2018届天津市耀华中学高三年级第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

一、单选题

1．在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

【答案】B

【解析】试题分析：由题，对应点坐标为：

为第二象限的点。

【考点】复数的运用及几何意义。.

2．已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x＋4y的最小值是(　　)

A．38    B．5

C．－6    D．－10

【答案】C

【解析】作出可行域，由z＝2x＋4y可得：，作直线，平移直线，当直线经过可行域且在y轴上截距最小时，z有最小值.

【详解】

作出可行域，如图所示，

平移目标函数经过点A(3，－3)时，z＝2x＋4y取得最小值－6，

故选C.

【点睛】

本题主要考查线性规划及应用，意在考查学生数形结合的能力，属于中档题．

3．“”是“x＋y>3”的(　　)

A．必要不充分条件    B．充分不必要条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当时，根据不等式的性质可知x＋y>3成立，反之不成立，可知结论.

【详解】

若x>1，y>2，则x＋y>3，故充分性成立，反之，若x＝0，y＝5满足x＋y>3，显然不满足x>1且y>2，故必要性不成立，∴是x＋y>3的充分不必要条件，故选B.

【点睛】

本题主要考查不等式的性质和充要条件，意在考查学生的逻辑思维能力，属于中档题．

4．某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是(　　)

A．8    B．7    C．6    D．5

【答案】D

【解析】根据框图，分析循环结构，模拟运算过程即可.

【详解】

第1次循环：S＝99，k＝1；第2次循环：S＝96，k＝2；第3次循环：S＝87，k＝3，第4次循环：S＝60，k＝4；第5次循环：S＝－21，k＝5不满足条件，退出循环，输出k＝5，故选D.

【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，意在考查学生读图，识图能力,属于中档题．

5．已知双曲线(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】根据渐近线与抛物线准线交点坐标，可知P的值，写出抛物线焦点坐标，可求双曲线中，再结合双曲线渐近线即可求出b,从而求出焦距.

【详解】

∵双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点(－2，－1)，

∴＝－2，即p＝4，

∴抛物线焦点F(2,0)，又双曲线左顶点(－a,0)到抛物线焦点距离为4，

∴a＝2，又点(－2，－1)在双曲线的渐近线上，

∴渐近线方程为y＝x，

∵a＝2，b＝1，

∴c＝，

∴双曲线的焦距为2c＝2，故选D.

【点睛】

本题主要考查双曲线，抛物线的标准方程和几何性质，意在考查学生的运算求解能力,属于中档题．

6．对于任意x∈R，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≥1时，函数f(x)＝lnx，若a＝f(2－0.3)，b＝f(log3π)，c＝f(－)，则a，b，c大小关系是(　　)

A．b>a>c    B．b>c>a    C．c>a>b    D．c>b>a

【答案】A

【解析】由 判断函数关于点对称，根据时 是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．

【详解】

对于任意函数满足，

∴函数关于点对称，当 时，是单调增函数，

∴在定义域上是单调增函数；

由 

∴ 

∴b＞a＞c．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．

7．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，若在区间(0，π)上有三个不同的x使得f(x)＝1，则ω的取值范围是(　　)

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】化简函数f(x)，要使在(0，π)上有三个不同的x使得f(x)＝1，即使得sin＝成立，需满足：3π－ <＋ωπ≤4π＋即可.

【详解】

f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin，

∵x∈(0，π)，

∴ωx＋∈，

要使在(0，π)上有三个不同的x使得f(x)＝1，即使得sin＝成立，需满足：

3π－ <＋ωπ≤4π＋，解得<ω≤，故选A.

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象性质，意在考查学生的数形结合能力和运算能力，属于中档题．

8．已知函数，函数g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有三个不同的零点，则k的取值范围是(　　)

A．(－2－，0]∪    B．(－2＋，0]∪

C．(－2－，0]∪    D．(－2＋，0]∪

【答案】D

【解析】g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有三个不同的零点，即方程f(1－x)＝k(x－1)＋恰有3个不同实根，令1－x＝t，则方程f(t)＝－kt＋恰有三个不同实根，即函数y＝f(x)与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点，数形结合即可求解.

