BE．

（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；

（2）设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（3）如图②，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．

26．（10分）（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝6，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；

（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求的值．

2021年广西北部湾经济区中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）

1．（3分）（2021•广西）下列各数是有理数的是（　　）

A．π B． C． D．0

【分析】根据有理数的定义，可得答案．

【解答】解：0是有理数．

故选：D．

【点评】本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限不循环小数．

2．（3分）（2021•广西）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（　　）

A． B． C． D．

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图为上下两个梯形，易判断该几何体是上下两个圆台组成．

【解答】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是．

故选：C．

【点评】本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．

3．（3分）（2021•广西）如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C出口走出的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】画树状图，共有6种等可能结果，其中从C出口出来的有2种结果，再由概率公式求解即可．

【解答】解：画树状图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，其中从C出口出来的有2种结果，

所以恰好在C出口出来的概率为，

故选：B．

【点评】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．

4．（3分）（2021•广西）我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面．经测算，地球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为（　　）

A．4×109 B．40×107 C．4×108 D．0.4×109

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【解答】解：400000000＝4×108，

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．

5．（3分）（2021•广西）如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（　　）

A．这一天最低温度是﹣4℃    

B．这一天12时温度最高    

C．最高温比最低温高8℃    

D．0时至8时气温呈下降趋势

【分析】根据该市一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．

【解答】解：从图象可以看出，这一天中的最高气温是大概14时是8℃，最低气温是﹣4℃，从0时至4时，这天的气温在逐渐降低，从4时至8时，这天的气温在逐渐升高，

故A正确，B，D错误；

这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，

故C错误；

故选：A．

【点评】本题考查了函数的图象，认真观察函数的图象，从图象中得到必要的信息是解决问题的关键．

6．（3分）（2021•广西）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．3a2﹣2a＝a2

【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法除法运算法则计算得出答案．

【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；

B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；

C．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；

D．3a2﹣2a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意．

故选：A．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法除法运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．

7．（3分）（2021•广西）平面直角坐标系内与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，3）

【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．

【解答】解：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．

故选：B．

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．

8．（3分）（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（　　）

A． B． C．2 D．3

【分析】连接OA，证明△AOC为等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可．

【解答】解：连接OA，

∵OC⊥AB，∠BAC＝30°，

∴∠ACO＝90°﹣30°＝60°，

∵OA＝OC，

∴△AOC为等边三角形，

∵OC⊥AB，

∴ODOC＝2，

故选：C．

【点评】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．

9．（3分）（2021•广西）函数y＝2x+1的图象不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据k，b的符号确定一次函数y＝x+2的图象经过的象限．

【解答】解：∵k＝2＞0，图象过一三象限，b＝1＞0，图象过第二象限，

∴直线y＝2x+1经过一、二、三象限，不经过第四象限．

故选：D．

【点评】本题考查一次函数的k＞0，b＞0的图象性质．需注意x的系数为2，难度不大．

10．（3分）（2021•广西）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：设共有y人，x辆车，

依题意得：．

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

11．（3分）（2021•广西）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，利用两角对应相等求证△ADG∽△FHE，即可求出的值．

【解答】解：过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：

由折叠A与A'对应易知：∠AOE＝90°，

∵∠EAO+∠AEO＝90°，

∠EAO+∠AGD＝90°，

∴∠AEO＝∠AGD，即∠FEH＝∠AGD，

又∵∠ADG＝∠FHE＝90°，

∴△ADG∽△FHE，

∴，

故选：A．

【点评】本题考查翻折变换，矩形性质以及相似三角形判定与性质，本题通过翻折变换推出∠AOE＝90°进而利用角进行转化求出△ADG∽△FHE是解题的关键．

12．（3分）（2021•广西）定义一种运算：a*b，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是（　　）

A．x＞1或x B．﹣1＜x C．x＞1或x＜﹣1 D．x或x＜﹣1

【分析】分x+1≥2和x+1＜2两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．

【解答】解：由新定义得或，

解得x＞1或x＜﹣1

故选：C．

【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）

13．（3分）（2021•广西）要使分式有意义，则x的取值范围是　x≠2　．

【分析】分式有意义，则分母x﹣2≠0，由此易求x的取值范围．

【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式有意义．

故答案为：x≠2．

【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

14．（3分）（2021•广西）分解因式：a2﹣4b2＝　（a+2b）（a﹣2b）　．

【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．

【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．

故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．

【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．

15．（3分）（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为 　（30﹣10）　米（结果保留根号）．

