高中数学平面向量

第二讲 平面向量

【考点透视】

“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为：

1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．

5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．

6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】

1. 向量的概念，向量的基本运算

(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.

(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.

(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.

例1已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0

，那么（ ） Ａ．AO OD =

Ｂ．2AO OD =

Ｃ．3AO OD =

Ｄ．2AO OD =

命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．

解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,

故选A ．

例2．在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC === ，M 为BC 的中点，则MN =

______.（用a b

、表示）

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.

解：343A =3()AN NC AN C a b ==+

由得，12

AM a b =+ ，

所以,3111()()4

2

4

4

MN a b a b a b =+-+=-+

. 例3．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( ) （A ）BA BC 2

1+- （B ） BA BC 2

1--

（C ） BA BC 2

1- （D ）BA BC 2

1+

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2

1+-=+=，故选A.

例4．与向量a

=71,,22b ⎛

⎫= ⎪⎝⎭

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭

⎫- ⎝⎛53,5

4 (B) ⎪⎭

⎫- ⎝⎛53,5

4或⎪⎭

⎫ ⎝⎛-53,54

（C ）⎪⎭

⎫- ⎝⎛31,3

22 （D ）⎪⎭

⎫- ⎝⎛31,3

22或⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-

31,3

22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.

解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.

555c c ⎛⎫⎛⎫

=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4或-时5

另一方面,当222274134312525,,cos ,.

55271432255a c c a c a c ⎛⎫

⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫⎝⎭

=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 时 当222274134312525,,cos ,.

55271432255a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫⎝⎭⎝⎭

=-===- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 时

故平面向量c 与向量a

=71,,22b ⎛

⎫= ⎪⎝⎭

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a

，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __．

命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题

.

解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-

设由

()2311,1,2.

231 2.

x x b y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩ 得 22223132310cos ,.

103312

a b a b a b ⋅⨯+⨯===⋅+++

310.10

故填

例6.已知向量(

)

3,1a =

，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=

，则b

= （）

（A ） ⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛433,41 （D ）

()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.

解:设(),()b x y x y =≠

，则依题意有221,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨

+=⎪⎩

1,23.2

x y ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

故选B.

例7.设平面向量1a

、2a

、3a

的和1230a a a ++=

.如果向量1b 、2b 、3b

，满足2i i b a =

，且i a

顺时针旋转30o 后与i b

同向，其中1,2,3i =，则（ ）

（A ）1230b b b -++=

（B ）1230b b b -+=

（C ）1230b b b +-=

（D ）1230b b b ++=

命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.

常规解法：∵1230a a a ++= ，∴ 1232220.a a a ++=

故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转

30

后与i b 重合，故1230b b b ++=

，应选D.

巧妙解法：令1a =0 ，则2a

=3a - ，由题意知2b

=3b -

，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D).

点评：巧妙解法巧在取1a

=0

，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.

2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合

(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而

综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.

(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.

例8．设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭

⎫ ⎝⎛2,4π， （Ⅰ）求实数m 的值；

（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++ ，

由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛

⎫=++=

⎪ ⎪

⎝⎭⎝

⎭，得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 212sin 24f x x x x ⎛

⎫=++=++

⎪⎝

⎭

， ∴当πsin 214x ⎛

⎫+=- ⎪⎝

⎭时，()f x 的最小值为12-，

由πsin 214x ⎛

⎫

+

=- ⎪

⎝

⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭

Z ， 例9． 设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2

π

(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.

（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.

解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++ a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛

⎫=++=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，得1m =．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 12sin 14f x x x x ⎛⎫=++=

++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛

⎫+=- ⎪⎝

⎭时，

()f x 的最小值为12-．

例10．已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC

的夹角为θ．

（错误！未找到引用源。）求θ的取值范围；

（错误！未找到引用源。）求函数2()2sin 3cos 24f θθθ⎛⎫

=+-

⎪⎝⎭

π的最大 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，的对边分别为a b c ， 则由

1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，∴． （Ⅱ）2π()2sin 3cos 24f θθθ⎛⎫

=+-

⎪⎝⎭π1cos 23cos 22θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣

⎦

(1sin 2)3cos 2θθ=+-πsin 23cos 212sin 213θθθ⎛

⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．

ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π22sin 2133θ⎛

⎫-+ ⎪⎝

⎭∴≤≤．

即当5π12θ=

时，max ()3f θ=；当π

4

θ=时，min ()2f θ=． 例11． 已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解：（1）(3,4)AB =-- ，(3,4)AC c =-- ，若c=5， 则(2,4)AC =- ，