【详解】

∵g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有3个不同零点，∴方程f(1－x)＝k(x－1)＋恰有3个不同实根，令1－x＝t，则方程f(t)＝－kt＋恰有三个不同实根，即函数y＝f(x)与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点，画出函数图象如下图：

当－k＝0即k＝0时有三个交点，当y＝－kx＋与f(x)＝x2＋2x＋1(x<0)相切时可求得k＝－2＋，当y＝－kx＋与f(x)＝，x≥0相切时可求得k＝，故由图可得－2＋【点睛】

本题主要考查分段函数的图象，性质和函数零点，意在考查学生的数形结合能力和转化、化归能力，属于中档题．

二、填空题

9．某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为________．

【答案】78

【解析】由题意求出高三学生人数，再根据高一学生的抽样比计算高三抽样人数即可.

【详解】

设学校有高三学生x人，则高二学生x＋30人，∴x＋(x＋30)＋480＝1290，解得x＝390人，该样本中的高三人数为×390＝78人．

【点睛】

本题主要考查分层抽样的应用，意在考查学生的基本运算能力，属于中档题．

10．已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|<1}，则A∩B＝________.

【答案】

【解析】化简集合A，B，根据集合的交集运算即可.

【详解】

A＝{x|x2＋2x－3≤0}＝{x|－3≤x≤1},B＝{x||x－1|<1}＝{x|0∴A∩B＝{x|0【点睛】

本题主要考查集合的运算，意在考查学生基本的计算能力，属于中档题．

11．已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ＋2sinθ上，点B在直线(t为参数)上，则|AB|的最小值为________．

【答案】

【解析】将极坐标方程化为直角坐标方程，将参数方程化为普通方程，转化为圆上的点到直线的最值即可得解.

【详解】

由ρ＝2cosθ＋2sinθ得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，故圆心M(1,1)，半径r＝，由 (t为参数)得x－y－4＝0，

∵A在圆M上，B在直线x－y－4＝0上，

∴|AB|min＝dM－r＝.

【点睛】

本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，意在考查学生数形结合的能力，属于中档题．

12．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为________．

【答案】

【解析】试题分析：由已知中的三视图可得,该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,其外接球,与以俯视图为底面,以为高的直三棱柱的外接球相同,如图所示，由底面边长为,高为,故底面为等腰直角三角形,可得底面外接圆的半径为:,由棱柱高为,可得球心距为,故外接球的半径为:,故外接球的表面积,故答案为.

【考点】1、几何体的三视图及空间想象能力；2、几何体外接球的性质及求表面积公式.

【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图及空间想象能力、几何体外接球的性质及求表面积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.

13．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，△ACD是等边三角形，则的值为_______________．

【答案】14.

【解析】根据三角形的边角关系，求得各个边长和角度；根据向量数量积求得的值。

【详解】

AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴cos∠BAC=；又△ACD是等边三角形，∴AD=AC=10，cos∠CAD=，∴•=•（﹣）=•﹣•

=10×10×﹣10×6×=14．

【点睛】

本题考查了利用三角形中各个角和边的关系，求向量数量积的运算，属于基础题。

14．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．

【答案】114

【解析】由题意分三类，可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，分别计算每一类的分配方法，第一类有(－1)种，第二类＋()种，第三类2·，利用分类加法计数原理即可.

【详解】

按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，

若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有种，去掉选中甲乙的1种情况，有(－1)种选法，安排去3个学校，共有(－1)＝30种；

若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有种取法，安排去3个学校有()种，两类共有＋()＝72种；

若按2、2、2分配有2·＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．

【点睛】

本题主要考查有条件的排列、组合的综合应用，意在考查学生的逻辑思维能力,属于中档题．

三、解答题

15．在中，角所对的边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由根据正弦定理可得，结合三角形内角和定理以及诱导公式可得，从而可得结果；（2）据（1）求解知，由余弦定理可得.结合三角形面积面积为，，可得.

