趋势平稳与差分平稳随机过程(20090516)

在经济现象中，一些非平稳的经济时间序列往往表现出共同的变化趋势，而这些序列本身不一定有直接的关联关系，这时对这些数据进行回归，尽管有较高的，其结果是没有任何实际意义的，说明这种回归关系不能真实的反映被解释变量与解释变量之间存在的均衡关系，仅仅是一种数字上巧合而已。这种现象我们已经给出定义，称为伪回归（虚假回归）。比如，在非平稳条件下，用甲的收入去解释乙的消费支出，说不定它们之间有良好的回归关系，但是不能说明任何问题。

为了避免这种虚假回归的产生，通常的做法是引入作为趋势变量的时间，这样包含有时间趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响。但是，这种做法只有当趋势性变量是确定性的而非随机性的才会有效。即如果一个包含某种确定性趋势的非平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性的趋势变量，而将确定性趋势分离出来。

设含有一阶自回归的随机过程为

                    （1）

其中，为白噪声过程，为时间趋势。如果，则上式为

                           （2）

根据系数的正负，表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为确定性趋势。

如果，则包含了有确定性趋势和随机性趋势

                      （3）

判断一个非平稳的时间序列，它的趋势是随机性的还是确定性的，可通过ADF检验中所用的第三种模型进行，即

         （4）

在该模型中，已经引入了表示确定性趋势的时间变量，即分离出了确定性趋势的影响。因此，如果检验结果表明所给时间序列含有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势；如果没有单位根，且时间变量前的参数显著的不为零，则该序列显示出确定性趋势。

对于随机性趋势的消除方法，通常可用差分变换为

该时间序列称为差分平稳过程。而确定性趋势无法通过差分的方法消除，只能通过除去趋势项消除，如可通过对（2）式除去，变换为

是平稳的。因此，称为趋势平稳过程。趋势平稳过程代表了一个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行长期预测更可靠。