2012年北京中考数学试卷(word版含答案)

数 学 试 卷

学校              姓名             准考证号          

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．的相反数是

A．                B．                C．                D．9

2． 首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为

A．        B．        C．        D． 

3． 正十边形的每个外角等于

A．                B．                

C．                D． 

4． 右图是某个几何体的三视图，该几何体是

A．长方体

B．正方体

C．圆柱

D．三棱柱

5． 班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是

A．                B．                C．                D． 

6． 如图，直线，交于点，射线平分，若，则等于

A．                B．                

C．                D． 

7． 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：

A．180，160            B．160，180            C．160，160            D．180，180

8． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的

A．点            B．点                C．点                D．点

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9． 分解因式：          ．

10．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是          ．

11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高          ．

12．在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，点是轴正半轴上的整点，记内部（不包括边界）的整点个数为．当时，点的横坐标的所有可能值是          ；当点的横坐标为（为正整数）时，         （用含的代数式表示．）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算：.

14．解不等式组： 

15．已知，求代数式的值．

16．已知：如图，点在同一条直线上，，

．

求证：.

17．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与一次函数的图象的交点为.

    （1）求一次函数的解析式；

    （2）设一次函数的图象与轴交于点，若是轴上一点， 且满足的面积是4，直接写出点的坐标．

18．列方程或方程组解应用题：

据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在四边形中，对角线交于点，

．求的长和四边形的面积．

20．已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．

（1）求证：与相切；

（2）连结并延长交于点，若，求的长．

21．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．

    请根据以上信息解答下列问题：

    （1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；

    （2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？

    （3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？

22．操作与探究：

    （1）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点.

        点在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点的对应点分别为．如图1，若点表示的数是，则点表示的数是        ；若点表示的数是2，则点表示的数是        ；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是       ；

    （2）如图2，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位（），得到正方形及其内部的点，其中点的对应点分别为。已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，求点的坐标。

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．已知二次函数

    在和时的函数值相等。

（1）求二次函数的解析式；

（2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；

（3）设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。

24．在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。

    （1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；

    （2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

    （3） 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。

25．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：

    若，则点与点的“非常距离”为；

    若，则点与点的“非常距离”为.

    例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）。

    （1）已知点，为轴上的一个动点，

         ①若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标；

         ②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；

    （2）已知是直线上的一个动点，

         ①如图2，点的坐标是（0，1），求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；

         ②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”

的最小值及相应的点和点的坐标。

2012年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷参

阅卷须知：

    1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。

2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

一、选择题

13. 解： 

14. 解： 

        解不等式①，得.

        解不等式②，得.

        不等式组的解集为.

15. 解： 

16. 证明：∥，

         在和中，

17. 解：（1）点在函数的图象上，

            解得.

            点的坐标为.

            点在一次函数的图象上，

            解得.

            一次函数的解析式为.

       （2）点的坐标为或.

18. 解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克.

       由题意，得.

       解得.

       经检验，是原方程的解，且符合题意.

答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量是22毫克.

四、解答题

19. 解：过点作于点.

       在中， 

       .

       在中，，

       .

       .

       在中，，

       四边形的面积是.

20. （1）证明：连结.

               与⊙相切，为切点.

               直线是线段的垂直平分线. 

               是⊙的直径.

               与⊙相切.

（2）解：过点作于点，则∥.

         在中，

         由勾股定理得

         在中，同理得

         是的中点，

         ∥，

21. 解：（1）补全统计图如右图，所补数据为228；

      （2）预计2020年运营总里程将达到

（千米）；

       （3）2010到2015年新增运营里程为（千米），其中2010到2011年新增运营里程为（千米），2011到2015年平均每年新增运营里程为（千米）.

22. 解：（1）点表示的数是 0  ；点表示的数是  3  ；点表示的数是；

       （2）点的对应点分别为,

                解得

            由题意可得.

            设点的坐标为.

                  解得

            点的坐标为（1，4）.

五、解答题

23. 解：（1）由题意得.

           解得.

           二次函数的解析式为.

      （2）点在二次函数的图象上，

           .

           点的坐标为.

           点在一次函数的图象上，

           .

      （3）由题意，可得点的坐标分别为.

           平移后，点的对应点分别为 

.

           将直线平移后得到直线

           .

           如图1，当直线经过

           点时，图象（点除外）

           在该直线右侧，可得；

           如图2，当直线经过

           点时，图象（点除外）

           在该直线左侧，可得.

           由图象可知，符合题意的的取值范围是.

24. 解：（1）补全图形，见图1；

           ；

      （2）猜想：.

           证明：如图2，连结.

                 是的中点，

                 .

                 点在直线上，

                 .

                 又为公共边，

                 .

                 又，

                 .

                 在四边形中，.

       （3）的范围是.

25. 解：（1）①点的坐标是（0，2）或（0，-2）；（写出一个答案即可）

②点与点的“非常距离”的最小值是.

（2）①过点作轴的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连结.

     如图1，当点在点的左上方且使是等腰直角三角形时，点与点的“非常距离”最小. 理由如下：

     记此时所在位置的坐标为.

     当点的横坐标大于时，线段的长度变大，

     由于点与点的“非常距离”是线

段与线段长度的较大值，所以点与点

的“非常距离”变大；当点的横坐标

小于时，线段的长度变大，点与点的

“非常距离”变大. 所以当点的横坐标

等于时，点与点的“非常距离”最小.

解得.

点的坐标是.

当点的坐标是时，点与点  

的“非常距离”最小，最小值是.

②如图2，对于⊙上的每一个给定的点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，连结. 由①可知，当点运动到点的左上方且使是等腰直角三角形时，点与点的“非常距离”最小. 当点在⊙上运动时，求这些最小“非常距离”中的最小值，只需使的长度最小. 因此，将直线沿图中所示由点到点的方向平移到第一次与⊙有公共点，即与⊙在第二象限内相切的位置时，切点即为所求点.

作轴于点. 设直线与轴，轴分别交于点.

可求得.

可证.

点的坐标是.

设点的坐标为.

解得.

点的坐标是.

.

当点的坐标是，点的坐标是时，点与点的“非常距离”最小，最小值是1.