九年级数学中考压轴题研究全等三角形构造技巧方法技巧(二)作垂直构全等专题训练含答案解析

典例精讲

【例】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BE⊥AD交AD的延长线于点E，且BC＝2AE.

求证：∠DAB＝∠ABD.

典例精练

核心方法1  遇角平分线→作垂线构直角三角形

1.（2020原创题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，F，D分别在边AC，AB上，∠BFC＝∠BFD，DE⊥BC，垂足为E，若DE＝BC，求证：DF＝BE＋CF.

核心方法2  45°→作垂线→构等腰直角三角形

2.（2020襄阳）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，连接CE.请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由.

核心方法3  遇等腰→作底边上的高

3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D是AB边上一点，∠ACD＝20°，探究BC与AD之间的数量关系。

微专题2  方法技巧（二）作垂直构全等

典例精讲

【例】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BE⊥AD交AD的延长线于点E，且BC＝2AE.

求证：∠DAB＝∠ABD.

【思路分析】过点A作AF⊥BC于点F，将BC＝2AE转化为BF＝AE即可.

【解答】过点A作AF⊥BC于点F，

易证Rt△ABE≌Rt△BAF（HL）.

∴∠DAB＝∠ABD.

【方法总结】1.遇等腰，作底边上的高，构全等；2.遇45°，作垂线，造等腰直角三角形，构全等；3.遇角平分线，作垂线，构全等.

典例精练

核心方法1  遇角平分线→作垂线构直角三角形

1.（2020原创题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，F，D分别在边AC，AB上，∠BFC＝∠BFD，DE⊥BC，垂足为E，若DE＝BC，求证：DF＝BE＋CF.

解：过点B作BM⊥DF，垂足为M，

∵∠C＝90°，∠BFC＝∠BFD，

∴BM＝BC.∵BC＝DE，∴DE＝BC＝BM.∵BF＝BF，BD＝BD，

∴Rt△BFC≌Rt△BFM，Rt△BED≌Rt△DMB.

∴BE＝DM，CF＝MF.∴DF＝DM＋MF＝BE＋CF.

核心方法2  45°→作垂线→构等腰直角三角形

2.（2020襄阳）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，连接CE.请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由.

解：∠ACE＝90°.理由如下：

过点D作DN⊥BC，交CA的延长线于点N.

易证∠NDA＝∠CDE，∠N＝∠ACB＝45°，ND＝CD，

又DE＝0A，∴△DNA≌△DCE.∴∠DCE＝∠N＝45°.

∴∠ACE＝∠ACB＋∠DCE＝90°.

核心方法3  遇等腰→作底边上的高

3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D是AB边上一点，∠ACD＝20°，探究BC与AD之间的数量关系。

解：过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为E，F，

则∠CAF＝70°，∴∠DAF＝30°，

可证△ABE≌△CAF，∴BC＝2BE＝2AF＝AD.