上海交通大学高等数学A下册期中试题汇编

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 设ln(1)

0,(,),0xy x f x y x

y x +⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩

是定义在{(,)|1}D x y xy =>-上的二元函数，则(,)f x y 在其定义域D 内的不连续点的集合为 （ ） （A ）∅（空集）； （B ）{(0,0)}；

（C ）{(,)|0}x y x =； （D ）{(,)|0x y x =或0}y =。

2. 下列二元函数中，在(0,0)点可微的是 （ ） （A

（B

（C ）2||x y +； （D ）2||x y 。 3. 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面4210x y z ++-=，则点

P 的坐标是 （ ）

（A ）(2,1,1)--； （B ）(2,1,1)-； （C ）(2,1,1)---； （D ）(2,1,1)--。 4. 设(,)f x y 在(0,0)点的邻域内连续，且22

(,)(0,0)

(,)4lim

1x y f x y xy

x y →-=+，则（ ）

（A ）(0,0)点是(,)f x y 的极小值点； （B ）(0,0)点是(,)f x y 的极大值点； （C ）(0,0)点不是(,)f x y 的极值点；

（D ）所给条件不足以判断(0,0)点是否(,)f x y 的极值点。

5. 设2222(){(,)|}B r x y x y r =∈+≤R ，二元连续函数(,)f x y 满足0(,)1f x y <<。记()1()

(,)(,)n

n B r F n r f x y d σ

=

⎰⎰

，则下列选项正确的是 （ ）

（A ）1lim (,)n F n n →∞一定不存在； （B ）1

lim (,)n F n n

→∞不一定存在；

（C ）1lim (,)n F n n →∞一定存在，且1

lim (,)(0,1)n F n n →∞∈。

（D ）以上结论(A)，(B)，(C)都错误。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6. 若2R 上的可微函数(,)F x y 的梯度为2222grad ,11y x F x y x y ⎛⎫

= ⎪++⎝⎭

，

且(0,0)3F =, 则(,)F x y =________________________。

7. 曲面222231x y z ++=的切平面与三个坐标平面围成的有限区域的体积的最小值=___________________。

8. 空间中曲面片z xy =（221x y +≤）的面积A =________________。 9. 设二元函数2

(,)sin x y t f x y e tdt +=⎰

, 则

2(,)

22

f

x y ππ∂=∂∂________________。

10.

2

2(,)(,3)lim (1)__________x x y x y y

x

+→∞+=。

三、求偏导数（本题8分）

11. 设方程2222222440x y z xy x y z +++---+=在点(0,1,1)附近确定隐函数

(,)z z x y =，求

(0,1,1)z

x ∂∂，22(0,1,1)

z x

∂∂，2(0,1,1)

z x y ∂∂∂。 四、（每小题10分，共20分）

12. 设(,)z z x y =满足方程2222z z y y x y

∂∂+=∂∂。

令w xz y =-，在变换x u y =，v x =下，请将方程222

2z z y y x y ∂∂+=∂∂表示为w 关于u 、v 的方程。

13. 设2

2

2

2

(){(,)|}B r x y x y r =∈+≤R 。若函数22

2()

()()x y B r F r e

ay d σ+=-⎰⎰在

(0,)r ∈+∞内单调, 其中a 为常数，求a 的最大取值范围。

五、积分计算（每小题10分，共20分）

14. 记D 为平面曲线1xy =，3xy =，2y x =，23y x =所围的有界闭区域，计算二重积分23

2D

x

d y xy

σ+⎰⎰

。 15.