【分析】在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案．

【解答】解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，

在Rt△ABC中，

∵∠ACB＝45°，

∴AB＝BC，

在Rt△ABD中，

∵∠ADB＝60°，

∴BDAB＝10（m），

∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m，

故答案为：（30﹣10）．

【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角公式是正确解答的前提．

16．（3分）（2021•广西）为了庆祝中国党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）．小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是 　分　．

【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．

【解答】解：小婷的综合成绩为84×50%+95×40%+90×10%＝（分），

故答案为：分．

【点评】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．

17．（3分）（2021•广西）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是 　　．

【分析】连接AC、AE，如图，利用菱形的性质得到∠BAC＝60°，AB＝AC，则可判断△ABC为等边三角形，再根据切线的性质得AE⊥BC，所以BE＝CE＝1，利用勾股定理计算出AE，设圆锥的底面圆半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，所以2πr，然后解方程即可．

【解答】解：连接AC、AE，如图，

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠BAC∠BAD120°＝60°，AB＝AC，

∴△ABC为等边三角形，

∵圆弧与BC相切于E，

∴AE⊥BC，

∴BE＝CE＝1，

∴AE，

设圆锥的底面圆半径为r，

根据题意得2πr，解得r，

即圆锥的底面圆半径为．

故答案为．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了菱形的性质和圆锥的计算．

18．（3分）（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 　y＝（x）2　．

【分析】过C、D作x轴平行线，作B关于直线y＝4的对称点B'，过B'作B'E∥CD，且B'E＝CD，连接AE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，四边形B'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，可得四边形B'EC'D'是平行四边形，可证AE＝AC'+EC'＝AC'+BD'，AC'+BD'最小，最小值为AE的长度，故此时四边形ABC′D′的周长最小，求出B'（3，8），E（﹣2，13），可得直线AE解析式为yx，从而C'（，9），CC'（﹣3），故将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，即可得到答案．

【解答】解：过C、D作x轴平行线，作B关于直线y＝4的对称点B'，过B'作B'E∥CD，且B'E＝CD，连接AE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，如图：

作图可知：四边形B'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，

∴B'E∥CD，C'D'∥CD，且B'E＝DP，C'D'＝CD，

∴C'D'∥B'E且C'D'＝B'E，

∴四边形B'EC'D'是平行四边形，

∴B'D'＝EC'，

∵B关于直线y＝4的对称点B'，

∴BD'＝B'D'，

∴EC'＝BD'，

∴AE＝AC'+EC'＝AC'+BD'，即此时AC'+BD'转化到一条直线上，AC'+BD'最小，最小值为AE的长度，

而AB、CD为定值，

∴此时四边形ABC′D′的周长最小，

∵B（3，0）关于直线y＝4的对称点B'，

∴B'（3，8），

∵四边形B'ECD是平行四边形，C（﹣3，9），D（2，4），

∴E（﹣2，13），

设直线AE解析式为y＝kx+b，则，

解得，

∴直线AE解析式为yx，

令y＝9得9x，

∴x，

∴C'（，9），

∴CC'（﹣3），

即将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，

∴此时抛物线为y＝（x）2，

故答案为：y＝（x）2．

【点评】本题考查二次函数背景下的平移、对称变换，解题的关键是作出图形，求到C'的坐标．

三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

19．（6分）（2021•广西）计算：23×（1）÷（1﹣3）．

【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．

【解答】解：原式＝8（﹣2）

＝4÷（﹣2）

＝﹣2．

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（6分）（2021•广西）解分式方程：1．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：3x＝x+3x+3，

解得：x＝﹣3，

检验：当x＝﹣3时，3（x+1）≠0，

∴分式方程的解为x＝﹣3．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

21．（8分）（2021•广西）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．

（1）求证：△ABC≌△CDA；

（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；

（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．

【分析】（1）由AB∥CD得∠ACD＝∠CAB，结合∠B＝∠D，AC＝CA，即可根据AAS证明△ABC≌△CDA；

（2）以C为圆心，CB为半径作弧，交线段AB延长线于F，分别以B、F为圆心，大于BF的线段长为半径作弧，两弧交于G、H，连接GH，交AF于E，作直线CE，则CE即为AB的垂线；

