八年级数学上学期期中试卷(含解析) 浙教版-浙教版初中八年级全册数学...

一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）

1．下列语句是命题的是（　　）

A．作直线AB的垂线    B．在线段AB上取点C

C．同旁内角互补    D．垂线段最短吗？

2．下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．根据下列条件判断，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）

A．a=3，b=4，c=5    B．a=30，b=40，c=45

C．a=1，b=，c=    D．a：b：c=5：12：13

4．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　）

A．13cm    B．6cm    C．5cm    D．4cm

5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D′O′C′=∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SAS    B．SSS    C．ASA    D．AAS

6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（　　）

A．60°    B．120°    C．60°或150°    D．60°或120°

7．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，如果边BC长为8cm，则△ADE的周长为（　　）

A．16cm    B．8cm    C．4cm    D．不能确定

8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=（　　）

A．90°    B．120°    C．160°    D．180°

9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）

A．∠A=∠1+∠2    B．2∠A=∠1+∠2    C．3∠A=2∠1+∠2    D．3∠A=2（∠1+∠2）

10．如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　）

A．56°    B．60°    C．68°    D．94°

二、填空题（每小题3分，共30分）

11．定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是：．

12．一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是．

13．如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是．

14．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP与∠EFP的平分线相交于点P，且∠EFD=60°，EP⊥FP，则∠BEP=度．

15．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为．

16．如图，已知AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，O是AB的中点，其中OC是2cm，则OD=．

17．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于度．

18．如图BD是△ABC的一条角平分线，AB=8，BC=4，且S△ABC=24，则△DBC的面积是．

19．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要米长．

20．如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为．

三．耐心做一做（本题有6小题，共50分，各小题都必须写出解答过程）

21．如图两条公路CA与CB，B，C是两个村庄，现在要建一个菜场，使它到两个村庄的距离相等而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜场的位置（不写作法）保留作图痕迹．

22．如图．在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，BE=CF，AB∥ED．求证：AC=DF．

23．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，试说明：△ABC≌△ADE的理由．

24．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？

25．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．

26．如图，△ABC中，∠A=50°，

（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；

（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；

（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；

（4）若∠A=β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）

附加题：（总分0分）

27．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=．

28．如图，在△ABC中．AB=AC．

（l）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=．

（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=．

（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：．

（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，井说明理由．

29．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB、B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1、C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，经过2016次操作后△A2016B2016C2016的面积为．

2016-2017学年某某省某某市嵊州市爱德外国语学校八年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）

1．下列语句是命题的是（　　）

A．作直线AB的垂线    B．在线段AB上取点C

C．同旁内角互补    D．垂线段最短吗？

【考点】命题与定理．

【分析】根据命题的定义作答．

【解答】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；

B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；

C、符合命题的定义，是命题；

D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．

故选C．

2．下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】轴对称图形．

【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，看各个图形有几条对称轴即可．

【解答】解：A、有两条对称轴，符合题意；

B、C、都只有一条对称轴，不符合题意；

D、有六条，对称轴，不符合题意；

故选A．

3．根据下列条件判断，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）

A．a=3，b=4，c=5    B．a=30，b=40，c=45

C．a=1，b=，c=    D．a：b：c=5：12：13

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两短边的平方和是否等于最长边的平方即可．

【解答】解：A、（3）2+（4）2=（5）2，故是直角三角形，故本选项不符合题意；

B、302+402=2500≠452，故不是直角三角形，故本选项符合题意；

C、12+（）2=（）2，故是直角三角形，故本选项不符合题意；

D、52+122=132，故是直角三角形，故本选项不符合题意．

故选：B．

4．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　）

A．13cm    B．6cm    C．5cm    D．4cm

【考点】三角形三边关系．

【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值X围，再进一步找到符合条件的数值．

【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，

即9﹣4=5，9+4=13．

∴第三边取值X围应该为：5＜第三边长度＜13，

故只有B选项符合条件．

故选：B．

5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D′O′C′=∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SAS    B．SSS    C．ASA    D．AAS

【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．

【分析】由作一个角等于已知角的方法得到O′D′=OD，O′C′=OC，C′D′=CD，利用SSS可得出△D′O′C′和△DOC全等，进而由全等三角形的对应角相等可得出∠D′O′C′=∠DOC，即可得到两三角形全等的依据为SSS．

【解答】解：在△D′O′C′和△DOC中，

，

∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），

∴∠D′O′C′=∠DOC．

则全等的依据为SSS．

故选B

6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（　　）

A．60°    B．120°    C．60°或150°    D．60°或120°

【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．

【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．

【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；

当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．

故选D．

7．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，如果边BC长为8cm，则△ADE的周长为（　　）

A．16cm    B．8cm    C．4cm    D．不能确定

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平方根性质得出BD=AD，AE=CE，求出△ADE的周长=BC，代入即可求出答案．

【解答】

解：∵DF是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

同理AE=EC，

∴△ADE的周长是AD+AE+ED=BD+CE+DE=BC=8cm，

故选B．

8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=（　　）

A．90°    B．120°    C．160°    D．180°

【考点】角的计算．

【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．

【解答】解：设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，

所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．

故选D．

9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）

A．∠A=∠1+∠2    B．2∠A=∠1+∠2    C．3∠A=2∠1+∠2    D．3∠A=2（∠1+∠2）

【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据四边形的内角和为360°及翻折的性质，就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质．