计算三次积分2

1

10

z dx dz ⎰。

六、应用题（第16题6分，第17题8分，共14分）

16. 设三角形ABC ∆的一个顶点是(2,1)A ，而B 、C 分别在直线0y =和y x =上，

求此类三角形周长的最小值。

17. 求区域3222222{(,,):1,1,1}x y z x y y z x z Ω=∈+≤+≤+≤R 的体积。

七、证明题（本题8分）

18. 设()f x 和()g x 在R 上、(,)K x y 在2R 上都是连续的正值函数，且满足

1

()(,)()f y K x y dy g x =⎰

，1

()(,)()g y K x y dy f x =⎰，证明：

（1）若01()min

()x f x m g x ≤≤=，01()

max ()

x f x M g x ≤≤=，则1mM =；

（2）当01x ≤≤时，()()f x g x =。

2014级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设24

222(,)x y f x y x y -=+，则00

lim (,)x y f x y →→= ( ) （A ）等于0； （B ）等于1； （C ）等于2； （D ）不存在。

2．函数e ,0(,)1,0x y xy f x y xy +⎧≠=⎨=⎩在点)0,0(处指向点(1,1)的方向导数为 ( )

（A ）0； （B ）1； （C

； （D ）2。 3．设有二元方程2sin()0x y xy ++=，则在(0,0)点的某邻域内，此方程 ( ) （A ）仅可确定一个具有连续导数的隐函数()x x y =； （B ）仅可确定一个具有连续导数的隐函数()y y x =； （C ）可确定两个具有连续导数的隐函数()y y x =和()x x y =； （D ）以上（A ）、（B ）、（C ）都不正确。 4

．设()d t

F t f

V Ω=⎰⎰⎰，其中t Ω

：0z ≤≤0t >)，()

f u 为连续函数，则()F t '= ( ) （A ）22π()tf t ； （B ）22π()t f t ； （C ）24π()t f t ； （D ）24π()tf t 。 5．考虑以下命题，其中正确命题的个数为 ( )

① 若可微函数(,)f x y 在区域D 内满足(,)0x f x y ≡，则有)(),(y y x f ϕ=；

② 若00(,)f x y 是函数),(y x f 在区域D 内的唯一极值，且为极大值，则

),(00y x f 必为),(y x f 在D 内的最大值；

③ 若函数),(y x f 在00((,),)U x y δ内可偏导，且),(y x f 在点),(00y x 间断，则

),(y x f x 与),(y x f y 中至少有一个在00((,),)U x y δ内无界。(其中0δ>。)

（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。

二、填空题（每小题3分，共15分） 6．设y z x =，则(e,1)d |z = 。

7．设{}22(,)1E x y x y =+<\\0E ，其中{}0(,)0(11)E x y y x ==-<<，则E 的边界E ∂= 。 8．交换二次积分的次序：

1110

d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+=⎰⎰

⎰⎰

。

9．设,0x y ≥，且满足条件2248x y +=，则u xy =的最大值为： 。 10．设{}

22(,)1,0D x y x y x =+≤≥

，则2

2

ln(1e )d d x

y D

y x y +⎤+=⎦

⎰⎰ 。

三、（本题共8分）

11．求极限()10

2

lim e sin x

xy

x y y x →→+。

四、（每小题8分，共16分）

12．设函数(,)f u v 具有一阶连续偏导数，0

(,e )d xy t

z f t t =⎰

，求z

x

∂∂，

2z x y ∂∂∂。 13．设函数(,)z f x y =具有二阶连续偏导数。令,u x y v x y =+=-，并取,u v 为新

自变量，试变换方程22220z z

x y

∂∂-=∂∂。

五、计算下列积分（每小题10分，共20分） 14

．

2222316

min )d d x y x y x y +≤

⎫⎪+⎬⎪⎭⎰⎰。 15．2

()d x y z V Ω

+-⎰⎰⎰，其中Ω

：z ≥222(2)4x y z ++-≤。

六、应用题（第16小题8分，第17小题10分，共18分） 16．求锥面222(1)z x y =-+被柱面221x z +=所截下部分曲面的面积。

17．过直线l ：102227

x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求此切平

面的方程。

七、证明题（本题共8分）

18．已知二元函数的拉格朗日中值定理是：设函数(,)f x y 在000(,)P x y 的邻域

0()U P 有一阶连续偏导函数(,)x f x y 和(,)y f x y ，则对任意0(,)()P x y U P ∈，存在0(,)()U P ξη∈，使得

0000(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f x y f x x f y y ξηξη-=-+-。

