2020年江苏高考试题数学卷

数学Ⅰ

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位

置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式：

柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ▲ . 2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是▲ . 3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ▲ .

4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是▲ . 5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是▲ .

6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线

﹣

=1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=√

x ，则该双曲线的离心率是

▲ .

7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()2

3

f x x = ，则f (-8)的值是▲ . 8．已知2sin ()4

απ+ =2

3，则sin 2α的值是▲ .

9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是▲ cm.

10．将函数y=πsin(2)4

3x ﹢的图象向右平移π

6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是

▲ .

11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和

221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是__▲_______．

12．已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是___▲_______．

13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若

3()2

PA mPB m PC =+-

（m 为常数），则CD 的长度是__▲________．

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知(

0)2

P ，A ，B 是圆C ：2

21()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点． （1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；

（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．

16．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒． （1）求sin C 的值；

（2）在边BC 上取一点D ，使得4

cos 5

ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．

17．（本小题满分14分）

某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式2

1140

h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3

216800

h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米. （1）求桥AB 的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价3

2

k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF

的总造价最低?

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

:143

x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．

（1）求△AF 1F 2的周长；

（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅

的最小值；

（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标． 19．（本小题满分16分）

已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．

（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，

，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，

，求k 的取值范围；

（3）若()

422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，

[]

, D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤． 20．（本小题满分16分）

已知数列{}()n a n ∈*N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有

11111k

k

k

n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．

（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；

（2）若数列{}n a 2-”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -． （1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1-M ．

B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π

(,6B ρ在圆:4sin C ρθ=上（其中0ρ≥，

02θ≤<π）．

（1）求1ρ，2ρ的值

（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．

C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．

（2）若点F在BC上，满足BF=1

4

BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

23．（本小题满分10分）

甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．

（1）求p1·q1和p2·q2；

（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．