（3）由△ABC≌△CDA，四边形ABCD的面积为20，可得S△ABC＝S△CDA＝10，即可列出AB•CE＝10，而AB＝5，即得CE＝4．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠ACD＝∠CAB，

在△ABC和△CDA中，

，

∴△ABC≌△CDA（AAS）；

（2）解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：

（3）解：由（1）知：△ABC≌△CDA，

∵四边形ABCD的面积为20，

∴S△ABC＝S△CDA＝10，

∴AB•CE＝10，

∵AB＝5，

∴CE＝4．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，涉及尺规作图、三角形面积等知识，解题的关键是掌握过一点作已知直线的垂线的方法：即是作线段BF的垂直平分线．

22．（8分）（2021•广西）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：

4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7

4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0

整理数据：

（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？

（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？

【分析】（1）根据题意以及众数、中位数的定义分别求出即可；

（2）从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可；

（3）求出成本，根据（2）的结果计算即可得到答案．

【解答】解：（1）a＝20﹣2﹣1﹣7﹣3﹣1＝6，

分析数据：样本中，4.7出现的次数最多；故众数b为4.7，

将数据从小到大排列，找最中间的两个数为4.7，4.8，故中位数c4.75，

∴a＝6，b＝4.7，c＝4.75；

（2）选择平均数4.7，

这2000箱荔枝共损坏了2000×（5﹣4.7）＝600（千克）；

（3）10×2000×5÷（2000×5﹣600）≈10.7（元），

答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.7元才不亏本．

【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．

23．（8分）（2021•广西）【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？

解：相等．在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．

∴∠AEF＝∠DFC＝90°，

∴AE∥DF．

∵l1∥l2，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴AE＝DF．

又S△ABCBC•AE，S△DBCBC•DF．

∴S△ABC＝S△DBC．

【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．

解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．

请将余下的求解步骤补充完整．

【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．

【分析】【类比探究】由等腰三角形的性质可得DF＝CFCD＝2，∠ADC＝∠EFD＝90°，可证AD∥EF，可得S△ADE＝S△ADF，由三角形的面积公式可求解；

【拓展应用】连接CF，由正方形的性质可得∠BDC＝∠GCF，可得BD∥CF，可得S△BDF＝S△BCD，由三角形的面积公式可求解．

【解答】解：【类比探究】过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，

∵DE＝CE，EF⊥CD，

∴DF＝CFCD＝2，∠ADC＝∠EFD＝90°，

∴AD∥EF，

∴S△ADE＝S△ADF，

∴S△ADEAD×DF4×2＝4；

【拓展应用】如图③，连接CF，

∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，

∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°，

∴∠BDC＝∠GCF，

∴BD∥CF，

∴S△BDF＝S△BCD，

∴S△BDFBC×BC＝8．

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能掌握和运用“阅读理解”中的知识是解题的关键．

24．（10分）（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：yx2x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：yx2+bx+c运动．

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．

【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C2：yx2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；

（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：m2m+4﹣（m2m+1）＝1，解出m即可；

（3）求出山坡的顶点坐标为（7，），根据题意即72+7b+4＞3，再解出b的取值范围即可．

【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：yx2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：

，解得：，

∴抛物线C2的函数解析式为：yx2x+4；

（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：

m2m+4﹣（m2m+1）＝1，

整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，

解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），

故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；

（3）C1：yx2x+1（x﹣7）2，

当x＝7时，运动员到达坡顶，

即72+7b+4＞3，

解得：b．

【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．

25．（10分）（2021•广西）如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE＝x，连接BE．

（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；

（2）设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（3）如图②，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．

【分析】（1）设EF＝m．证明AH＝HG＝CG＝m，构建方程求解即可．

（2）解直角三角形可得EHAE（8﹣x），EFDEx，利用三角形面积公式，矩形的面积公式求解即可．

（3）如图③中，由（2）可知点P在y上，当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时P（，），当直线MN⊥OP时，△OMN的面积最小．