设函数(,)f x y 在R 2上具有一阶连续偏导数，且(,)f x y 在{}222(,)|D x y x y R =+≤的边界{}222(,)|x y x y R +=上取值为零，其中常数0R >。 （1）证明：对任意的(),P x y D ∈，存在(),D ξη∈，使得

(

))

(,)

,f

f x y R

ξη∂=

∂l

,

其中OP l =,而O 为坐标原点； （2）证明：()(

)3

,π,d d max

3x y D

R f x y x y ∈≤⋅⎰⎰

2013级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1. 函数2222

sin()

(,)(0,0),(,)(,)(0,0)1,x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在22{(,)|1}D x y x y =+≤上

( ) (A) 有最大值，无最小值； (B) 有最小值，无最大值； (C) 既无最大值，又无最小值； (D) 既有最大值，又有最小值。

2. 设2222

1()sin ,(,)(0,0)(,)(,)(0,0)0,x y x y x y

f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩

，则 ( ) (A)(,)f x y 在(0,0)点不连续； (B)(,)f x y 在(0,0)点的偏导数不存在； (C)(,)f x y 在(0,0)点可微； (D)(,)f x y 的偏导数在(0,0)点连续。

3. 若曲线22

,

2x z y x

⎧=⎪⎨=⎪⎩在某一点000(,,)x y z 处的切向量与三个坐标轴正向的夹角相等，则0x = ( ) (A)

14； (B) 1

2

； (C) 1； (D) 2。

4.

交换二次积分1

00(,)dy f x y dx ⎰的积分次序，结果为 ( )

(A) 1

00(,)dx f x y dy ⎰；

(B) 1

00(,)f x y dy ⎰；

(C)

2

1

100

(,)x dx f x y dy +⎰⎰；

(D)

2

1

100

(,)x dx f x y dy -⎰⎰。

5. 三重积分

2

22

222

234

()x

y z x y z ax by cz e dxdydz ++++≤++⎰⎰⎰的值 ( )

(A) 仅与常数a 有关； (B) 仅与常数b 有关； (C) 仅与常数c 有关；

(D) 与常数,,a b c 都有关。

二、填空题(每小题3分，共15分) 6. 设22

sin ln[(1)]x y

z x y e

=+，则422z

y x

∂=∂∂ 。

7. 若(,)f x y 可微，(),,(2)(,)u x y z x y z f y x z x =----，则

u u u x y z

∂∂∂++=∂∂∂ 。

8. 函数()3(1)4,cos()x y z x y e xy -+=在点(1,0)处的最大变化率为： 。

9. 若D 是以(0,0),(1,0),(0,1)为顶点的三角形区域，则(1)D

x y d σ--=⎰⎰ 。.

10. 设(),,F x y z 和(),,G x y z 具有连续的偏导数，

()

()

,0,F G x z ∂≠∂，曲线Γ：

()(

),,0

,,0F x y z G x y z =⎧⎪⎨

=⎪⎩过点()0000,,P x y z 。记Γ在xOy 平面上的投影曲线为S 。则S 上过点()00,x y 的切线方程为:_________________________________。 三、(本大题共26分，每小题依次为8、8、10分)

11. 设可微函数(,)f x y 对任意0t >满足条件(,)(,)f tx ty t f x y =，且(3,1)2y f -=。

若曲面S ：(,)z f x y =过点(3,1,5)--，求曲面S 在点(3,1,5)--处的法线方程。

12. 设(,)z z x y =由方程321z

e x y z =+--所确定，求z x ∂∂，z y ∂∂，2z x y

∂∂∂。

13. 在椭球面22241616x y z ++=的第一卦限部分上求一点，使椭球面在该点处的切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为最小，并求出此最小体积。 四、(本大题共26分，每小题依次为10、8、10分)

14.

