初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题13旋转变换

阅读与思考

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．

旋转变换不改变图形的形状和大小．通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度．旋转变换前后的图形有下列性质：

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；

（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心．

例题与求解

【例1】如图，边长为

1的正△A 1B 1C 1的中心为O ，将正△A 1B 1C 1绕中心O 旋转到△A 2B 2C 2，使得

A 2

B 2丄B 1

C 1，则两个三角形的公共部分（即六边形

ABCDEF ）的面积为＿＿．

（“新知杯”上海市竞赛试题）

解题思路：S 六边形

ABCDEF ＝

222

23A B C B CD

S

S

，解题的关键是寻找

CB 1，CB 2，CD ，C 1D 之间的关系．

【例2】如图，已知△AOB ，△COD 都是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠CQD ＝90°，N ，M ，Q ，P 分

别为AB ，CB ，CD ，AD 的中点．

求证：四边形

NMQP 为正方形．

解题思路：连结BD ，AC ，并延长AC 交于点E ，则△OAC 可以看作是由△OBD 绕点O 逆时针旋转90°得到的，且∠AED ＝90°，这是证明本例的关键

．

【例3】如图，巳知在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为形内一点，且∠APB ＜∠APC ．

Q

A

B C

D

E

M N O P

A

B

C

D

E

F

O 1

A 1

B 1

C 2

A 2

B 2

C

求证：PB ＞PC ．（北京市竞赛试题）

解题思路：以A 为中心，将△APB 旋转一个∠BAC ，使AB 边与AC 边重合，这时△APB 到了△AP'C 的位置．

【例4】点B ，C ，E 在同一直线上，点A ，D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠

CED ，直线AE ，BD 交于点F ．

（1）如图1，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝＿＿＿＿；如图2，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝＿＿＿＿；（2）如图3，若∠BAC ＝

，则∠AFB ＝＿＿＿＿（用含

的式子表示）；

（3）将图3中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A ，B 重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB 与∠

的数量关系是＿＿＿；在图5中，∠AFB 与∠

的数量关系是＿＿＿．

请你任选其中一个结论证明．

（武汉市中考试题）

解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：△ABC ∽△EDC ，△BCD ∽

△ACE ，这是解本例的关键

．

【例5】如图，已知凸五边形ABCDE 中，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，∠ABC ＝2∠DBE ．

A

B C

D

E

F

图1

A B C

D

E

F

图2

A

B C

D

E

F

图3

A

B

C

D

E

F 图4

A

B

C

D

E

F

图5

Q

A

B

C

P

P

求证：∠ABC ＝60°．

（北京市竞赛试题）

解题思路：将△ABE 以B 为旋转中心顺时针旋转

∠ABC ，使得AB 与BC 重合，落在△CBE'位置，

则△ABE ≌△CBE ′，AE ＝CE ′，BE ＝BE ′，∠CBE ′＝∠ABE ．

【例6】如图，已知正方形ABCD 内一动点E 到A ，B ，C 三点的距离之和的最小值为

2

6，求此正

方形的边长．

（广东省竞赛试题）解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E 点的位置，通过旋转变

换，把EA ，EB ，EC 连结起来．

能力训练

A 级

1．如图，巳知正方形

ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ＝2，EC ＝1，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落

在直线BC 上的点F 处，则F ，C 两点的距离为＿＿＿＿．

（上海市中考试题

）

2．如图，P 是正△ABC 内的一点，且P A ＝6，PB ＝8，PC ＝10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，

得到△P'AB ，则点P 与点P'之间的距离为＿＿＿＿，∠

APB ＝＿＿＿＿．

（青岛市中考试题

）

3．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，∠BCD ＝45°．将CD 以点D

为中心逆时针旋转

90°至ED ，连结AE ，则△ADE 的面积是＿＿＿＿．

4．如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始

Rt △ABC 的边上，那么m ＝＿＿＿＿．

A B

C

D

第1题

A

B

C

P P

第2题

A

B

C

D

E

第3题

A

B

C

D

E

E

A B

C

D

E

（上海市中考试题）

5．如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转60°至AB'C'D ′的位置，则这两个正

方形重叠部分的面积是＿＿＿＿．

（全国初中数赛试题

）

6．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AC ＝8cm ．以斜边BC 上距离点B6cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转

90°至△DEF ，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积为＿＿＿．

（黄冈市竞赛试题

）

7．如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A'的坐标为（a ，b ），则点A

的坐标为（

）A ．（

a ，

b ）

B ．（a ，1b ）

C ．（

a ，

1b ）D ．（

a ，2

b ）

（河南省中考试题

）

8．如图，已知P 是等边△ABC 内部一点，∠APB ︰∠BPC ︰∠CPA ＝5︰6︰7．则以PA ，PB ，PC

为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（

）

A ．2︰3︰4

B ．3︰4︰5

C ．4︰5︰6

D ．不能确定（全国初中数学通讯赛试题

）

9．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，P 是△ABC 内一点，则（）

A ．P A ＋P

B ＋P

C ＜AB ＋AC B ．P A ＋PB ＋PC ＞AB ＋AC C ．P A ＋PB ＋PC ＝AB ＋AC

D ．P A ＋RB ＋PC 与AB ＋AC 的大小关系不确定

（武汉市竞赛试题）

10．已知：如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 到点F ，OD 到点E ，使OF ＝2OA ，

