新课程下高中数学有效作业设计

浙江省常山县第一中学　刘美良　王贤林

数学作业的设计是数学教师备课的重要一环，是课堂教学的延伸和继续．合理的作业设计对学生巩固概念、掌握数学方法、体会数学思想、发展思维有着不可替代的作用，其有效性如何直接关系到数学教学质量的高低．新课程理念下的数学作业的设计更应体现典型性、层次性、易错性、综合性和探究性．为此，作业内容的针对性和目的性要强，要为学生创设合理的学习情景和开放的学习环境，以培养和发展学生的基本技能和能力，更重要的是把学生的思维潜能充分开发出来．本文结合自己新课程实施一年多的教学教研实践，就高中数学有效作业的设计谈些看法．

　　一、作业的有效性概念的内涵

作业的有效性是一个发展中的概念，是承接教学有效性的内涵而丰富发展起来的，那何为作业的有效性呢？有人曾给人的活动的有效性下了这样的定义：“人的活动的有效性是在活动的效用和效果中体现出来的人以自己的活动引起作用对象变化并使之符合自己目的性的特性”．这样定义仅限于“合目的性”，是不全面的．处在新课程改革面前，当我们重新审视学生的学习活动时，作业的有效性还应是教学活动的客观属性，概言之，有效的数学作业是指教师遵循认知活动的客观规律，设计以尽可能少的时间、精力和物力投入，取得尽可能多的学教效果的一项主体实践活动，从而实现特定的学习目标．简单地说，“作业的有效性”这一概念包括三重意蕴即有效果、有效率和有效益． 

　　二、数学有效作业设计的“五项基本原则”

教育家卡罗尔的掌握学习理论认为，学生学习的达成度=实际用于学习任务的时间/掌握学习任务的时间．掌握学习任务所需的时间越少，学习的达成度则越高，但是不能单纯理解为数学作业量少，学习时间少，效率就高．要提高数学学习效率，作业设计应科学合理．教师有准备的选材，针对课程标准的主干内容进行研究，突出知识重点、突出数学思想方法，因此在做有效作业设计中必须遵循以下原则：

（一）典型性原则

设计所学内容中的一些典型问题，从中去巩固这些问题的基本方法、基本策略、基本思想．使学生对知识有了一个再认知的过程，并且对一些常用的数学思想方法、基本策略有了更多的实践体验．

案例1  求下列函数的值域：

1.1 求函数的值域；

1.2 求函数）的值域；

1.3 求函数的值域；

1.4 已知求函数的值域；

　　通过作业的解答，使学生掌握二次函数求值域问题的基本方法、基本思想，学生看到了问题的本质．这有助于提高学生学习的积极性，让学生体验到成功的快乐，增强学生的自信心．甚至还可进一步给出发展性作业：

1.5 已知函数的值域；

1.6 已知函数的值域是，求实数的值；

（二）层次性原则

　　学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异，教师要尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要．作业设计要有利于学生的学，要考虑不同学习层次的学生不同的接受能力，提供多样性的作业选择．要难易适合，符合学生的身心特点和认知规律．

案例2   等差数列的前项和》的课后作业：

      2.1．习题3.3 

      2.2. 阅读教材:并分析课本中介绍德国著名数学家高斯(1777-1855)的算法是否为”倒序求和法”,作为数学王子的高斯，能从一些简单的事物中发现和寻找规律性东西.我们应学习他的精神,领悟他的思想方法.

      2. 3. 已知数列的前项和

     (1)求证: 是等差数列;(2)求数列前项和的最大值.

  思考题:

(1)总结等差数列前项和的最值有哪些求法?