计算D dxdy +⎰⎰，其中(){}

22,|2,0D x y x y x y =+≤≥。

15. 设|cos()|I x y z dxdydz Ω

=++⎰⎰⎰，其中

(){},,|0,0,0x y z x y z πππΩ=≤≤≤≤≤≤。

(1) 将I 表示为累次积分； (2) 求出I 的值。

16. 设Ω是半椭球体：222

2221x y z a b c ++≤（0z ≥），计算2222()x y dV a

b Ω+⎰⎰⎰。

五、(本题8分)

17.

求球面z =22x y ax +=（0a >）之内部分的面积。 六、(本题8分)

18. 设(,)f x y 在R 2上可微，且lim ()1r f f

x

y x y

→+∞

∂∂+=∂∂

，其中r =(,)f x y 在R 2上存在最小值。

2012级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 二重极限2(,)(0,0)lim 2x y x y

x y →- （ ）

（A ）1=； （B ）1=-； （C ）不存在； （D ）0=。

2. 设()()()()()22

22,,0,0,0,

,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩，则()0,0xy f （ ）

（A ）1=-； （B ）1=； （C ）0=； （D ）不存在。 3. 若(,)f x y 在点00(,)x y 处可微，则下面4个结论中错误的为： （ ） （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 处沿任何方向的方向导数都存在； （B ）方向导数0000(,)

(,)

x y x y f

f

l l

∂=∇⋅∂；

（C ）方向导数00(,)

x y f l

∂∂在梯度00(,)

x y f

∇方向取最大值；

（D ）00(,)

x y f

∇正交于曲线00(,)(,)f x y f x y =在点00(,)x y 处的切线。

4. 若区域22{(,)|,11}D x y x y x x =-≤≤-≤≤，则ln(4)D

x y d σ+=⎰⎰ （ ） （A ）2； （B ）1； （C ）1-； （D ）0。

5. 设{(,,)|11,11,01}x y z x y z Ω=-≤≤-≤≤≤≤，常数0a >，则三重积分

sin()axyz

e

xyz dxdydz Ω

⎰⎰⎰的值 （ ）

（A ）0<； （B ）0>； （C ）0=； （D ）A 、B 、C 答案都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6. 设()xy x z ln 2

=，则32z

x y

∂=∂∂______________。

7. 设函数()y x z z ,=由方程20xyz x y z e -+-=所确定，则

(0,1)

z

x ∂=∂________。 8. 极限3

511()lim n

n

n i j i j n

→∞==+=∑∑___________。 9.

交换积分次序：1

00

(,)dy f x y dx =⎰_____________________。

10.

极限2222

3

1

lim R x y z R R +

→++≤=⎰⎰⎰___________________。 三、（本题8分）

11. 设函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，()v x 二阶可导，

(,)(23)z u x y xy v x y =+++，求xy z 。

四（本大题共26分，每小题依次为8、8、10分。） 12. 设曲面S 由方程()0,,=z y x F 确定，且0222≠++z y x F F F 。 证明：S 上离坐标原点最近点处的法线过坐标原点。

13. (,)z f x y =满足偏微分方程320z z

x y

∂∂-=∂∂，

(1) 在变量替换23u x y

v x y =+⎧⎨=-⎩

下，

将上述偏微分方程变形为z 关于,u v 的方程； (2) 证明：(,)z f x y =可以表示为(23)z g x y =+。

14. 求函数3

()3

x y

x z e

y +=+的极大值和极小值。

五、（本大题共28分，每小题依次为8、10、10分。）

15. 计算二重积分：2

(2)D

x y dxdy +⎰⎰，其中22

22:1x y D a b +≤。

16.

计算：2

221

1

114

z x y dx e dz -+-⎰⎰⎰。

17.

