函数的奇偶性试题(含答案)

一、选择题

1．下列命题中错误的是( )

①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数

②奇函数的图象一定过原点

③偶函数的图象与y 轴一定相交

④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数

A ．①②

B ．③④

C ．①④

D ．②③

[答案] D

[解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎨⎧ x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错．

2．如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )在(－∞，0)上( )

A ．减函数

B ．增函数

C ．既可能是减函数也可能是增函数

D ．不一定具有单调性

[答案] B

3．已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )

A ．－15

B ．15

C ．10

D ．－10

[答案] A

[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，

∴f (3)＝－15.

解法2：设g (x )＝x 7＋ax 5＋bx ，则g (x )为奇函数，

∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5，

∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.

4．若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3)A ．f (－1)B ．f (0)>f (1)

C ．f (2)>f (3)

D ．f (－3)[答案] A

[解析] ∵f (3)∵f (x )是奇函数，∴f (－1)5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)的值等于( )

A ．－1

B ．1 C.114

D ．－114

[答案] A

[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x －3，

∴f (2)＝22－3＝1，

又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.

6．设f (x )在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f (x )为偶函数，则f (x )在[1,2]上( )

A ．为减函数，最大值为3

B ．为减函数，最小值为－3

C ．为增函数，最大值为－3

D ．为增函数，最小值为3

[答案] D

[解析] ∵f (x )在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f (－1)＝3，

又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数，且最小值为f (1)＝f (－1)＝3.

7．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )

A ．y ＝x 3

B ．y ＝－x 2＋1

C ．y ＝|x |＋1

D ．y ＝2－|x | [答案] C

[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C.

8．(09·辽宁文)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满

足f (2x －1)⎪⎫13的x 取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 ` D.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，23

[答案] A

[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13

⇒23<2x <43⇒13，∴选A. 9．若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( )

A ．1

B ．－1

C ．0

D ．不存在

[答案] B

[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，

∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.

解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，

∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，

∴f (－1)＝f (1)，

即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1.

10．奇函数f (x )当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2x ＋3，则f (1)与f (2)的大小关系为( )

A ．f (1)B ．f (1)＝f (2)

C ．f (1)>f (2)

D ．不能确定 [答案] C

[解析] 由条件知，f (x )在(－∞，0)上为减函数，

∴f (－1)又f (x )为奇函数，∴f (1)>f (2)．

[点评] 也可以先求出f (x )在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较．

二、填空题

11．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的奇偶性为________．

[答案] 奇函数

[解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0，因此g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )，

∴g (x )是奇函数．

12．偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．

[答案] 0

[解析] 由于偶函数图象关于y 轴对称，且与x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.

三、解答题

13．判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)； (2)f (x )＝1x 2＋x

. [解析] (1)f (－x )＝⎩⎨⎧ x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，

∴f (－x )＝－f (x )，

∴f (x )为奇函数．

(2)f (－x )＝1x 2－x

≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．

14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．

[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2

又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：

f (x )＝x 2－2，

g (x )＝x .

15．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2

是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．

[解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，

所以f (0)＝0，即b ＝0.

又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，所以12a 1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫122＝25， 所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2. 16．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．

[解析] 由f (1－a )＋f (1－a 2)<0及f (x )为奇函数得，f (1－a )－1)，

∵f (x )在(－1,1)上单调减，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1－1<1－a 2<1

1－a >a 2－1 解得0故a 的取值范围是{a |017．f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．

[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，

∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.

即f (x )＝－2(x －1)2＋2.

当x <0时，－x >0，

f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，

∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，

∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，

即f (x )＝⎩⎨⎧ －2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)

，

其图象如图所示．