试题解析：（1）∵，

∴，

∴，

又

∴.

又∵，

∴.

又，∴.

（2）据（1）求解知，∴.①

又，∴.②

又∵

∴据①②解，得.

16．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛.若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互.

(1)求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)  (2)见解析 

【解析】（1）先确定局数以及甲的胜负情况，再分类计算，最后求概率的和，（2）先确定随机变量的取法，再分别求解对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望.

【详解】

(1)甲在4局以内赢得比赛分三种情况：

第一种情况，比赛2局，甲胜，P1=×=；

第二种情况，比赛3局，甲胜，只能是第1局输，第2，3局胜，P2=××=；

第三种情况，比赛4局，甲胜，只能是第1局胜，第2局输，第3，4局胜，

P3=×××=；

所以甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为P=P1+P2+P3=++=

 (2)X可取2，3，4，5这四种情况：

P(X=2)=×+×=；

P(X=3)=××+××=；

P(X=4)=×××+×××=；

P(X=5)=1－P(X=2)－P(X=3)－P(X=4)=；

所以X的分布列是：

【点睛】

求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

17．如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4.

(1)求证：DF∥平面BCE；

(2)求二面角C—BF—A的正弦值；

(3)线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】(1)由CD∥EF, CD=EF，得到四边形CDFE为平行四边形，从而DF∥CE，由线面平行的判定定理得证DF∥平面BCE；(2)在平面ABEF内，过A作AZ⊥AB，以A为原点，AD、AB、AZ所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，写出相应的坐标，求出平面BCF的一个法向量n和平面ABF的一个法向量v的坐标，利用夹角公式求出二面角C—BF—A的余弦值，进而用同角三角函数关系求出正弦值；(3)假设存在满足条件的点G，设＝λ，求出G点坐标，从而得的坐标，由∥n构造方程组，方程组无解，从而判断满足条件的点G不存在．

【详解】

(1)证明：因为CD∥EF，且CD＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE，因为DF⊄平面BCE，

所以DF∥平面BCE.

(2)在平面ABEF内，过A作AZ⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又AZ⊂平面ABEF，AZ⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，

所以AD⊥AB，AD⊥AZ，AZ⊥AB，

如图建立空间直角坐标系A—xyz.

由题意得，A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，E(0,3，)，F(0,1，)．

所以＝(2，－2,0)，＝(0，－3，)．

设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，则即

令y＝1，则x＝1，z＝，所以n＝(1,1，)．

平面ABF的一个法向量为v＝(1,0,0)，

则cos〈n，v〉＝＝，sin〈n，v〉＝.

所以二面角C—BF—A的正弦值为.

(3)线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：

假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设＝λ，其中λ∈[0,1]．

设G(x2，y2，z2)，则有(x2－2，y2－2，z2)＝(－2λ，λ，λ)，

所以x2＝2－2λ，y2＝2＋λ，z2＝λ，从而G(2－2λ，2＋λ，λ)，

所以＝(2－2λ，2＋λ，λ)．

因为AG⊥平面BCF，所以∥n.

所以有＝＝，

因为上述方程无解，所以假设不成立．

所以线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF.

【点睛】

本题主要考查了向量法，直线与平面平行的判定，二面角，直线与平面的垂直，属于中档题.

18．已知非单调数列{an}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为Sn(n∈N)，且满足S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；

(2)bn＝＋，求数列{bn}的前n项和Tn.

【答案】（1），；（2）见解析

【解析】(1)由已知S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列构造方程解出公比q，代入等比数列的通项公式和前n项和公式可求出an与Sn；(2)由(1)求出bn＝(－1)nn2＋，前半部分利用分类法和等差数列求和公式求和，后半部分利用错位相减法和等比数列前n项和公式求和．

【详解】

(1)∵S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，

∴2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)

∴a3＝4a5，q2＝，q＝－，

an＝·n－1，

∴Sn＝1－n.

