函数不同类型值域方法求解归纳

题型一：二次函数的值域: 配方法(图象对称轴)

例1．求的值域

解答：配方法： 

      所以值域为

例2．求在上的值域

解答：函数图像法：  画出函数的图像可知，在时取到最小值，而在时取到最大值8，可得值域为。

例3．求在上的值域

解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a的取值有关，所以进行分类讨论：

1当时，对称轴在的左侧，所以根据图像可知，

，, 此时值域为.

2当时，对称轴在与y轴之间，所以根据图像可知，

，,此时值域为.

3当时，对称轴在y轴与之间，所以根据图像可知，

，,

所以此时值域为

4当时，对称轴在的右侧，所以根据图像可知，

， 

所以此时的值域为

题型二：指数、对数函数的值域: 采用换元法

例4．求的值域

解答：复合形式用换元：令，则由例1可知， 

根据单调性，可求出的值域为

例5．求的值域

解答：因为，所以，采用换元法，令，则

则原函数变为，可以根据二次函数值域的求法得到值域为

题型三：分式函数的值域

分式函数的值域方法：(1) 分离变量(常数)法;(2) 反函数法(中间变量有界法);(3) 数形结合(解析几何法：求斜率);(4) 判别式法（定义域无为R）;

例6．求函数的值域

解法一：分离变量法。将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元，令，原函数变为，由反比例函数的性质可知，值域为

解法二：反函数法。利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。令，则，得到，可知

解法三：解析几何法。考虑数形结合，联想到分式表示两点间连线的斜率，则讲原函数写为，可以看成是两点连线的斜率，其中是动点，构成直线轨迹，则连线必须与相交，所以连线斜率不能是2，得到值域。

例7．求函数在的值域

解法一：分离变量之后采用函数图像法。令，，原函数变为，可以画出的图像，或者根据单调性直接可以得到值域为

解法二：反函数法。将代入中，求解不等式，可以得到值域范围。

解法三：解析几何法。，可以看成是两点连线的斜率，其中是动点，不再构成直线，而是构成在区间的线段，画出图像后观察可得斜率的范围为

例8．求函数的值域

解法一：分离变量法，令，原函数变为

由均值不等式可知当，当，可以得到原函数的值域为

解法二：判别式法。令，则，整理得关于的一元二次方程，满足方程有解，该方程的判别式可得,即函数的值域为

解法三：解析几何法。，可以看成是两点之间连线的斜率，而是动点，恰好构成的轨迹，由图像可以看出，连线斜率范围为函数值域。

例9．求函数在的值域

解答：此题了定义域，导致判别式法失效，采用分离变量法，画出函数图像来求函数的值域。

令，，原函数变为画对勾函数图像，

可得的值域范围是，则函数的值域为

题型四：三角函数的值域

求三角函数的值域方法：（1）二次换元配方；（2）三角函数有界性；

（3）数形结合（单位圆求斜率）。

例：求函数的值域

解答：使用辅助角公式，，可知函数的值域为

例10．求函数的值域

解答：先化简，再转为一次三角函数后使用辅助角公式，可知函数的值域为

例11．求函数的值域

解答：先化为同角的三角函数，再换元为二次函数求解值域。

令，则原函数化为，则按前面的例题可得函数的值域为，

例12．求函数值域

令，则原函数化为，同理，按二次函数的值域求法，可得结果。

注意：用换元。

例13．求函数的值域

解法一：辅助角公式三角函数有界法。令，则可得，利用辅助角公式后，则要求，可解出值域范围

解法二：解析几何法。三角分式也可以看为，即两点连线的斜率，其中是动点，构成的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆，根据图像可知，连线与圆相切时分别取到最大值和最小值，可得函数的值域

例14．求函数在上的值域

解答：此时无法使用辅助角公式法，只能用解析几何法，动点构成的轨迹为右半圆，这样，可得结果

题型五：绝对值函数的值域：

绝对值函数值域：（1）零点分类讨论法（2）数形结合：利用绝对值几何意义。

例15．求函数的值域

解法一：零点分类讨论法。当时，；当时，；当时，。所以函数的值域为

解法二：利用绝对值的几何意义，画出数轴，分别表示到-5与1的距离，根据数轴图像，可以直接得到值域为

例16．求函数的值域

解答：零点分类法将十分麻烦，利用换元法，令，则原函数化为，则根据数轴法，可以得到函数的值域为

题型六：根式函数的值域

根式函数的值域方法：（1）代数换元法；（2）三角换元法；（3）解析几何法：距离、切距等。（3）单调性法。

例17．求函数的值域

解法一：换元法，令，则原函数化为，根据二次函数值域的求法，可得原函数值域为。

解法二：解析几何法，令，，可得，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过上的点，画出图像可知相切时截距最小，可得函数的值域

