多面体与旋转体的体积(一)教学设计

入

(1) 上左图是一个圆柱形的器皿，底面半径为3 cm，高度为8 cm，那么怎样计算它的容积呢？

(2) 上右图是一个长方体的游泳池，长是50 m，宽是21 m，深是2 m，那么这个游泳池能容纳多少立方水？

几何体占空间部分的大小叫做它的体积．

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初中学过的计算长方体的体积公式为

V长方体＝abc 或 V长方体＝Sh．

如图，体积公式V＝Sh是否对其他两个几何体也成立？

2．进行数学实验，引入祖暅原理

取一摞面积相等的课本堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状．

体积可看成由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等．

祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等．

3．棱柱、圆柱的体积公式

如果一个棱柱、一个圆柱与一个长方体的高相同(都为 h)且底面面积相等(都为 S)，那么当我们用一个与底面平行的平面去截它们时，可以证明截面的面积都等于各自底面的面积S，根据祖暅原理可知，棱柱、圆柱的体积与长方体的体积相等，即

V柱体＝Sh．

其中V柱体 表示柱体的体积，S表示柱体底面的面积，h表示柱体的高．

4．引例的解答

(1)因为

V圆柱＝Sh＝×32×8＝72 (cm2)．

所以圆柱形器皿的体积是72 cm2；

(2)因为

V棱柱＝Sh＝50×21×2＝2 100 (m3)，

因此这个游泳池能容纳2100立方水．

    例1  有一个六角螺母毛坯，它的底面正六边形的边长是12 mm，高是10 mm，内孔直径是10 mm，求这个毛坯的体积．

分析  六角螺母毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差．

解  因为

V正六棱柱＝×122×6×10 3 741 (mm3)，

V圆柱 ＝×52×10785(mm3) ，

所以一个毛坯的体积为

V＝3741－785＝2 956 (mm3) 2．96 (cm3)．

练习

(1) 要求学生用第二种解决方法做例1：先求出六角螺母毛坯的底面面积，再用公式V＝Sh求出螺母毛坯的体积；

(2) 已知长方体的铁块长、宽、高分别是2，4，8，将它溶化后铸成一个正方体形的铁块(不计损耗)，求铸成的铁块的棱长．

复习初中知识，

然后探究一般棱柱的体积公式．

师：底面积相等、高也相等的棱柱、圆柱，它们的体积是否一样？

师：推斜以后体积变化了吗？

生：几何体所占空间的大小不变．

师：推斜前后的两个几何体(前为长方体，后为平行六面体)还有什么共同之处？ 

生：高度没有改变，每页纸张的顺序和面积也没有改变．

师：这两个几何体的体积是否相等？

生：相等．

学生运用公式解决引例中的问题，教师巡视指导．

在教师的引导下，学生有多种方案解决例1中的问题．

通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．

引发学生学习积极性，由让学生总结归纳出祖暅原理的大致内容．

让学生体会中国数学的伟大，引发学生民族自豪感．

教师讲解的方法并不是唯一的解决方案，让学生体会完成一件事情可以从多个方面进行考虑

结

业

教材P156练习B组第1题（选做）．