参与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．（5分）已知集合A={2，4}，B={3，4}，A∩B= {4} ．
| 考点： | 交集及其运算． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 找出两集合的公共元素，即可求出交集． |
| 解答： | 解：∵集合A={2，4}，B={3，4}， ∴A∩B={4}． 故答案为：{4} |
| 点评： | 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． |
2．（5分）复数1﹣2i （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第 四 象限．
| 考点： | 复数的代数表示法及其几何意义． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 利用复数的代数表示法及其几何意义即可得到答案． |
| 解答： | 解：∵z=1﹣2i的实部为1，虚部为﹣2， ∴复数z=1﹣2i在复平面内表示的点Z的坐标为Z（1，﹣2）， ∴点Z位于第四象限． 故答案为：四． |
| 点评： | 本题考查代数表示法及其几何意义，属于基础题． |
3．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2＞x﹣1，则¬p为 ∃x∈R，x2≤x﹣1 ．
| 考点： | 命题的否定；全称命题． |
| 专题： | 阅读型． |
| 分析： | 根据命题p：“∀x∈R，x2＞x﹣1”是全称命题，其否定¬p定为其对应的特称命题，由∀变∃，结论变否定即可得到答案． |
| 解答： | 解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”， ∴命题p：∀x∈R，x2＞x﹣1，的否定是： ∃x∈R，x2≤x﹣1． 故答案为：∃x∈R，x2≤x﹣1． |
| 点评： | 命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”． |
4．（5分）若复数z=4+3i （i为虚数单位），则|z|= 5 ．
| 考点： | 复数求模． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 由已知，代入复数的模长公式计算即可． |
| 解答： | 解：∵复数z=4+3i， ∴|z|==5， 故答案为：5 |
| 点评： | 本题考查复数的模长的求解，属基础题． |
5．（5分）“x＞1”是“x＞0”成立的 充分不必要 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种）．
| 考点： | 必要条件、充分条件与充要条件的判断． |
| 专题： | 阅读型． |
| 分析： | 如果由x＞1能推出x＞0，则x＞1是x＞0成立的充分条件，否则不充分；如果由x＞0能推出x＞1，则x＞1是x＞0成立的必要条件，否则不必要． |
| 解答： | 解：由x＞1，一定有x＞0， 反之，x＞0，不一定有x＞1． 所以，“x＞1”是“x＞0”成立的充分不必要条件． 故答案为充分不必要． |
| 点评： | 本题考查必要条件、充分条件与充要条件． 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件． 此题是基础题． |
6．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+1的单调减区间为 （0，2） ．
| 考点： | 利用导数研究函数的单调性． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 先求出函数的导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＜0，解得的区间为函数的减区间． |
| 解答： | 解：f'（x）=3x2﹣6x＜0 解得x∈（0，2） 故答案为（0，2） |
| 点评： | 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，单调性是函数的重要性质，属于基础题． |
7．（5分）若{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3}，则m= 1 ．
| 考点： | 集合关系中的参数取值问题． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 由题意可得 m2﹣3m﹣1=﹣3，解得 m=1，或 m=2，经检验 m=1满足条件． |
| 解答： | 解：∵{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3}，∴m2﹣3m﹣1=﹣3，解得 m=1，或 m=2． 当m=2 时，2m=4，{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3，4}，故不满足条件，舍去． 当 m=1，{3，4，m2﹣3m﹣1}={3，4，﹣3}，{2m，﹣3}={2，﹣3}，满足条件． 故答案为 1． |
| 点评： | 本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，注意检验 m的值是否满足条件，这是解题的易错点，属于中档题． |
8．（5分）函数y=x3﹣2x在点（1，1）处的切线方程为 x﹣y=0 ．
| 考点： | 利用导数研究曲线上某点切线方程． |
| 专题： | 导数的综合应用． |
| 分析： | 先求切线斜率，即y′|x=1，然后由点斜式即可求出切线方程． |
| 解答： | 解：y′=3x2﹣2，y′|x=1=3﹣2=1，即函数y=x3﹣2x在点（1，1）处的切线斜率是1， 所以切线方程为：y﹣1=1×（x﹣1），即x﹣y=0． 故答案为：x﹣y=0． |
| 点评： | 本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程问题，函数在某点处的导数为该点处的切线斜率． |
9．（5分）（2011•扬州模拟）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是 真 命题（填“真”、“假”之一）．
| 考点： | 命题的否定；命题的真假判断与应用． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 利用否命题的形式写出否命题，利用复合命题p或q有真则真，判断出否命题是真命题． |
| 解答： | 解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2≥4” ∵a＞2 ∴a2＞4 ∴a2≥4 ∴否命题为真命题 故答案为：真 |
| 点评： | 本题考查命题的否命题：是将条件，结论同时否定，注意否命题与命题的否定的区别． |
10．（5分）（2011•盐城模拟）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 1：8 ．