∴6161cos cos ,5255

A AC A

B -+∠=<>==

⨯ ，∴sin ∠A ＝255； （2）∠A 为钝角，则39160,0,

c c -++<⎧⎨

≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25

(,)3+∞

例12．在ABC △中，角A B C ，的对边分别为tan 37a b c C =，． （1）求cos C ；（2）若5

2CB CA = ，且9a b +=，求c ．

解：（1）sin tan 3737cos C

C C

=∴= ， 又22sin cos 1C C +=

解得1cos 8C =±． tan 0C > ，C ∴是锐角． 1

cos 8

C ∴=．

（2）52CB CA = ， 5

cos 2

ab C ∴=， 20ab ∴=．

又9a b +=

22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．

2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．

6c ∴=．

例13.设函数()()

f x a b c =⋅+ ，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=- ,

()cos ,sin ,c x x x R =-∈ .

（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d

平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对

称，求长度最小的d

.

命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.

解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +

)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx) ＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+4

3π).

所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是2

2π＝π.

（Ⅱ）由sin(2x+4

3π)＝0得2x+4

3π＝k.π，即x ＝8

32ππ-k ,k ∈Z ，

于是d

＝（8

32

ππ

-

k ，－2），23()4,28k d ππ=-+

k ∈Z.

因为k 为整数，要使d

最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8

π，―2）即为所求.

例14．已知向量a

＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．

（Ⅰ）若a ⊥b

，求θ； （Ⅱ）求｜a ＋b

｜的最大值．

命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力. 解：（Ⅰ）若a ⊥b

，则sin θ＋cos θ＝0，

由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π

4；

（Ⅱ）由a

＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得

｜a ＋b

｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)

＝

3＋22sin(θ＋π

4

)，

当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π

4时，|a ＋b |最大值为2＋1． 例15．如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --三动点D 、E 、M 满足

,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈

- 2 y

1 - 1 1 x

- 1 A

C

D E B 图

2O

（I ）求动直线DE 斜率的变化范围；

（II ）求动点M 的轨迹方程。

命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、 三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识， 考查推理和运算能力.

解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x,y).由=t, = t ,

知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D =－2t+2

y D =－2t+1 同理

⎩⎨⎧x E =－2t y E =2t －1

. ∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)

－2t －(－2t+2) = 1－2t.

∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].

(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t －2,y+2t －1)=t(－2t+2t －2,2t －1+2t －1)=t(－

2,4t －2)=(－2t,4t 2

－2t). ∴⎩⎨⎧x=2(1－2t)y=(1－2t)

2 , ∴y=x 24 , 即x 2

=4y. ∵t ∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].

即所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2] 解法二: (Ⅰ)同上.

(Ⅱ) 如图, =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t, = + = +t = +t(－) =(1－t) +t, = += + t= +t(－)=(1－t) + t = (1－t 2) + 2(1－t)t+t 2 .

设M 点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得

⎩⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)

2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]

例16已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →

（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；

（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．

y

x O

M

D A

C

－1 －1 －2 1

2

B

E

图3

命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.

解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →

， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，

⎩

⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝1

4x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③

解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1

λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，

抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1

2x ．

所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝1

2x 2(x －x 2)＋y 2， 即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －1

4

x 22．

解出两条切线的交点M 的坐标为(122x x +，122x x ⋅)＝(12

2x x +，－1)．

所以FM →·AB →＝(122

x x +，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0.

所以FM →·AB →为定值，其值为0．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝1

2

|AB ||FM |．

|FM |

＝

(x 1＋x 2

2)2＋(－2)2

＝

14x 12＋14x 22＋1

2x 1x 2＋4

＝

y 1＋y 2＋1

2×(－4)＋4＝

λ＋1λ＋2＝λ＋1λ

．

因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以

|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1

λ)2．

于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1

λ)3，

由λ＋

1

λ

≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4． 【专题训练】 一、选择题

1．已知x b a x b a 则且,//),,4(),3,2(==的值为 （ ）

A ．－6

B ．6

C ．

3

8 D ．－

3

8 2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且,,2AC s AB r CD DB CD +==则s r +的值是（ ） A ．

3

2 B ．

3

4 C ．－3 D ．0

3．把直线02=-y x 按向量)2,1(--=a 平移后，所得直线与圆5

4222λ=-++y x y x 相

切，则实数λ的值为 （ A ）

A ．39

B ．13

C ．－21

D ．－39

4．给出下列命题：①a ·b =0，则a =0或b =0. ②若e 为单位向量且a //e ，则a =|a |·e . ③a ·a ·a =|a |3. ④若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.其中正确的个数是 （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