(2)bn＝(－1)nn2Sn＋＝(－1)nn2＋＝(－1)nn2＋.

设(－1)nn2的前n项和为Hn，的前n项和为Qn

①当n为偶数时，

Hn＝－12＋22－32＋42＋…－(n－1)2＋n2＝1＋2＋3＋4＋…＋n－1＋n＝，

Qn＝1×＋2×2＋…＋n×n　①

Qn＝1×2＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1　②

①－②得， Qn＝＋2＋…＋n－n×n＋1＝1－，

∴Qn＝2－

∴Tn＝Hn＋Qn＝＋2－＝－

②当n为奇数时，

Hn＝－n2＝－，

∴Qn＝2－

∴Tn＝Hn＋Qn＝－＋2－＝－－

综合①②，∴Tn＝

【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式，前n项和公式，错位相减法，涉及分类讨论，属于中档题.

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a>b>0)的离心率为，短轴长是2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N.设l1的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，当，求k的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)由e＝，2b＝2，a2＝b2＋c2构造方程组，解出a，b即可得椭圆方程；(2)设l1的方程为y＝kx－1代入椭圆方程，求出M的坐标，可得|DM|，用代替k，可得|DN|，求出△DMN的面积S，可得，解不等式>可得k的取值范围．

【详解】

(1)设椭圆C的半焦距为c，则由题意得又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，

∴椭圆方程为＋y2＝1.

(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1，

所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0，－1)．

因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx－1.

代入＋y2＝1，得M，

从而|DM|＝＝.

用－代替k得|DN|＝.

所以△DMN的面积S＝·×＝.

则＝，

因为>，即>，

整理得4k4－k2－14<0，解得－所以0从而k的取值范围为(－，0)∪(0，)．

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于难题.

20．已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)在x＝1处取得极值．

(1)求实数a的值；

(2)若关于x的方程f(x)＋2x＝x2＋b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；

(3)证明：(n∈N，n≥2)．参考数据：ln2≈0.6931.

【答案】（1）0；（2）；（3）见解析

【解析】(1)求导，由f′(1)＝0构造方程求出a；(2)由(1)将方程f(x)＋2x＝x2＋b化简，令g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x>0)，求导，研究当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况，确定函数的最值，从而建立不等式组，即可求得结论；(3)设φ(x)＝lnx－(x2－1)，求导，根据函数的单调性得当x≥2时，>2，从而累加可得结论．

【详解】

（1）f′(x)＝1－，∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，即1－＝0，∴a＝0.

经检验满足题意.

(2)由(1)得f(x)＝x－lnx，∴f(x)＋2x＝x2＋b即x－lnx＋2x＝x2＋b，∴x2－3x＋lnx＋b＝0，

设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x>0)，

则g′(x)＝2x－3＋＝

＝.

由g′(x)>0得01，由g′(x)<0得∴当x∈，(1，＋∞)时，函数g(x)单调递增，x∈时，函数g(x)单调递减，

当x＝1时，g(x)极小值＝g(1)＝b－2，g＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2，

∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在上恰有两个不相等的实数根，

∴即解得＋ln2≤b<2.

(3)证明：∵k－f(k)＝lnk，∴>.

⇔＋＋＋…＋> (n∈N，n≥2)

设φ(x)＝lnx－ (x2－1)，则φ′(x)＝－＝＝－ 

当x≥2时，φ′(x)<0，∴函数y＝φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，

∴φ(x)≤φ(2)＝ln2－<0，∴lnx< (x2－1)．

∴当x≥2时， >＝

＝2，

∴＋＋＋…＋>2

＝2＝.

∴原不等式成立．

【点睛】

本题主要考查了函数的极值，利用导数求函数的最值，证明不等式，属于难题.