例18．求函数的值域

解法一、解法二同上一例题，注意换元时的等价性，结果

解法三：单调性法，题目中函数为单调递增，根据函数的定义域，代入可得函数的值域。

例19．求函数的值域

解法一：三角换元法，令，这样换元既可以保证换元的等价性，同时可以使得开方后的表达式去掉绝对值符号，注意，画出三角函数图像可得值域为。

解法二：解析几何法，令，，可得，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过，通过作图可以得到截距的范围，也就是函数的值域

例20．求函数的值域

解法一：三角换元，类似于上一道题，令，这样可以得到，化为三角分式，在利用解析几何法将其转化为两点的斜率可以做出图像得到值域为

解法二：解析几何法，类似于上一道题，令，，可得，即函数的值可以看成是直线的截距的2倍，而直线必须通过即双曲线的上半支，通过作图可知相切时取得截距的最小值，得到值域。

解法三：对勾换元法，利用进行换元，令，则原函数化为，根据均值不等式可得值域

例21．求函数的值域

解答：先配方，可得，利用解析几何法，类比两点距离公式可以转化为到两点距离和，作图在利用两点间线段距离最短可以得到函数值域为。

例22 求函数的值域。

解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，

故所求函数的值域为

  例23. 求函数的值域。

解：将函数变形为：

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。

即：

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有

即：

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为：

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。

题型七：对勾函数：值域。

均值不等式法：转化成型如=+ (a>0,b>0)，利用均值不等式求值域

注意：利用均值不等式求最值或求值域时要满足：一正 二定 三相等

部分练习

求下列函数的值域：

1.    ；2. 

3.    ；4. 

5.；6. 

7.；8. 

9．；10. 

11.；12. 

13． 

例析求函数值域的方法

常用的方法有：直接法、配方法、判别式法、基本不等式法、逆求法（反函数）、换元法、图象法、利用函数单调性等。

（一）方法讲解

1、求值域的常用方法;

（1）观察法：从自变量的范围出发，推出的取值范围

（2）单调性法：如果在上单调递增，则其值域为；如果在上单调递减，则其值域为。如一次函数，形如的函数。

（3）换元法：形如的函数，可令，则，转化为关于的二次函数求值域；形如含有的结构的函数，可用三角换元，令求解。如，可设，化为；又如，可设化为。          注意：换元必换限！

（4）反表示法：形如，可以把关于的函数化为关于的函数。如，可化为，由，可求得的范围；再如，可化为，利用的有界性可求得的范围。

（5）配方法：试用于二次函数或可化为二次函数形式的函数。注意：配方、画图、截段！

（6）判别式法：如，其中不全为0。

注意：用此方法求值域时函数的定义域一定要求为！

（7）不等式法：利用函数在和上单调递增，在和上单调递减来求解。

（8）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，再得值域；高次函数可用导数求值域。

（9）几何意义法（数形结合法）：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。

（二）方法运用。

一、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。

例1：求函数的值域。

解：∵，∴，    ∴函数的值域为。

二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2：求函数（）的值域。

解：， 

∵，∴，∴ 

∴，∴ 

∴函数（）的值域为。

练习：（1）；   （2）；

     （3）；    （4）；

     （5）已知函数在时，有，求的值。

     （6）已知，，若的，写出的表达式。

三、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

例3：求函数的值域。

解：由     解得，

∵，∴，∴    ∴函数的值域为。

练习：（1）；（2）；（3）

四、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例4：求函数的值域。

解：∵，

∵，∴，    ∴函数的值域为。

练习：（1）；（2）

五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求。

例5：求函数的值域。

解：令（），则，

∴

∵当，即时，，无最小值。∴函数的值域为。

练习：（1）；（2）；

六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

例6：求函数的值域。

解：由变形得，

当时，此方程无解；

当时，∵，∴，

解得，又，∴ 

∴函数的值域为

练习：的值域。

七、函数的单调性法：

确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例7：求函数的值域。

解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，

∴函数在定义域上是增函数。

∴，    ∴函数的值域为。

练习：（1）；（2）；

（3）设是定义在上的奇函数，且满足如下两个条件：

对于任意,有；当时，，且.

 求函数在上的最大值和最小值。

八、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例8：求函数的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得，

∵，∴（，），∴，∴ 

∴函数的值域为

九、图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。

例9：求函数的值域。

解：∵ ，

∴的图像如图所示，

由图像知：函数的值域为

练习：（1）；

（2）；（3）；

（4）对,若，，则的？

 十、观察法

     例10：求的值域。

 十一、不等式法

     例11：求的值域。

     练习： 

十二、求导法

     例12：设，试求在上的最大值和最小值