5.在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ） A.若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x )(x 、y ≠0)，则a ⊥b B.四边形ABCD 是菱形的充要条件是AB =DC ，且|AB |=|AD | C.点G 是△ABC 的重心，则GA +GB +CG =0 D.△ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180°－A

6.若O 为平行四边形ABCD 的中心，AB = 4e 1,

= 6e 2,则3e 2－2e 1等于（ ）

A.AO

B.BO

C.CO

D.DO 7.将函数y=x +2的图象按a =（6，－2）平移后，得到的新图象的解析式为（ ） A.y=x +10

B.y=x －6

C.y=x +6

D.y=x －10

8.已知向量m =(a,b )，向量m ⊥n 且|m |=|n |,则n 的坐标为 A.（a, －b ）

B.( －a,b )

C.(b, －a )

D.( －b, －a )

9.给出如下命题：命题（1）设e 1、e 2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a ,都存在惟一的一对实数x 、y ，使a =x e 1+y e 2成立；命题（2）若定义域为R 的函数f (x )恒满足｜f (－x )｜=｜f (x )｜,则f (x )或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（ ） A.命题（1）（2）均为假命题

B.命题（1）（2）均为真命题

C.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题

D.命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 10．若|a+b|=|a-b|，则向量a 与b 的关系是（ ）

A. a=→

0或b=→

0 B.|a|=|b| C. a •b=0 D.以上都不对

11．O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

(),[0,).|||AB AC

OP OA AB AC

λλ=++∈+∞

则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心

12． 若()1,3,2-=a , (),3,0,2=b ()2,2,0=c , 则()

c b a +⋅= （ ）

A ． 4

B ． 15

C ． 7

D ． 3

二、填空题

1．已知AB AC AB ,4||,3||==与AC 的夹角为60°，则AB 与AB －AC 的夹角余弦为 . 2． 已知→

a ＝（—4,2,x ），→

b ＝(2,1,3),且→

a ⊥→

b ，则x ＝ .

3． 向量()b a b a 57)3(-⊥+ ，()()

b a b a 274-⊥-，则a 和b 所夹角是 4． 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点D 满足条件：DB ⊥AC, DC ⊥AB, AD=BC, 则D 的坐标为 .

5． 设b a ,是直线，βα,是平面，βα⊥⊥b a ,，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上，

}0,4,3{},1,1,1{11-==b a ，则βα,所成二面角中较小的一个的大小为 ．

三、解答题

1.△ABC 中，三个内角分别是A 、B 、C ，向量B A B A C a tan tan ),2

cos ,2

cos 2

5(⋅-=当

9

1

=

时，求||a . 2.在平行四边形ABCD 中，A （1，1），)0,6(=AB ，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P . （1）若(3,5),AD =

求点C 的坐标；

（2）当||||AD AB =时，求点P 的轨迹.

3.平面内三个力1F ，2F ，3F 作用于同丄点O 且处于平衡状态，已知1F ，2F 的大小分别为1kg ，2

26+kg ，1F 、2F 的夹角是45°，求3F 的大小及3F 与1F 夹角的大小.

4.已知a ，b 都是非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.

5.设a =(1+cos α,sin α), b =(1－cos β,sin β),c =(1,0),α∈(0,π)β∈(π,2π),a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2,且θ1－θ2=6π，求sin 4

β

α-. 6.已知平面向量a =（3，－1），b =（2

1，23）.

(1)证明：a ⊥b ；

(2)若存在实数k 和t ，使得x =a +(t 2－3)b ,y =－k a +t b ,且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t ); (3)根据（2）的结论，确定k =f (t )的单调区间.

【参】 一、选择题 1.B 2．D 3．A4．A 5. 答案：C

提示：若点G 是△ABC 的重心，则有GA +GB +GC =0，而C 的结论是GA +GB +CG =0，显然是不成立的，选C.