| 考点： | 类比推理． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可． |
| 解答： | 解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4， 类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出： 在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 1：8 故答案为：1：8． |
| 点评： | 本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）． |
11．（5分）若α=，则tanα=1”．在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题个数是 1 个．
| 考点： | 四种命题；命题的真假判断与应用． |
| 专题： | 规律型． |
| 分析： | 先明确写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题，对其三种命题的真假做出判断即可得出答案． |
| 解答： | 解：命题：“若α=，则tanα=1”， 逆命题为：若tanα=1，则α=45°为假命题； 否命题为：若α=，则tanα≠1为假命题， 逆否命题为：若tanα≠1，则α≠为真命题， 故真命题有一个， 故答案为：1． |
| 点评： | 本题考查了命题的真假关系，属于基础题，关键是根据原命题能写出它的逆命题、否命题、逆否命题． |
12．（5分）观察下列等式：=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，…可推测当n≥3，n∈N*时，= （﹣）× ．
| 考点： | 类比推理． |
| 专题： | 规律型． |
| 分析： | 通过观察可知，等式的规律特点为：积的倒数等于倒数的差乘以差的倒数，据此规律可求得答案． |
| 解答： | 解：通过观察四个等式可看出：两个整数乘积的倒数，等于较小整数的倒数减去较大整数倒数的差再乘以较大整数减去较小整数差的倒数， 从而推测可推测当n≥3，n∈N*时，=（﹣）×， 故答案为：=（﹣）×． |
| 点评： | 此题考查寻找数字的规律及运用规律进行推理．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系． |
13．（5分）（2013•东至县一模）若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是 [1，） ．
| 考点： | 利用导数研究函数的单调性． |
| 分析： | 先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解． |
| 解答： | 解：因为f（x）定义域为（0，+∞）， 又f'（x）=4x﹣，由f'（x）=0，得x=． 据题意，，解得1≤k＜ 故答案为：[1，） |
| 点评： | 本题主要考查函数的单调性与导函数的关系．属基础题． |
14．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣2x+5在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且函数f（x）的导数记为f'（x），则下列结论正确的是 ①②③④⑤ ．（填序号）
①是方程f'（x）=0的根；②1是方程f'（x）=0的根；③有极小值f（1）；④有极大值； ⑤．
| 考点： | 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． |
| 专题： | 作图题；综合题． |
| 分析： | 对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax﹣2，由题意可得f′（1）=0，则可得a=﹣可判断⑤ ，f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1）可判断①② 由函数f（x）=x3+ax2﹣2x+5在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可判断③ 由函数f（x）=x3+ax2﹣2x+5在上单调递减，在（1，+∞），上单调递增可判断④ |
| 解答： | 解：∵f′（x）=3x2+2ax﹣2 由函数f（x）=x3+ax2﹣2x+5在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增 可知f′（1）=0即2a+1=0 ∴a=﹣ ∴，f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1） ①x=﹣是方程的根，正确 ②x=1是方程的根，正确 ③由函数f（x）=x3+ax2﹣2x+5在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可知x=1是函数的极小值，③正确 ④令f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1）＞0，可得 f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1）＜0可得， 则函数f（x）=x3+ax2﹣2x+5在上单调递减，在（1，+∞），上单调递增，故为函数的极大值，④正确 ⑤正确 故答案为：①②③④⑤ |
| 点评： | 本题主要考查了利用函数的导数求解函数的单调区间、函数的极大与及小值，及函数的极值与导数对应的方程的根的关系的应用． |
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（14分）求函数f（x）=（x﹣1）2（x﹣2）的极大值．
| 考点： | 利用导数研究函数的极值． | |||||
| 专题： | 导数的概念及应用． | |||||
| 分析： | 求导数f′（x），解方程f′（x）=0，列出当x变化时f′（x）、f（x）的变化情况表，根据表格即可求得函数的极大值． | |||||
| 解答： | 解：∵f（x）=（x﹣1）2（x﹣2），∴f′（x）=（x﹣1）（3x﹣5）； 令f′（x）=0，得可能的极值点x1=1，x2=．列表如下： x | （﹣∞，1） | 1 | （1，） | （，+∞） | |
| f′（x） | + | 0 | _ | 0 | + | |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
| ∴f（1）=0是函数的极大值． | |
| 点评： | 本题考查利用导数研究函数的极值，可导函数f（x）在x=x0处取得极值的充要条件是：f′（x0）=0，且在x=x0左右两侧导数异号． |
16．（14分）已知复数z1满足z1•i=1+i （i为虚数单位），复数z2的虚部为2．
（1）求z1；
（2）若z1•z2是纯虚数，求z2．
| 考点： | 复数代数形式的乘除运算． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | （1）直接把给出的等式两边同时乘以，然后采用复数的除法运算求得z1； （2）设出复数z2，由z1•z2是纯虚数，则其实部等于0，虚部不等于0，联立后可求复数z2的实部，则复数z2可求． |
