空间向量部分学案

§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）

 学习目标 

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

 学习过程 

一、课前准备

（预习教材P84~ P86，找出疑惑之处）

复习1：平面向量基本概念？平面向量有加减以及数乘向量运算？

复习2： 

复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？

在平面上有两个向量， 若是非零向量，则与平行的充要条件是                 

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：空间向量的相关概念和运算：

问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？

新知1：在空间，我们把具有     和     的量叫做空间向量，        叫向量的模（或长度）；                 叫零向量，记做    ；                  叫单位向量；                 叫相反向量，的相反向量记做        ；                 叫相等向量.

新知2：空间向量的加、减法运算和数乘运算：

空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，

        ，             ，

2. 实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个   量，记作    ，其长度和方向规定如下：

 (1)|λa|＝           .

 (2)当λ＞0时，λa与a    ；

当λ＜0时，λa与a      ；

当λ＝0时，λa＝a     .

3. 向量加法和数乘向量，有以下运算律成立。

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

试试：点C在线段AB上，且,则

   ,          .

探究任务二：空间向量的共线

问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？

新知3：空间向量的共线：

1. 如果表示空间向量的                所在的直线互相       或     ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 

2. 空间向量共线：

定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在唯一实数，使得            

推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是：                    

反思：充分理解两个向量共线向量的充要条件中的，注意零向量与任何向量共线.

※ 典型例题

例1 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

变式：在上图中，用表示和.

例2 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？

变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若，那么t＝       

※ 动手试试

练1. 已知平行六面体, M为AC与BD的交点，化简下列表达式：

⑴;

⑵;

⑶

⑷.

练2. 

下列说法正确的是（ ）

A. 向量与非零向量共线，与共线，则与共线；

B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；

C. 任意两个共线向量相等；

D. 若向量与共线，则. 

已知，，若，求实数 

三、总结提升

※ 学习小结

1. 空间向量基本概念；

2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律

3. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 

※ 知识拓展

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. 

 学习评价 

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

  A. 很好 较好 一般 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 下列说法中正确的是（  ）

A. 若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;

B. 若与是相反向量，则∣∣=∣∣;

C. 空间向量的减法满足结合律;

D. 在四边形ABCD中，一定有.

2. 正方体中，点E是上底面的中心，若,

则x＝   ，y＝   ，z＝   . 

3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则    +   .

4. 在四边形ABCD中，若,则四边形是（  ）

A. 矩形  B. 菱形  C. 正方形  D. 平行四边形

5. 已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，则与相等的向量是（  ）

A.； ；

C.； . 

 课后作业 

1.在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N分别为BC,B'C'的中点，化简下列式子： 

1  +         ⑵－+ 

2.书P第1、2、3题

§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）

 学习目标 

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

 学习过程 

一、课前准备

（预习教材P86~ P87，找出疑惑之处）

复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量， 若是非零向量，则与平行的充要条件是                 

复习2：已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，试判断A,B,P三点是否共线？

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：空间向量的共面

问题：空间任意两个向量不共线的两个向量有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？ 

新知：共面向量：          同一平面的向量. 

2. 空间向量共面：

定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在                   ， 使得                    .

推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：

⑴ 存在                      ，使               

⑵ 对空间任意一点O，有                     

试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,则点P与 A,B,C共面吗？

反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,且点P与 A,B,C共面，则     .

※ 典型例题

例1 下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（ ）

①

②

③

④.

A. 1       B. 2       C. 3        D. 4

变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量

则P,A,B,C四点共面的条件是     

例2  如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使

求证：E,F,G,H四点共面.

变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.

小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.  

※ 动手试试

练1. 已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？

练2. 已知，，若，求实数 

三、总结提升

※ 学习小结

1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；

2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 

※ 知识拓展

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. 

 学习评价 

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

  A. 很好 较好 一般 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（    ）

A. 有相同起点的向量   B．等长向量  

C．共面向量           D．不共面向量.

2. 正方体中，点E是上底面的中心，若,

则x＝   ，y＝   ，z＝   . 

3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则    +   .

4. 平行六面体, O为AC与BD的交点,则    .

5. 在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ）.

A．0.

课后作业：                     

1. 若，

，若，求实数.