             (2)若作业3中的前项和改为是等差数列吗?     试提出一般性结论并给出证明

通过布置分层作业，面对全体学生，使不同的人在数学上有不同的发展，让不同的学生在数学学习上都能成功；设置思考题，供学有余力的学生探究．

　　（三）易错性原则

　　在学习过程中，由于受到知识和能力的，学生的解题策略和解法易出现差异．为此教师应精心选择易错作业，选取学生的若干种典型算法进行交流分析、辨别，给学生一个逐步领悟、自行选择的过程，让他们在充分讨论、相互交流和反思过程中找到正确的解法．就象著名教育家陶行知先生说的：“知识有真伪，思想与行动结合而产生的知识是真知识，真知识的根安在经验里的，从经验里发芽、抽条、开花、结果的是真知灼见．”

案例3  3.1 若为第三项象限的角，，求的值

3.2 已知等差数列与的前项和分别为，且，求．

        学生的作业呈现出两种典型的解法：

  解法1：由等差数列与的前项和分别为，因，

解法2：由，所以可设．

              =7

一道题目，两个答案！孰是孰非？我没有简单地将解法2的解法批错就完事，否则势必让学生失望，至少会让学生感到遗憾．我和学生一起反复研究验证，学生终于发现问题：因等差数列的前项和是关于的二次函数而不是一次函数即， 这样，由，不可能得到 ．

错误原因发现后，学生很快找到了改进方法：………

通过学生的”犯错”、“查因”、“纠错”的过程，澄清了学生对基础知识、基本方法中的模糊认识，培养了学生全面、系统、深层次地考虑问题的优良品质，同时在学生的大脑皮层中留下了很强的刺激，令学生经久难忘．

　　（四）综合性原则

　　适量的综合性题目的训练，有益于培养学生的综合运用所学知识的能力、逻辑思维能力、研究发现新结论的能力．

案例4

   4.1 设当时，恒成立，求的取值范围．

   4.2 过点的直线与椭圆交于A，B两点，若向量BP=2PA，求的斜率．

       在教学中，综合性作业的数量和难度要把握好，既要有一定的综合性，又要根据学生的实际情况，循序渐进，不能盲目拔高，以免挫伤学生的学习积极性．

（五）．探究性原则

动手实践、自主探索、合作交流是新课程背景下学生学习数学的重要方式．它能给学生主动探究的时间和空间，培养学生的科学精神，增强解决问题的能力．

案例5  5.1 社会生活实践方面

      (1) 调查电、煤气、煤的价格，使用电和煤气、煤，到底哪个合算？

     （2）正余弦定理在日常生活中的应用，如小河对岸两点间长度，楼房、电视塔等          高度的测量问题

   5.2 商业经济问题

         （1）调查报亭的卖报情况（进价、售价及卖不出去而退回每份报纸赔钱多少），     统计一个月的销售情况，为报亭主人决策，使之收益最大

         （2）银行存款利息和利税的调查，怎样存款获利最多？

   5.3  教材涉及到的问题

      从教科书中寻找一些操作性较强的内容；学生自己发现的跟所学数学知识有关的问题，或是对教科书上的知识的更进一步的探究

（1）研究等和数列与等积数列（其定义与等差、等比数列类似）的通项与性质．

  （2）函数为常数）的性质研究（可用几何画板结合研究）

5.4 其它方面

（1）向量在物理中应用；（2）圆锥曲线的光学性质．

由于数学探究性作业具有活动性、过程性、开放性、实践性、合作性等特点，就要求我们改变单一的评价，评价内容、方式要多样化，评价结果化．在评价中关注个体差异，鼓励学生发表不同的见解，允许多种结论存在．可以用展览、墙报、竞赛、小论文等形式来展示成果．

　　三、反思  

在有效作业的设计和选编过程中也存在着许多问题，比如在课时比较紧张的情况下，学生的主体性原则就不能很好地体现出来．一是学生在分层作业的选题时，有学生过高或过低地估计自己，即对自己的学习能力的定位不清楚；而有的学生一题也不放弃，造成作业的负担过重，没有整理和反思的时间．而且教师不讲评不放心，导致从头到尾地讲；二是探究性作业受时空间的制约很大，学生的自主合作的程度不高；此外，探究性作业评价方式亟待更进一步的完善．

总之，新课程理念下的作业设计的目的是“打好基础，促进发展，改进教学”．要把握基础教学的要求，全面关注学生的基础学力、发展学力、综合性学力，并使不同的人在数学上有不同的发展，让不同的学生在数学学习上都能成功．在数学作业的训练中，注重引导学生积极参与，让学生体验发现和解决数学问题的探究和学习过程，不断反思，归纳、整理、优化解决问题的策略，进而全面提高学生的素养．