一次函数解析式典型例题解析及部分题答案

一. 定义型（一次函数即X和Y的次数为1）

    例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

    解：由一次函数定义知

    ，故一次函数的解析式为

    注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证

二. 点斜型（已知斜率和经过的一点）

    例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

    解：一次函数的图像过点（2，－1）

    ，即

    故这个一次函数的解析式为

    变式问法：已知一次函数，当时，y＝－1，求这个函数的解析式。

三. 两点型（已知图像经过的两点）

   已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为    解：设一次函数解析式为

    由题意得     

    故这个一次函数的解析式为

四. 图像型

    例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为y=-2x+2。

    解：设一次函数解析式为

    由图可知一次函数的图像过点（1，0）、（0，2）

    有     

    故这个一次函数的解析式为

五. 斜截型（已知斜率k和截距b）

    两直线平行，则k1=k2；两直线垂直，则k1=-1/k2

    例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为

    解析：两条直线：；：。当，时，

    直线与直线平行，。

    又直线在y轴上的截距为2，

    故直线的解析式为

六. 平移型(向上/右平移则截距增加；向左平移则截距减小)

    例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为 y=2x-1。

    解析：设函数解析式为，直线向下平移2个单位得到的直线与直线平行  

    直线在y轴上的截距为，故图像解析式为

七. 实际应用型

    例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为 Q=-0.2t+20。

    解：由题意得，即

    故所求函数的解析式为（）

    注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。

八. 面积型

    例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 y=2x-4或y=-2x-4。

    解：易求得直线与x轴交点为（，0），所以，所以，即

    故直线解析式为或

九. 对称型

   关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数；

   关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标取相反数；

   关于原点对称，横坐标与纵坐标都取相反数。

    若直线与直线关于

    （1）x轴对称，则直线l的解析式为

    （2）y轴对称，则直线l的解析式为

    （3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为

    （4）直线对称，则直线l的解析式为

    （5）原点对称，则直线l的解析式为

    例9. 若直线l与直线关于y轴对称，则直线l的解析式为__y=-2x-1__________。

    解：由（2）得直线l的解析式为

练习题：

1.当m=__-2__时，函数y=(m-2) +5是一次函数，此时函数解析式为　y=-4x+5　　　　　。

2. 已知直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式为     .

3.直线y=kx＋2与x轴交于点（－1，0），则k=              。

4.若直线y=kx＋b平行直线y=3x＋4，且过点（1，-2），则k=                    .

5.已知:一次函数的图象与正比例函数Y=-X平行,且通过点(0,4),   (1)求一次函数的解析式.(2)若点M(-8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n的值

6.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y= x的图象相交于点(2,a),求  (1)a的值   (2)k,b的值  (3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.

7函数y=－2x＋4的图象经过___________象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为_____周长为

8．若函数y=4x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么b=_____

9．已知一次函数的图象经过点A（－1，3）和点（2，－3），（1）求一次函数的解析式；（2）判断点C（－2，5）是否在该函数图象上。

10已知2y－3与3x＋1成正比例，且x=2时，y=5,（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；（2）若点（a ，2）在这个函数的图象上，求a .

