人教版八年级上期末数学备考之几何综合

一．解答题（共35小题）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C 关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．

（1）在图中，依题意补全图形；

（2）记∠DAC＝α（α＜45°），求∠ABF的大小；（用含α的式子表示）

（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．

2．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．

3．数学老师布置了这样一道作业题：

在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．

小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．

（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；

（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；

（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为（直接写出结果）．4．如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO 上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．

（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：BN＝CD；

（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；

（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．5．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC边上，连接AD，AE⊥AD，AE＝AD，连接CE，DE．

（1）求证：∠B＝∠ACE；

（2）点A关于直线CE的对称点为M，连接CM，EM．

①补全图形并证明∠EMC＝∠BAD；

②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当D，E，M三点恰好共线时点D的位置．请

直接写出此时∠BAD的度数，并画出相应的图形．

6．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．

（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；

（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．

①补全图2；

②若BN＝DN，求证：MB＝MN．7．在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．

（1）如图1，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；

小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD＝BC．他发现先在BC上截取BM，使BM＝BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM＝CD即可．

①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：

ⅰ）在BC上截取BM，使BM＝BE，连接FM，则可以证明△BEF与全等，判定它们全等的依据是；

ⅱ）由∠A＝60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB＝°；

…

②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD＝BC的过程．

（2）如图2，若∠ABC＝40°，求证：BF＝CA．

8．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）（1）求证：∠BAD＝∠EDC；

（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．

①依题意将图2补全；

②小姚通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM，小姚把这个

猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明DA＝AM，只需证△ADM是等边三角形；

想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可．

请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA＝AM（一种方法即可）

9．已知：△ABC是等边三角形．

（1）如图1，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；

（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD 交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．

10．已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C、D重合），且∠EAC＝2∠EBC．

（1）如图1，若∠EBC＝27°，且EB＝EC，则∠DEB＝°，∠AEC＝°．（2）如图2，

①求证：AE+AC＝BC；

②若∠ECB＝30°，且AC＝BE，求∠EBC的度数．11．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD；

（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB＝4，AC＝7，求NC的长．

12．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD ＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝5．

（1）求BC的长；

（2）求证：BD＝CD．

13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．

（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；

（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；

（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

14．已知：如图，在△ABC中，如果∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB＝∠EBC＝∠A．

求证：BD＝CE．

15．在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．

（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．

①补全图形；

②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．

（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD＝∠BCD．

16．在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P．

（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出∠BDO的度数；

（2）如图2，将△ABO绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写

出结果）17．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE 的长．

小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．

请根据小明同学的思路直接写出DE的长．

（2）【类比探究】

老师引导同学继续研究：

1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE 的长．

2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）

18．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；

（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．

19．如图1，在△ABC中，∠A的外角平分线交BC的延长线于点D．

（1）线段BC的垂直平分线交DA的延长线于点P，连接PB，PC．

①利用尺规作图补全图形1，不写作法，保留痕迹；

②求证：∠BPC＝∠BAC；

（2）如图2，若Q是线段AD上异于A，D的任意一点，判断QB+QC与AB+AC的大小，并予以证明．20．如图，在△ABC中，BA＝BC，点D为△ABC外一点，连接DA，∠DAC恰好为25°，线段AD沿直线AC翻折得到线段AD′，过点C作AD的平行线交AD′于点E，连接BE．

（1）求证：AE＝CE；

（2）求∠AEB的度数．

21．如图①，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：

（1）在图②中，BD与CE的数量关系是；

（2）在图③中，猜想AM与AN的数量关系，∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．

22．在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）若点E是AB的中点，如图1，求证：AE＝DB．

（2）若点E不是AB的中点时，如图2，试确定线段AE与DB的大小关系，并写出证明过程．

23．在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路，如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB＝OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题：

如图2，在非等边△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，且AD，CE交于点F，求证：AC＝AE+CD．

24．如图：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；

（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．

25．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC 的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．

（1）依题意补全图形．

（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；

②求证：点D到AF，EF的距离相等．

26．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长AB至点E，使∠AEC＝∠DAB．判断CE与AD的数量关系，并证明你的结论．

27．已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．

（1）如图1，点C在线段AB上．

①根据题意补全图1

②求证：∠EAC＝∠EDC；

（2）如图2，点C在直线AB的上方，0°＜∠CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．

28．在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD＝α（0°＜α＜180°），点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC．

（1）依题意补全图1；

（2）在图1中，求∠BPC的度数；

（3）直接写出使得△PBC是等腰三角形的α的值．

29．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．

（1）当点C在线段BD上时，

①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系

为；

②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；

（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．

30．解决下面问题：

如图，在△ABC中，∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB＝∠EBC＝∠A，BE与CD相交于点O，探究BD与CE之间的数量关系，并证明你的结论．

小新同学是这样思考的：

在平时的学习中，有这样的经验：假如△ABC是等腰三角形，那么在给定一组对应条件，如图a，BE，CD分别是两底角的平分线（或者如图b，BE，CD分别是两条腰的高线，或者如图c，BE，CD分别是两条腰的中线）时，依据图形的轴对称性，利用全等三角形和等腰三角形的有关知识就可证得更多相等的线段或相等的角．这个问题也许可以通过添加辅助线构造轴对称图形来解决．请参考小新同学的思路，解决上面这个问题．31．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为△ABC内一点，且∠BAP＝70°，∠ABP＝40°，（1）求证：△ABP是等腰三角形；

（2）连接PC，当∠PCB＝30°时，求∠PBC的度数．

32．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．

（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；

（2）在α（0°＜α≤60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；

（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．

33．如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，连接EC并延长，交射线AD于点F．

（1）补全图形；

（2）求∠AFE的度数；

（3）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．

34．△ABC是等边三角形，AC＝2，点C关于AB对称的点为C'，点P是直线C'B上的一个动点，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D．

（1）若点P在线段C'B上（不与点C'，点B重合）．

①如图1，若点P是线段C'B的中点，则AP的长为；

②如图2，点P是线段C'B上任意一点，求证：PD＝PA；

（2）若点P在线段C'B的延长线上．

①依题意补全图3；

②直接写出线段BD，AB，BP之间的数量关系为：．

35．等边△ABC的边长为4，D是射线BC上任一点，线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．

（1）当点D是BC的中点时，如图1，判断线段BD与CE的数量关系，请直接写出结论：（不必证明）；

（2）当点D是BC边上任一点时，如图2，请用等式表示线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明；

（3）当点D是BC延长线上一点且CD＝1时，如图3，求线段CE的长．