第21届全国中学生物理竞赛决赛试题

一、（ 20 分）有一光光导纤维，光芯折射率n=1.500 的透明度极好的介质，其截面半径为r ；光芯外面包层的折射率n / =1.400 。有一半导体激光器S，位于光纤轴线的延长上，发出半角宽为30o的光束。为便于使此光束全部进入光纤，在光纤端面处烧结了一个其材料与光芯相同的、半径为 R 的球冠 QAQ ＇ ，端面附近的结构如图所示（包层未画出）， S 可看作点光源，光纤放在空气中，空气的折射率 n0 按 1.000 计算。 

1 、 若要半导体激光器发出的光能够全部射到球冠上，则光源 S 离 A 的距离 x 应满足什么条件？ 

2 、 如果 R=1.8r, 光源S与A 的距离为R，入射与轴的夹角用α表示，则α角分别为α1 =30o、α2 =25o 和α3＝20o的三根光线能否经过全反射在光纤中传播？ 

二、（ 20 分）试从相对论能量和动量的角度分析论证 

　　1 、一个光子与真空中处于静止状态的自由电子碰碰撞时，光子的能量不可能完全被电子吸收。 

　　光子射到金属表面时，其能量有可能完全被吸收被使电子逸出金属表面，产生光电效应。 

三、（ 25 ）如图所示，一质量 M=30.0Kg 的楔形木块 OABC 静止在水平地面上，其斜面段 AB 的倾角， BC 段的倾角α =45o ， AB 段与 BC 段连接处（ B ）为一非常短的光滑圆弧，现将一质量的 m=4.00Kg 小物块（可视为质点），放在斜面上离地面高h1 =2.80m 的 A 处，然后放手，令小物块从静止开始斜面下滑，已知小物块与斜面之间无摩擦，木块与地面间的最大静摩擦系数和滑动摩擦系数为μ=6.00*10-2 ，B 处离桌面的高度h2 =2.00m ，如果不计小物块经过处 B 时(β =60o )物块及木块速度大小的改变，求小物块从斜面上 A 处滑动到斜面底部 C 处整个过程中小物块对木块所做的功（取重力加速度 g=10.0ms-2 ）

　　四、（ 25 分）由如图所示的电路，其中 E 为内阻可以忽略的电源的电动势，R 为电阻的阻值；K 为开关；A 、 B 右边是如图所标的 8 个完全相同的容量均为 C 的理想电容器组成的电路，问从合上 K 到各电容器充电完毕，电阻 R 上发热消耗的能量是多少？（在解题时，要求在图上标出你所设定的各个电容器极板上电荷的正负） 

　　五、（ 25 分）如图所示， K 为一带电粒子发生器，从中可以不断地射出各种不同速率的带电粒子，它们都带正电，电量为q，质量为m ，速度的方向都沿图中的虚线，D 1 、 D2为两块档板,可定时开启和关闭。C1 、C2 为两扇“门” , C1 紧靠 D1 ，两门之间的距离为 l ，两个门上都加上交变电压 u=U0 sin(2лt/T ) ，T 为交变电压的周期，已知只有当上电压的值为零附近的无限短的时间内，粒子才能通过该门，G 为能量增减器，它紧靠档板D2 ，到门C2 的距离为l/2 ，当带电粒子在t 时刻通过G 时，粒子获得一定的能量 ΔE=E0 sin(2лt/T + л/4 ), 但速度的方向不变，式中 E0 =(2 1/2 /4)ml 2 /T2 ，通过 G 的粒子从 O 点进入 G 右侧的匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直面向里（整个装置都放在真空中）。在磁场区建立以 O 作为原点的如图所示的直角坐标系oxy ， MN 为磁场区域的边界，它平行于x 轴，现在的 t=0 时刻，同时打开D1 与 D2 ，让粒子进入 C1 ，在时刻 t＝3T/4 ，关闭档板 D1 ，使粒子无法进入 C1 ，在时刻 t＝10T/4 ，再关闭档板D2 ，使粒子无法进入 G ，已知从 O 进入磁场中速度最大的粒子经过坐标为 (3cm,3cm) 的 Q 点，问：假如要使从 O 进入磁场中速度最小的粒子能经过 Q 点，则应将磁场边界 MN 在平面内 oxy 平移到什么位置。 

　六、（ 25 分）如图，a 、b 、c 、d 是位于光滑水平桌面上的四个小物块，它们的质量均为 m 。a 、b 间有一自然长度为 l, 劲度系数为 k1 的弹簧联结;c 、d 之间有一自然长度为l,劲度系数为k2的弹簧联结; 四个物块的中心在同一直线上。如果b 、c 发生碰撞，碰撞是完全弹性的，且碰撞时间极短，开始时，两个弹簧都处在自然长度状态，物块c 、 d 静止物块， a 、b 以相同的速度 v0 向右运动，试定量论述 

　　•  若 k1 =k2 , 四个物块相对于桌面怎样运动 ? 

　　•  若 k1 =4k2 , 四个物块相对于桌面怎样运动 ?