11．一个一次函数的图象，与直线y=2x＋1的交点M的横坐标为2，与直线y=－x＋2的交点N的纵坐标为1，求这个一次函数的解析式

一次函数拓展

【典型例题】

  例1. 已知：，当m取何值时，y是x的一次函数，这时，若，求y的取值范围。

    分析：为一次函数的条件是①，②x的指数n＝1

    解：据题意，得

        解得

    ∴当m＝3时，一次函数为

    由        解得 

  例2. 已知一次函数

    （1）当m取何值时，y随x的增大而减小？

    （2）当m取何值时，函数的图象过原点？

    （3）是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。

    分析：一般形式中

    （1）k<0即

    （2）b＝0即

    （3）经过一二三象限或一三象限即

    解：（1）由

    解得   ∴当时，y随x的增大而减小

    （2）由，解得    ∴当时，函数的图象过原点

    （3）假设存在满足条件的m，则

        解得    ，而m在这个取值范围内无整数解

    ∴不存在这样的整数m。

  例3. 已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D

    （1）求直线的解析式；

    （2）若直线与交于点P，求的值。

    解：（1）过点（-3，-2）

        解得m＝4    的解析式为

    过点（2，-2），C（0，-3）

        解得 的解析式为

    （2）在中，由x＝0，得y＝4

    ∴A（0，4），

    在中，由y＝0，得x＝6    ∴D（6，0），OD＝6

    由，得   

    过P点作PM⊥y轴于点M    则

  例4. 如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。

    分析：直接求显得困难，延长AB交x轴于D点，这样只需求出△ACD和△BCD的面积即可，而这两个三角形底边CD在x轴上，高分别是A、B两点的纵坐标的绝对值。

    解：延长AB交x轴于D点

    设过A、B两点的直线的解析式为

    则    解得    ∴直线AD的解析式为

    ∴由y＝0，得  ∴x＝－6，∴D（-6，0）    

  例5. 如图，已知A（4，0），P是第一象限内在直线上的动点

    （1）设点P的坐标为（x，y），△AOP的面积为S，求S与y的函数关系式，并写出y取值范围。

    （2）求S与x的函数关系式，并写出S的取值范围。

    （3）若S＝10，求P的坐标。

    （4）若以点P、O及A点构成的三角形为等腰三角形，求出P点坐标。

    解：（1）作PM⊥OA于M，则PM＝y

    （2）∵P（x，y）在直线上

       ∵0    解关于S的不等式组得S的取值范围：0    （3）当S＝10时，

    解得    ∴y＝5    ∴P（1，5）

    （4）

    ①当PA＝OP时，

    解得

    此时P（2，4）

    ②当PA＝OA时

        解得，    ∵0    此时

    ③当OP＝OA时

    此时方程组无实数解。

综上所述，当P、O、A三点构成等腰三角形时，P点坐标为P（2，4）或

例6  如图4，直线y=x＋3的图象与x轴、y轴交于A、B两点．直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1两部分．求直线l的解析式．

    解析：直线与x轴、y轴交点坐标A（－3，0）、B（0，3），则．

    设C点纵坐标为．

    若S△AOC：S△BOC=1：2，    则S△AOC：S△AOB=1：3，所以．将y=1代入，得．

    所以C（－2，1），所以直线OC的解析式为．若S△AOC：S△BOC=2：1，

    则S△AOC：S△AOB=2：3，所以．

    将，    得．所以C（－1，2），

    所以直线OC的解析式为．

    综上，直线OC的解析式为．

7. 已知直线过点A（4，0）

（1）求这条直线的解析式；  （2）画出这条直线； 

 （3）如果x的取值范围，求y的取值范围。

8. 已知A（－1，－2），B（4，3）和C（6，5）三点，求证：A，B，C三点在同一直线上。

9. 已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图像都过点P（－2，1），且一次函数的图象与y轴相交于Q（0，3）

    （1）求出这两个一次函数的解析式； （2）在同一坐标内，画出这两个函数的图象；

    （3）求出△PQO的周长和面积。

10. 已知直线

    （1）若这条直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12，求m的值；

    （2）若这条直线与两坐标轴有两个交点，且交点间的距离为，求m的值。

  11. 如图，已知直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象

    （1）用m、n分别表示A、B、P三点的坐标；

    （2）若点Q是PA与y轴的交点，且四边形PQOB的面积是，且AB＝2，试求P点的坐标。

7. （1）  （2）图略   （3）

8. 提示：证明C点满足直线AB的解析式

9. （1），  （2）略    （3）

10. （1）  （2）

11. （1）A（－n，0），B（，0），P（）    （2）P（）