解题中的求异思维

江苏省泰州市朱庄中学  曹开清 225300

一、不通分母通分子

例1 把下列各数按从小到大的顺序排列：，，，，．

解析：通分(母)，但分母的最小公倍数比较大，计算困难．不如“通分子”，使分子相同，再比较大小．

因为，，，，，

所以．

二、不算开方算乘方

例2 化简： 

解析：设原式＝x，两边平方得

．

因为，所以原式＝．

三、不按顺序按倒序

例3 计算：．

解析：此题若按常规解法是顺着依次运算，难以奏效，若从后往前倒序计算，则变得非常轻松．

原式

．

四、不用已知用未知

例4 已知，求的值．

解析：若把x的值直接代入原式计算，运算十分繁复．把看作未知数，则已知条件可化为关于的一元二次方程：

，

解得（负值舍去）．

所以．

五、不用相等用不等

例5 求满足5x2＋6xy＋2y2＋4x＋2y＋1＝0的实数x、y．

解析：把原方程整理成关于x的二次方程：

5x2＋(6y＋4)x＋(2y2＋2y＋1)＝0．

因为x、y均为实数，所以△＝(6y＋4) 2―20(2y2＋2y＋1)≥0，

化简整理，得―4(y―1) 2≥0．

又―4(y―1) 2≤0，所以―4(y―1) 2＝0，所以y＝1．

把y＝1代入变形后的方程，得x＝―1．

六、不求局部求整体

七、不用特殊用一般

例7 设A＝3100＋4100，B＝5100，比较A与B的大小．

解析：把这个“特殊问题”推广到一般情形：

考虑两个数列：an＝3n＋4n，bn＝5n（n为正整数) ．

列表比较an与bn的大小：

所以5100＞3100＋4100，即B＞A．

八、不求正面求反面

例8 学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制．为了决定第一名，共需进行多少场比赛？

解析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则．不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛．

九、不用原数用倒数

例9 若，求的最大值．

解析：若直接化简，难以解答，而先求倒数，则有意想不到的效果．

因为，所以

当，即当x＝1时，上式最小值为．

所以，当x＝1时，原式的最大值为．

十、不用动态用静态

例10 如图，∠MPN＝90°，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，Rt△ABC的顶点A在射线PM上移动，顶点B在射线PN上移动．求顶点C到点P的最大距离．

解析：固定△ABC，将点P视为动点．因为∠APB＝90°，所以点P在以AB为直径的半圆(记圆心为O)上运动，当点C、O、P三点共线时，PC取得最大值．

在Rt△OBC中，因为OB＝1，BC＝1，所以CO＝．

所以PC＝，即顶点C到点P的最大距离为．