高中物理复合场专题复习(有界磁场)

一、带电粒子在直线边界磁场中的运动

1.基本问题

【例题1】如图所示,一束电子(电量为e)以速度V垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场,穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为300.求:

(1)电子的质量m

(2)电子在磁场中的运动时间t

【小结】处理带电粒子在匀强磁场中的运动的方法：

1、找圆心、画轨迹（利用F⊥v或利用弦的中垂线）；

2、定半径（几何法求半径或向心力公式求半径）

3、求时间（t=×Ｔ或t=）

注意：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。

① 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等；

② 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

2.应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。

【例题2】如图—所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度υ0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O点的距离为l，求该粒子的电量和质量之比。 

【审题】本题为一侧有边界的匀强磁场，粒子从一侧射入，一定从边界射出，只要根据对称规律①画出轨迹，并应用弦切角等于回旋角的一半，构建直角三角形即可求解。

【解析】根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图9-5所示，找出圆心A，向x轴作垂线，垂足为H，由与几何关系得：

                ①

    带电粒子在磁场中作圆周运动，由

    解得            ②

    ①②联立解得

【总结】在应用一些特殊规律解题时，一定要明确规律适用的条件，准确地画出轨迹是关键。

二、带电粒子在圆形边界磁场中的运动

【例题3】电视机的显像管中，电子（质量为m，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图9-6所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感强度B应为多少？

【审题】本题给定的磁场区域为圆形，粒子入射方向已知，则由对称性，出射方向一定沿径向，而粒子出磁场后作匀速直线运动，相当于知道了出射方向，作入射方向和出射方向的垂线即可确定圆心，构建出与磁场区域半径r和轨迹半径R有关的直角三角形即可求解。

【解析】如图9-7所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。做a、b点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。

设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有： 

对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有： 

由图可知，偏转角θ与r、R的关系为： 

联立以上三式解得： 

【总结】本题为基本的带电粒子在磁场中的运动，题目中已知入射方向，出射方向要由粒子射出磁场后做匀速直线运动打到P点判断出，然后根据第一种确定圆心的方法即可求解。

三、带电粒子在磁场中运动的极值问题

寻找产生极值的条件：

1直径是圆的最大弦；

2同一圆中大弦对应大的圆心角；

3由轨迹确定半径的极值。

【例题4】如图半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10-27kg，电量q=3.2×10-19c，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？

【审题】本题α粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同，要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出α粒子的运动轨迹进行求解。

【解析】α粒子在匀强磁场后作匀速圆周运动的运动半径： 

α粒子从点O入磁场而从点P出磁场的轨迹如图圆O/所对应的圆弧所示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角θ。

由上面计算知△SO/P必为等边三角形，故θ＝60°

此过程中粒子在磁场中运动的时间由即为粒子在磁场中运动的最长时间。

【总结】当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

四、带电粒子在磁场中运动的多解问题

【例题5】长为L，间距也为L的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，今有质量为m、带电量为q的正离子从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场。欲使离子不打在极板上，入射离子的速度大小应满足的条件是 (    )

A.        B.    

C.        D. 

解析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得：

粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有：

r12＝L2+（r1-L/2）2得r1=5L/4，

又由于r1=mv1/Bq得v1=5BqL/4m，∴v>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。

粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mv2/Bq=L/4

得v2＝BqL/4m

∴v2答案：AB

【总结】本题只问带电粒子在洛伦兹力作用下飞出有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180o从入射界面这边反向飞出，于是形成多解，在解题时一定要考虑周全。

习题课二  带电粒子在复合场中的运动

一、带电粒子在有界的相互分离的电场和磁场中运动

【例题1】如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E.一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出 射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L.求此粒子射出的速度v和在此过程中运动的总路程s(重力不计).

解析：由粒子在磁场中和电场中受力情况与粒子的速度可以判断粒子从O点开始在磁场中匀速率运动半个圆周后进入电场，做先减速后反向加速的匀变直线运动，再进入磁场，匀速率运动半个圆周后又进入电场，

如此重复下去. 

粒子运动路线如图所示，有L=4R  ① 

粒子初速度为v，则有qvB=mv2/R  ②，

由①、②可得v=qBL/4m   ③.

设粒子进入电场做减速运动的最大路程为L，加速度为a,

则有v2=2aL  ④，   qE=ma,   ⑤

粒子运动的总路程s=2R+2L.   ⑥

由①、②、③、④、⑤、⑥式，得:s=L/2+qB2L2/(16mE).