2.已知两个非零向量不共线, . 求证：共面．

§3.1.3．空间向量的数量积（1）

 学习目标 

1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．

 学习过程 

一、课前准备

（预习教材P90~ P92，找出疑惑之处）

复习1：什么是平面向量与的数量积？ 

复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：空间向量的数量积定义和性质 

问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？ 

新知：

1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间    一点，作，则叫做向量与的夹角，记作          .

试试：

⑴ 范围:          

=0时,    ; =π时,   

⑵成立吗？     

⑶  ，则称与互相垂直，记作    .

2) 向量的数量积：

已知向量，则          叫做的数量积，记作，即            .

规定:零向量与任意向量的数量积等于零.

反思：

⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？

⑵    （选0还是）

⑶ 你能说出的几何意义吗？

3) 空间向量数量积的性质：     

（1）设单位向量，则．

（2）   ．

（3）   ＝    .

4) 空间向量数量积运算律：

（1）．

（2）（交换律）．

（3）（分配律

反思：

⑴吗？举例说明.

⑵ 若，则吗？举例说明.

⑶ 若，则吗？为什么？

※ 典型例题

例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

变式1：用向量方法证明：已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且.

求证：．

例2  如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值

变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若

AB=BB,则AB与CB所成的角为（  ）

A.  60°   B.  90°  C.  105°     D.  75°   

例3 如图，在平行四边形ABCD-ABCD中，, , ,=

=60°,求的长.

※ 动手试试

练1. 已知向量满足，，，则____.

练2., 则的夹角大小为_____.

三、总结提升

※ 学习小结

1..向量的数量积的定义和几何意义.

2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.

※ 知识拓展

向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法. 

 学习评价 

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

  A. 很好 较好 一般 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 下列命题中：

①若，则，中至少一个为

②若且，则

③

④

正确有个数为（    ）

A. 0个   B. 1个     C. 2个     D. 3个

2. 已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（   ）

A.   B.    C.     D. 

3.已知中，所对的边为，且, ,则=     

4. 已知，，且和不共线，当与的夹角是锐角时，的取值范围是      .

5. 已知向量满足，，，则____

课后作业：                     

1. 已知空间四边形中，，，求证：.

2. 已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB, 线段,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.

§3.1.4 空间向量的正交分解

及其坐标表示

 学习目标 

1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；

2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；

 学习过程 

一、课前准备

（预习教材P92-96找出疑惑之处）

复习1：平面向量基本定理：

对平面上的任意一个向量，是平面上两个          向量，总

是存在   实数对，使得向量可以用来表示，表达式为                   ，其中叫做         . 若，则称向量正交分解. 

复习2：平面向量的坐标表示：

平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的  向量

作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，，则称有序对

为向量的     ，即＝    .

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：空间向量的正交分解

问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？

新知：

1空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两     ，这种分解就是空间向量的正交分解.

(2)空间向量基本定理：如果三个向量     ，

对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把    的一个基底，都叫做基向量.

反思：空间任意一个向量的基底有       个.

⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相     ，长度都为   ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.

⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着        .

⑸设A，B，则＝       .

⑹向量的直角坐标运算：

设a＝，b＝，则

⑴a＋b＝；

⑵a－b＝；

⑶λa＝；

⑷a·b＝.

试试：

1. 设，则向量的坐标为      .

2. 若A，B，则＝       .

3. 已知a＝，b＝，求a＋b，a－b，8a，a·b

※ 典型例题

例1 已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量构成空间的另一个基底？

变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？

小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.

例2 如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用

表示和.

变式：已知平行六面体，点G

是侧面的中心，且，，试用向量表示下列向量:

⑴ ⑵.

※ 动手试试

练1. 已知，求：

⑴；          ⑵.

练2. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点，的坐标分别是     ，         ，           .

三、总结提升

※ 学习小结

1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；

2. 空间向量坐标表示及其运算

※ 知识拓展

建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形. 

 学习评价 

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

  A. 很好 较好 一般 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（  ）

A.      B. 

C.     D. 

2. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是       

3. 在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示＝              

4. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是         .

5. 已知关于x的方程有两个实根，，且，

当t＝  时，的模取得最大值.

 课后作业 

1. 已知,求线段AB的中点坐标及线段AB的长度.

2. 已知是空间的一个正交基底，向量是另一组基底，若在的坐标是，求在的坐标.