拉格朗日中值定理的证明

怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的 去。

罗尔定理：函数 满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。

拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2).

比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为:

1.首先分析要证明的等式：我们令……(1)

则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。

由有，f(b)-tb=f(a)-ta……(2)

分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论

2.考虑函数

我们知道其导数为

且有 F(a)=F(b)=0.

作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.