【总结】把复杂的过程分解为几个简单的过程，按顺序逐个求解，或将每个过程所满足的规律公式写出，结合关联条件组成方程，再解方程组，这就是解决复杂过程的一般方法 另外，还可通过开始n个过程的分析找出一般规律，推测后来的过程，或对整个过程总体求解将此题中的电场和磁场的空间分布和时间进程重组，便可理解回旋加速器原理。

【练习】如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：

（1）中间磁场区域的宽度d；

（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t。

【分析】：作出所有的圆弧，体现对称性。标出所有的圆心、半径。利用两个圆的半径相等的条件，不难看到，粒子在左边磁场中的偏转角度均为60°，在右侧磁场中的偏转角度为300°。这样，题中所问的两个问题就迎刃而解了。

二、带电粒子在相互叠加的电场和磁场中的运动

【例题】如图所示，坐标系xOy位于竖直平面内，在该区域内有场强E=12N/C、方向沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B=2T、沿水平方向且垂直于xOy平面指向纸里的匀强磁场．一个质量m=4×10kg，电量q=2.5×10C带正电的微粒，在xOy平面内做匀速直线运动，运动到原点O时，撤去磁场，经一段时间后，带电微粒运动到了x轴上的P点．取g=10 m／s2，求：

（1）微粒运动到原点O时速度的大小和方向；

（2）P点到原点O的距离；

解析：（1）微粒运动到O点之前要受到重力、电场力和洛伦兹力作用，在这段时间内微粒做匀速直线运动，说明三力合力为零．由此可得

代入数据解得　v=10m/s 

速度v与重力和电场力的合力的方向垂直。设速度v与x轴的夹角为θ，则  

代入数据得   ，即θ=37°

（2）微粒运动到O点后，撤去磁场，微粒只受到重力、电场力作用，其合力为一恒力，且方向与微粒在O点的速度方向垂直，所以微粒做类平抛运动，可沿初速度方向和合力方向进行分解．

设沿初速度方向的位移为，沿合力方向的位移为，则

因为　 

联立解得P点到原点O的距离

OP=15m

【总结】以带电粒子在复合场中的运动为背景，涉及到电场力、洛伦兹力、矢量的合成与分解、牛顿运动定律等多方面知识。解决这类题的关键是，正确分析带电粒子在O点的受力情况，用电场力和重力的合力替代两个场力，将问题转化为带电粒子的类平抛运动。

1．在真空中，匀强电场方向竖直向下，匀强磁场方向垂直纸面向里。三个油滴带有等量同种电荷，其中a静止，b向右匀速运动，c向左匀速运动，则它们的重力Ga、Gb、Gc的关系为(　　)

A．Ga最大      B．Gb最大    C．Gc最大   D．不能确定

2．(2014·张家港质检)如图所示，在平行线MN、PQ之间存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面的磁场(未画出)，磁场的磁感应强度从左到右逐渐增大。一带电微粒进入该区域时，由于受到空气阻力作用，恰好能沿水平直线OO′通过该区域。带电微粒所受的重力忽略不计，运动过程带电量不变。下列判断正确的是(　　)

A．微粒从左到右运动，磁场方向向里 B．微粒从左到右运动，磁场方向向外

C．微粒从右到左运动，磁场方向向里 D．微粒从右到左运动，磁场方向向外

3．(多选)如图所示，一粒子先后通过竖直方向的匀强电场区和竖直方向的匀强磁场区，最后粒子打在右侧屏上第二象限上的某点。则下列说法中正确的是(　　)

A．若粒子带正电，则E向上，B向上

B．若粒子带正电，则E向上，B向下

C．若粒子带负电，则E向下，B向下

D．若粒子带负电，则E向下，B向上

4．(多选)如图所示，质量为m、电荷量为q的微粒，在竖直向下的匀强电场、水平指向纸内的匀强磁场以及重力的共同作用下做匀速圆周运动，下列说法中正确的是(　　)

A．该微粒带负电，电荷量q＝

B．若该微粒在运动中突然分成荷质比相同的两个粒子，后只要速度不为零且速度方向仍与磁场方向垂直，它们均做匀速圆周运动

C．如果后，它们的荷质比相同，而速率不同，那么它们运动的轨道半径一定不同

D．只要一，不论它们的荷质比如何，它们都不可能再做匀速圆周运动

5．如图所示，粒子在正交的匀强磁场和匀强电场中的竖直平面内做匀速圆周运动，则粒子带电性质和绕行方向分别是(　　)

A．带正电，逆时针B．带正电，顺时针C．带负电，逆时针D．带负电，顺时针

6．平行金属板M、N的距离为d，其中匀强磁场中的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外(如图所示)，等离子群的速度为v，沿图示方向射入，电容器的电容为C，则(　　)

A．S断开时，电容器的充电电荷量Q≥BvdC

B．S闭合时，电容器的充电电荷量Q＝BvdC

C．S闭合时，电容器的充电电荷量QD．S闭合时，电容器的充电电荷量Q>BvdC

7．如图所示，一电子束垂直于电场线与磁感应线方向入射后偏向A极板，为了使电子束沿射入方向做直线运动，可采用的方法是(　　)

A．将变阻器滑动头P向右滑动     B．将变阻器滑动头P向左滑动

C．将极板间距离适当减小         D．将极板间距离适当增大

8．(多选)如图所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下，磁场的方向垂直纸面向里，一带电油滴P恰好处于静止状态，则下列说法正确的是(　　)

A．若撤去电场，P可能做匀加速直线运动

B．若撤去磁场，P可能做匀加速直线运动

C．若给P一初速度，P可能做匀速直线运动

D．若给P一初速度，P可能做顺时针方向的匀速圆周运动

9.如图所示，水平放置的平行金属板a、b带有等量正负电荷，a板带正电，两板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带正电的液滴在两板间做直线运动。关于液滴在两板间运动的情况，可能是(　　)

 A．沿竖直方向向下运动        B．沿竖直方向向上运动

C．沿水平方向向右运动      D．沿水平方向向左运动