| 解答： | 解 （1）因为z1•i=1+i， 所以z1===1﹣i． （2）因为z2的虚部为2，故设z2=m+2i （m∈R）． 因为z1•z2=（1﹣i）（m+2i）=（m+2）+（2﹣m）i为纯虚数， 所以m+2=0，且2﹣m≠0，解得m=﹣2． 所以z2=﹣2+2i． |
| 点评： | 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的有关定义，复数为纯虚数的条件是实部等于0虚部不等于0．此题是基础题． |
17．（15分）函数f（x）=的定义域为A，B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}
（1）求集合A；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
| 考点： | 函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用． |
| 专题： | 函数的性质及应用． |
| 分析： | （1）由函数的解析式可得 2﹣≥0，即 ≥0，即 （x+1）（x﹣1）≥0，且x≠﹣1，由此求得x的范围，即为所求． （2）由于B=（a，a+1），B⊆A，可得 a+1≤﹣1，或 a＞1，由此求得a的范围． |
| 解答： | 解：（1）由函数f（x）=可得 2﹣≥0，即 ≥0，即 （x+1）（x﹣1）≥0，且x≠﹣1． 解得 x＜﹣1，或 x≥1，故A=（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）． （2）由于B=（a，a+1），B⊆A，∴a+1≤﹣1，或 a≥1，故a的范围为{a|a≤﹣2，或 a≥1}． |
| 点评： | 本题主要考查求函数的定义域，一元二次不等式、分式不等式的解法，集合间的包含关系，属于基础题． |
18．（15分）命题P：关于x的不等式ax2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，命题q：函数y=（3﹣a）x是增函数，若P，q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．
| 考点： | 复合命题的真假；指数函数单调性的应用． |
| 专题： | 规律型． |
| 分析： | 根据不等式恒成立的条件及指数函数的性质求出命题P、q为真时a的范围，再利用数轴求解即可． |
| 解答： | 解：∵关于x的不等式ax2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立， ∴a=0或，∴0≤a＜4， ∵函数y=（3﹣a）x是增函数，∴3﹣a＞1⇒a＜2， ∵命题P、q有且只有一个为真命题， ∴P真q假或P假q真， 若P真q假，则2≤a＜4； 若P假q真，则 a＜0， 综上满足条件的a的取值范围是2≤a＜4或a＜0． |
| 点评： | 本题借查复合命题的真假判定，考查不等式的恒成立问题及指数函数的性质． |
19．（16分）（2012•佛山二模）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．
（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．
（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
| 考点： | 函数模型的选择与应用． |
| 专题： | 应用题． |
| 分析： | （1）根据题中条件：“若已知与成正比”可设，再依据售价为10元时，年销量为28万件求得k值，从而得出年销售利润y关于x的函数关系式． （2）利用导数研究函数的最值，先求出y的导数，根据y′＞0求得的区间是单调增区间，y′＜0求得的区间是单调减区间，从而求出极值进而得出最值即可． |
| 解答： | 解：（1）设， ∵售价为10元时，年销量为28万件； ∴，解得k=2． ∴=﹣2x2+21x+18． ∴y=（﹣2x2+21x+18）（x﹣6）=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108． （2）y'=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x2﹣11x+18）=﹣6（x﹣2）（x﹣9） 令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9 显然，当x∈（6，9）时，y'＞0当x∈（9，+∞）时，y'＜0 ∴函数y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在（6，9）上是关于x的增函数； 在（9，+∞）上是关于x的减函数． ∴当x=9时，y取最大值，且ymax=135． ∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元． |
| 点评： | 本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．属于基础题． |
20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值．
| 考点： | 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件． |
| 专题： | 导数的综合应用． |
| 分析： | （1）求导数f′（x），由f′（1）=0即可求得a值； （2）在函数定义域内先判断函数f（x）的单调性，由此得其极值点，按极值点与区间[1，2]的位置关系分三种情况讨论：①当0＜≤1，②当1＜＜2，③当≥2，借助单调性即可求得其最大值； |
| 解答： | 解 （1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=． 因为当x=1时，函数f（x）取得极值， 所以f′（1）=1﹣a=0，解得a=1． 经检验，a=1符合题意． （2）f′（x）=﹣a=，x＞0． 令f′（x）=0得x=．因为x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减， ①当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=﹣a； ②当1＜＜2，即＜a＜1时，f（x）在（1，）上递增，在（ ，2）上递减， 所以x=时，f（x）取最大值f（）=﹣lna﹣1； ③当≥2，即0＜a≤时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a； 综上，①当0＜a≤时，f（x）最大值为ln2﹣2a；②当＜a＜1时，f（x）最大值为﹣lna﹣1． ③当a≥1时，f（x）最大值为﹣a． |
| 点评： | 本题考查函数在某点取得极值的条件及利用导数求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力． |
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