6.B

7.B

8.C

9.A 10. C 11．B 12．D 二、填空题

1．13

13 2． 2 3．60° 4．（1，1，1）或),,(313131--- 5．.arccos 153

3．解：由()(

)0573=-⋅+b a b a , ()()

0274=-⋅-b a b a , 有b

a a ⋅+1672

，083072

2=+⋅-b b a a ,

解得22b a =,b a b ⋅=22

, =⋅⋅=∴b

a b a b a ,cos 21．

4.解：设D(x, y, z), 则),1,(z y x BD -=，(),1,,-=z y x CD =AD （x-1, y, z ）,

=AC (-1, 0, 1), =AB (-1,1, 0), =BC (0, -1, 1)． 又DB ⊥AC ⇔-x+z=0,

DC ⊥AB ⇔-x+y=0, AD=BC ⇔(),21222=++-z y x

联立解得x=y=z=1或x=y=z=.3

1-所以D 点为（1，1，1）或),,(313131---。

三、解答题

1．2

cos )2

cos 2

5(||222B A C a -+= ，

.4

23||,||.cos cos sin sin 9.

9

1

cos cos sin sin ,91tan tan ).cos cos sin sin 99(8

1

)

sin sin 5cos cos 5sin sin 4cos cos 49(8

1

)]cos(5)cos(49[812)cos(12)cos(1452cos 2sin 452cos 2cos 45||222222==

∴=∴==-+=+-++=+--+=-+++-⋅=-++=-+⋅=∴a a B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B

A B A B A C a 故即又 2.解：（1）设点C 坐标为（),00y x ,

又)5,9()0,6()5,3(=+=+=AB AD AC ,即)5,9()1,1(00=--y x . 6,1000==∴y x . 即点C （0，6）. （2）解一：设),(y x P ，则

)1,7()0,6()1,1(--=---=-=y x y x AB AP BP .

).

33,93()0,6())1(3),1(3(3)2

1

(321321--=---=-=-+=+=

+=y x y x AB AP AB AP AB MP AB MC AM AC

∴=.

||||AD AB ABCD 为菱形.

.0)33,93()1,7(,

=--⋅--⊥∴y x y x AD AC 即

0)33)(1()93)(7(=--+--y y x x

)1(02221022≠=+--+∴y y x y x .

故点P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半圆去掉与直线1=y 的两个交点. 解法二：||||AD AB =

∴D 的轨迹方程为)1(36)1()1(22≠=-+-y y x .

M 为AB 中点, BD P 分∴的比为2

1 . 设).23,143(,)1,7(),,(--∴y x D B y x P .

P ∴的轨迹方程 36)33()153(22=-+-y x .

整理得)1(4

)1()5(22≠=-+-y y x . 故点P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线1=y 的两个交点.

3.设1F 与2F 的合力为F ，则|F|=|F 3|.

∵∠F 1OF 2=45° ∴∠FF 1O=135°.

在△OF 1F 中，由余弦定理

135cos ||||2||||||1121212⋅-+=F F OF F F OF OF =324+. 13||,31||3+=+=∴F OF 即. 又由正弦定理，得21||sin ||sin 111

=∠=∠OF O FF F F OF F . ∴∠F 1OF=30° 从而F 1与F 3的夹角为150°.

答：F 3的大小是（3+1）kg,F 1与F 3的夹角为150°.

4..解：∵a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，

∴(a +3b )·(7a －5b )=0，(a －4b )·(7a －2b ) =0.

即⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅-=-⋅+.0||830||7 ,0||1516||72222b b a a b b a a 两式相减：a ·b =2

1|b |2，代入①得|a |2=|b |2. ∴cos α=||||b a b a ⋅=2

1.∴α=60°，即a 与b 的夹角为60°. 5.解：a =(2cos 22α,2sin 2αcos 2α

)

=2cos 2α (cos 2α,sin 2α

)

∴θ1=2α

,

b =(2sin 22β,2sin 2βcos 2β) F F 1 F 2 F 3

O ① ②

=22β

(sin 2β,cos 2β) ∴θ2=2β－2π,又θ1－θ2=6π⇒2α－2β+2π=6π⇒2βα-= －3

π ∴sin 2βα-=sin(－6π)=－21 6.（1）证明：∵a =(3,－1),b =(

21,23) ∴3×2

1+(－1)×23=0∴a ⊥b (2)解：由题意知

x =(23322-+t ,2

23332--t ), y =(2

1t －3k ,23t +k ) 又x ⊥y 故x ·y =23322-+t ×(2

1t －3k )+223332--t ×(23t +k )=0 整理得：t 2－3t －4k =0即k =41t 3－4

3t (3)解：由（2）知：k =f (t )= 41t 3－4

3t ∴k ′=f ′(t )= 43t 2－4

3 令k ′＜0得－1＜t ＜1;令k ′＞0得t ＜－1或t ＞1

故k =f (t )单调递减区间是（－1，1），单调递增区间是（－∞,－1）∪(1,+∞)