数学理卷·2014届河北省衡水中学高三下学期二调考试(2014.03)

数学试卷（理科）                                         

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1．已知是实数集，，则(   ) 

A．           B．             C.           D． 

2.在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于(   ) 

    A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3.=（  ）

A．4    B．2    C．    D．

4.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（  ）

①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高； 

②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；

③调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；

④已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于0.158 7 

⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人。

A．2   B．3   C．4    D．5

5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S=4（a1+a3+a5+…+a2n-1）, a1a2a3=27,则a6=（   ）

A.27             B.81               C. 243            D.729

6.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（   ）

A.   B.

C.    D.

7. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 （      ）

A．       B．       C．       D． 

8. 设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，

且 ，, 则的取值范围为                      （  ） 

 A.   B.     C.    D. 

9. 在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有， 则     （   ）

    A．          B．       

    C．             D． 

10.在平面直角坐标系中，记抛物线与x轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线

y＝(k＞0)所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则k的值为（    ）

A.                 B.                C.               D.

11.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为 ，若直线AC与BD的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（   ）

A.  B.  C.    D.  

12.已知函数，，若在区间内，函数与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（     ）

A.    B.           C.      D. 

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）

13.设球的半径为时间的函数，若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为        

14. 若的二项展开式中，所有项的二项式系数和为，则该展开式中的常数项为          

15. 在△ABC中，边角，过作，且，则      ．

16. 椭 圆中有如下结论：椭 圆上斜率为1的 弦 的 中点在直线上，类比上述结论：双曲线上斜率为1的 弦 的 中点在直线                  上  

三、解答题（本题满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡相应位置）

17.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求边的长．

18. （本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，

BC∥AD，PA＝PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO＝AD＝2BC＝2CD．

（Ⅰ）求证：AB⊥DE；

（Ⅱ）求二面角A-PC-O的余弦值．

19. （本题满分12分）今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁。私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力。为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

20. （本题满分12分）我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”来庆祝数学学科节的成功举办.其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．

(1)求抛物线方程；

(2)当“蝴蝶形图案”的面积最小时求的大小.

21. （本题满分12分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数满足：

①对任意的，，当时，有成立；

②对恒成立.求实数的取值范围.

请考生在22，23，24题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22.(本题满分10分)如图，在正ΔABC中，点D、E分别在边BC,AC上,且，AD，BE相交于点P.

求证：(I)四点P、D、C、E共 圆；(II)AP CP. 

23．（本题满分10分）已知直线为参数), 曲线  （为参数）.

（Ⅰ）设与相交于两点,求；

（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

24. （本题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数．

（1）若不等式的解集为，求实数a的值；（5分）

（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．（5分）

2013—2014学年度第二学期高三年级二调考试数学试卷（理科）

参

DBDBC  CDACA  CC

13.1          14.        15. 15            16. 

17.

--------6分

（Ⅱ）在中,由正弦定理,得,即,解得…8分

 故,从而在中,由余弦定理,得

，所以……………………12分

18. ．解法一：（Ⅰ）设，连接,

分别是、的中点，则，…1分

已知平面，平面，所以平面平面，

又，为的中点，则，

而平面，

所以平面，

所以平面，

又平面，所以；    ……3分

在中，，；

又，所以平面，

又平面，所以.            ……6分

（Ⅱ）在平面内过点作交的延长线于，连接，，

因为平面，所以平面，

平面平面，所以平面，

平面，所以；

在中，，是中点，故；

所以平面，则．

所以是二面角的平面角．

……10分

设，

而，

，则，

所以二面角的余弦值为．                                ……12分

解法二：

因为平面，平面，所以平面平面，

又，是的中点，则，且平面，

所以平面．                                                ……2分

如图，以O为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.

…4分

，，所以．……6分

（Ⅱ），，

设平面的法向量为，

则

令，得．    ……8分

又，，

所以平面的法向量，                                ……10分

，

所以二面角的余弦值为．                                ……12分

19．解：（Ⅰ）各组的频率分别是．                ……2分

所以图中各组的纵坐标分别是．            ……4分

                ……5分

（Ⅱ）的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分

                                ……10分

所以的分布列是：

所以的数学期望．                                            ……12分

21.

当时，，由于在上单调递减，所以，.同理，.

当时，当且仅当时，有成立.        ……8分

②时，由（1）可得，

22.证明：（I）在中，由知：

≌，………………2分

即.

所以四点共圆；………………5分

（II）如图，连结.

在中，,,

由正弦定理知.………………8分

由四点共圆知，,

所以………………10分

23．解.（I）的普通方程为的普通方程为

联立方程组解得与的交点为,,

则. 

   （II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是

      ,

由此当时,取得最小值,且最小值为.

24.解：（Ⅰ）由得，∴，即，

∴，∴。┈┈┈┈5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,令，

则，

∴的最小值为4，故实数的取值范围是。┈┈┈┈┈10分