计算三重积分：Ω

，

其中{(,,)|2

x y z z Ω=≤≤. 六、（本题8分）

18. 设常数0>R ，()y x f ,在区域(){

}222|,R y x y x D ≤+=上具有连续的二阶偏导数，且()00,0=f ，02222=∂∂+∂∂y f

x f ，

20f x y

∂≠∂∂。证明：r ∀：0r R <≤，圆周222{(,)|}r C x y x y r =+=上必存在点00(,)x y ，使得()0,00=y x f 。

2011级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设函数(,)f x y 可微，且对任意x 、y 都有

()0,>∂∂x

y x f ，

()0,<∂∂y y x f ，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是 （ ） （A ）1212,x x y y ><； （B ）1212,x x y y >>； （C ）1212,x x y y <<； （D ）1212,x x y y <>。

2. 设函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列命题正确的是 （ ）

（A ）若极限00

(,)

lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；

（B ）若极限22

00

(,)

lim

x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；

（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00

(,)

lim x y f x y x y →→+存在； （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22

00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在。 3. 当0t +→时，222

22

()1cos()d x y t

f t x y σ+≤⎡⎤=

-+⎣⎦⎰⎰

是t 的n 阶无穷小量，则 =n （ ）

（A ）4； （B ）5； （C ）6； （D ）7。

4. 累次积分πcos 20

d (cos ,sin )d f r r r r θθθθ⎰⎰可以写成 （ ）

（A

）1

00d (,)d x f x y y ⎰； （B

）1

0d (,)d x f x y y ⎰； （C

）10

d (,)d y f x y x ⎰⎰

； （D

）1

d (,)d y f x y x ⎰。

5. 设01R <≤，则二重积分2

2

222

e d 1x y

x y R I xy σ++≤=+⎰⎰

等于 （ ） （A ）2

2

2220,0

e 4d 1x y x y R x y xy σ++≤≥≥+⎰⎰； （B ）2

2

222

e 2d 1x y

x y R x xy σ++≤≥+⎰⎰； （C ）22

222

0,0

e 4d 1x y

x y R x y xy σ++≤≥≤+⎰⎰ ； （D ）0。 二、填空题（每小题3分，共15分) 6. 设1(ln )z f x y =+，其中函数()f u 可微，则2

z z

x y x y

∂∂+=∂∂ 。 7. (2,1,1)

grad ()z

xy y += 。

8. 曲线222222

6,

4

x y z x y z ⎧++=⎨+-=⎩在点()2,1,1处的切线方程为 。 9. 已知()()y

x e xy xy y x f ++=2,，则=∂∂∂5510y x f 。

10. 已知Ω

是位于锥面z =之上，半球面2222()x y z a a ++-=（z a ≥）之下的区域，则在球坐标下(,,)d f x y z V Ω

⎰⎰⎰的累次积分为：

. 三、计算下列偏导数（每小题8分，共16分） 11. 设函数2e x

y

u z =+，其中(,)z z x y =是由方程

ln x z z y =确定的隐函数，求()

1,0x u ∂∂， ()

1,0y u

∂∂。 12. 设函数(,())z f xy yg x =，其中f 具有二阶连续的偏导数，()g x 可导且在1

x =处取得极值(1)1g =，求

2(1,1)

z

x y

∂∂∂。

四、计算下列重积分（每小题10分，共20分）

13. 求()σd 1sgn -⎰⎰xy D ，其中{}(,)02,02D x y x y =≤≤≤≤，sgn()u 0

00101<=>⎪⎩⎪

⎨⎧-=u u u ，

，

。 14. 计算222

1d (2)

V x y z Ω

+++⎰⎰⎰

，其中(){}4|.,2

22≤++=Ωz y x z y x 。 五、（本题共10分）

15. 求曲面()222y x z +=、x y x =+22、x y x 222=+和0=z 所围几何体的体积。 六、解答题（每小题8分，共16分） 16. 求函数22

2

e

x y z x +-=的极值。

17. 已知222(,,)f x y z x y z =++，()z y x g ,,是()z y x f ,,在点()z y x P ,,沿方向

(1,1,0)l =-的方向导数。

（1） 求()z y x g ,,；

（2） 若()z y x P ,,在椭球面22221x y z ++=上，问()z y x g ,,是否有最大值？若有，求此最大值。 七、证明题（本题共8分） 18. 设(,,)u f x y z =是可微函数。若

y x z f f f

x y z

==，证明：u 仅为r

的函数，其中r =