【解答】解：（1）设EF＝m．

∵BC＝14，BD＝6，

∴CD＝BC﹣BD＝14﹣6＝8，

∵AD＝8，

∴AD＝DC＝8，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴ACAD＝8，

∵四边形EFGH是正方形，

∴EH＝FG＝GH＝EF＝m，∠EHG＝∠FGH＝90°，

∴∠AHE＝∠FGC＝90°，

∵∠DAC＝∠C＝45°，

∴∠AEH＝∠EAH＝45°，∠GFC＝∠C＝45°，

∴AH＝EH＝x，CG＝FG＝x，

∴3m＝8，

∴m，

∴EF．

（2）∵DE＝DF＝x，DA＝DC＝8，

∴AE＝CF＝8﹣x，

∴EHAE（8﹣x），EFDEx，

∴y，

∴y（0＜x＜8）．

（3）如图③中，由（2）可知点P在y上，

当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时P（，），

当直线MN⊥OP时，△OMN的面积最小，

此时OM＝ON＝2，

∴△MON的面积的最小值226．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型．

26．（10分）（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝6，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；

（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求的值．

【分析】（1）由OC∥AB，得∠DOC＝∠OAE＝∠AEF，根据EF是⊙O的直径，可得∠AFE+∠AEF＝90°，且已知∠AFE＝∠OCD，即可证明∠OCD+∠DOC＝90°，CD是⊙O的切线；

（2）连接DF，先证明△ADF∽△AGD，，由AD＝6，GF＝1，得AF＝8，在Rt△AEF中，AE2，即可求出cos∠AEF；

（3）延长CO交AF于K，连接MN、MF，由∠EAF＝90°，可得∠CKA＝90°，即OK⊥AF，而EF＝AD＝6，AF＝8，在Rt△OKF中，OK，再证∠G＝∠AEF，可得，CK＝10，根据BH平分∠ABC，OC∥AB，得∠CBH＝∠ABH＝∠CHB，从而CH＝BC＝OA＝3，MH＝3，KH＝7，在Rt△AKH中，AH，最后证明△MNH∽△HBA，即可得．

【解答】（1）证明：∵四边形OABC是平行四边形，

∴OC∥AB，

∴∠DOC＝∠OAE，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠AEF，

∴∠DOC＝∠AEF，

∵EF是⊙O的直径，

∴∠EAF＝90°，

∴∠AFE+∠AEF＝90°，

∴∠AFE+∠DOC＝90°，

∵∠AFE＝∠OCD，

∴∠OCD+∠DOC＝90°，

∴∠ODC＝90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）连接DF，如图：

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ADF+∠DAF＝90°，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠G+∠DAF＝90°，

∴∠ADF＝∠G，

又∠DAF＝∠GAD，

∴△ADF∽△AGD，

∴，

∵AD＝6，GF＝1，

∴，

解得AF＝8或AF＝﹣9（舍去），

在Rt△AEF中，AE2，

∴cos∠AEF；

（3）延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图：

∵EF是⊙O直径，

∴∠EAF＝90°，

∵OC∥AB，

∴∠CKA＝90°，即OK⊥AF，

∵EF＝AD＝6，AF＝8，

∴FO＝3，FK＝AK＝4，

Rt△OKF中，OK，

∵∠G+∠OAF＝90°，∠OFA+∠AEF＝90°，

且∠OAF＝∠OFA，

∴∠G＝∠AEF，

∴tanG＝tan∠AEF，

即，

∴，即，

解得CK＝10，

∵BH平分∠ABC，OC∥AB，

∴∠CBH＝∠ABH＝∠CHB，

∴CH＝BC＝OA＝3，

∴MH＝CK﹣OK﹣OM﹣CH＝10333，

∴KH＝OK+OM+MH＝7，

在Rt△AKH中，AH，

而∠MNH＝∠MFA∠MOA∠ABC＝∠ABH，

且∠MHN＝∠HAB，

∴△MNH∽△HBA，

∴．

【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是观察、构造相似三角形，把所求线段的比转化为两个相似三角形其它边的比，

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日期：2021/7/2 8:57:44；用户：时代卓锦初数；邮箱：sdzjsx@xyh.com；学号：37287009