OE ＝2OD ．连结EF ，将△FOE 绕点O 逆时针旋转角得到△F ′OE ′（如图2）．

A

B

C

D

第4题

A

B

C D

B C

D

第5题

A B

C

D

E

F G H K P

第6题

x

y

O

A

B

C

B A

第7题

A

B

C

P

第8题

A

B

C

P

第9题

（1）探究A'E 与BF ′的数量关系，并给予证明；（2）当

＝30°时，求证：△AOE'为直角三角形．

（南通市中考试题

）

11．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠BAC ＝∠EDF ＝，点M ，N 分别是BE ，CF

的中点．

（1）若点A 与点D 重合，点E ，F 分别在AB ，AC 上（如图1），则AM 与AN 的数量关系是＿＿＿＿，∠MAN 与

的数量关系是＿＿＿＿；

（2）将图1中的△DEF 绕点A （D ）旋转（如图2），第（1）问的两个结论是否仍成立？若成立，

请证明；若不成立，请说明理由．

B 级

1．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，∠

MDN ＝

A

B

C

D

E F

O 图1

A

B

C

D

E

F

O

图2

A B

C ()

D E

F

M

N 图1

A B

C

()

D E

F

M

N

图2

60°，则△AMN 的周长＝＿＿＿＿．

（重庆市竞赛试题

）

2．如图，在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上取两点M ，N ，使∠MCN ＝45°，记AM ＝m ，MN ＝x ，BN ＝n ，则以线段x ，m ，n 为边长的三角形的形状是（

）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．随x ，m ，n 的变化而变化

（安徽省竞赛试题

）

3．如图，直线y ＝

443

x

与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后

得到△AO'B'，则点B ′的坐标是（

）

A ．（3，4）

B ．（4，5）

C ．（7，4）

D ．（7，3）

（丽水市中考试题

）

4．如图，正方形ABCD 中，已知AB ＝

3，点分别在BC ，CD 上，且∠BAE ＝30°，∠DAF ＝15°，

求△AEF 的面积．

（“希望杯”邀请赛试题）

5．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°．求证：BC ＋DC ＝AC ；（2）如图2，在四边形

ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝

120°，求证：PA ＋PD ＋PC ≥BD ．

（江苏省竞赛试题

）

6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，△ADE 是正三角形，点D 在边BC 上，已知BD

︰DC ＝2︰3，当△ABC 的面积是50cm 2

时，求△ADE 的面积．

A B

C

D

M N 第1题

A

B C

M

N

第2题

x

y

O

第3题

A

B

C

D E

F

第4题

A

B

C

D

图①

A

B

C

D

P

图②

第5题

（日本数学奥林匹克试题）

7．如图，已知O 是锐角三角形ABC 内一点，∠AQB ＝∠BOC ＝∠COA ＝120°，P 是△ABC 内任一

点．求证：PA ＋PB ＋PC ≥OA ＋OB ＋OC ．

（杭州市竞赛试题

）

8．（1）如图1，已知正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ），B ，C ，G 在同一条直线上，M 为

线段AE 的中点．探究：线段

MD ，MF 的关系；

（2）如图2，若将正方形

CGEF 绕点C 顺时针旋转45°，使得正方形

CGEF 的对角线CE 在正方形

ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转

，M 为AE 的中点．试问：第（

1）问中探究

的结论是否成立？

（大连市竞赛试题

）

9．已知正方形ABCD 和等腰Rt △BEF ，BE ＝EF ，∠BEF ＝90°．按图1的位置，使点F 在BC 上，

取DF 的中点G ，连结EG ，CG ．

A

B

C

D

E

第6题

A

B

C

O

P

第7题

A B

C

D E

F G

M 图1

A B

C

D

E

F

G

M 图2

A B

C

D

E

F

G

M

图3

（1）探索EG ，CG 的数量关系和位置关系并证明；

（2）将图中△BEF 绕点B 顺时针旋转45°，再连结DF ，取DF 中点G （如图2），第（1）问中的结论是否仍然成立？请你证明；

（3）将图1中△BEF 绕点B 转动任意角度（在0°～90°之间），再连结DF ，取DF 的中点G （如图

3），第（1）问中的结论是否仍成立？不必证明．

10．在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A （3，0），B （0，4）．以点A 为旋转中心，把△ABO

顺时针旋转，得△ACD ．记旋转角为

，∠ABO 为

．

（1）如图1，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；

（2）如图2，当旋转后满足BC ∥x 轴时，求

与

之间的数量关系；

（3）当旋转后满足∠

AOD ＝

时，求直线CD 的解析式．

（天津市中考试题

）

11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2AD ，点P 在△ABC 内，且P A ＝3，PB ＝5，PC ＝

2，求△ABC 的面积．

（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）

A

B

C

D

E

F

G

图3

A

B

C

D

E

F

G

图2

图1

A

B

C

D

E F

G

A

C

D

O y

x

图1

B

A

C

D

O y

x

图2

B

第10题

A

B

C

P

第11题