【解答】解：2∠A=∠1+∠2，

理由：∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，

则2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1=360°，

∴可得2∠A=∠1+∠2．

故选：B．

10．如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　）

A．56°    B．60°    C．68°    D．94°

【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．

【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理可得．

【解答】解：∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣52°=128°，

又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，

∴∠ABD1=∠CBD1=∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，

∴∠CBD1+∠BCD1=（∠ABC+∠ACB）=×128°=°，

∴∠BD1C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣°=116°，

同理∠BD2C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣96°=84°，

依此类推，∠BD5C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．

故选A．

二、填空题（每小题3分，共30分）

11．定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是：　到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上　．

【考点】命题与定理．

【分析】写出下列定理的逆命题解答即可．

【解答】解：定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，

故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

12．一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是　三角形的稳定性　．

【考点】三角形的稳定性．

【分析】将其固定，显然是运用了三角形的稳定性．

【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．

故答案为：三角形的稳定性．

13．如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是　4　．

【考点】三角形三边关系．

【分析】根据三角形三边关系，可令第三边为X，则5﹣3＜X＜5+3，即2＜X＜8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6．问题可求．

【解答】解：由题意，令第三边为X，则5﹣3＜X＜5+3，即2＜X＜8，

∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6．

∴三角形的第三边长可以为4．

故答案为：4．

14．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP与∠EFP的平分线相交于点P，且∠EFD=60°，EP⊥FP，则∠BEP=　60　度．

【考点】平行线的性质；垂线．

【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义求解．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠BEF=180﹣∠EFD=120°；

∵FP平分∠EFD，且∠EFD=60°，

∴∠EFP=30°，

在△EFP中，EP⊥FP，

∴∠FEP=60°；

∴∠BEP=∠BEF﹣∠FEP=60°，

故答案为：60．

15．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为　12　．

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解答】解：分情况讨论：

①当三边是2，2，5时，2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应舍去；

②当三角形的三边是2，5，5时，符合三角形的三边关系，此时周长是12．

故填12．

16．如图，已知AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，O是AB的中点，其中OC是2cm，则OD=　2cm　．

【考点】直角三角形斜边上的中线．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=OD，已知OC的长，从而不难求得OD的长．

【解答】解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，O是AB的中点，

∴OC=OD，

∵OC=2cm，

∴OD=2cm，

故答案为：2cm．

17．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于　30　度．

【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的外角性质．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC=AE，从而得到∠A=∠ACE，再由折叠的性质及三角形的外角性质得到∠B=2∠A，从而不难求得∠A的度数．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，

∴AE=CE，

∴∠A=∠ACE，

∵△CED是由△CBD折叠而成，

∴∠B=∠CED，

∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A，

∴∠B=2∠A，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠A=30°．

故答案为：30．

18．如图BD是△ABC的一条角平分线，AB=8，BC=4，且S△ABC=24，则△DBC的面积是　8　．

【考点】角平分线的性质．

【分析】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然根据△ABC的面积列式求出DF的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，

∵BD是△ABC的一条角平分线，

∴DE=DF，

∵AB=8，BC=4，

∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=×8•DF+×4•DF=24，

解得DF=4，

∴△DBC的面积=BC•DF=×4×4=8．

故答案为：8．

19．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要　17　米长．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．

【解答】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为=12米，则红地毯至少要12+5=17米长．

20．如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为　24　．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】先连接AB，求出AB的长，再判断出△ABC的形状即可解答．

【解答】解：作辅助线：连接AB，

因为△ABD是直角三角形，所以AB===5，

因为52+122=132，所以△ABC是直角三角形，

则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，

即×12×5﹣×3×4=30﹣6=24．

三．耐心做一做（本题有6小题，共50分，各小题都必须写出解答过程）

21．如图两条公路CA与CB，B，C是两个村庄，现在要建一个菜场，使它到两个村庄的距离相等而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜场的位置（不写作法）保留作图痕迹．

【考点】作图—应用与设计作图．

【分析】作∠ACB的角平分线与线段BC的垂直平分线，两条直线交与点P，点P就是菜场的位置．

【解答】解：如图，

点P就是菜场的位置．

22．如图．在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，BE=CF，AB∥ED．求证：AC=DF．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】由BE=CF，得到BC=EF，根据平行线的性质得到∠B=∠DEC，证得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解答】证明：∵BE=CF，

∴BE+CE=CF+CE，

即BC=EF，

∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEC，

在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF，

∴AC=DF．

23．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，试说明：△ABC≌△ADE的理由．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】由条件可证得∠B=∠ADE，∠BAC=∠DAE，结合AC=AE，可证明△ABC≌△ADE．

【解答】证明：

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，

即∠BAC=∠DAE，

∵∠B+∠1=∠ADE+∠3，且∠1=∠3，

∴∠B=∠ADE，

在△ABC和△ADE中

∴△ABC≌△ADE（AAS）．

24．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？

【考点】勾股定理的应用．

【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算．

【解答】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC﹣x．

∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90°，

∴AC===2

∵BD=0.5，

∴在Rt△ECD中，

CE====1.5．

∴2﹣x=1.5，x=0.5．即AE=0.5．

答：滑杆顶端A下滑0.5米．

25．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．

【考点】勾股定理；直角三角形全等的判定．

【分析】（1）要证明△BCE≌△DCF，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条件，所以根据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等；

（2）结合（1）中的结论进行分析，发现：AB=AE+BE=AF+BE=AD+DE+BE=AD+2BE，求出BE的长，再根据勾股定理求得CE的长，再运用勾股定理进行求解即可．

【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂线的意义）

CE=CF（角平分线的性质）

∵BC=CD（已知）

∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）

（2）解：由（1）得，

Rt△BCE≌Rt△DCF

∴DF=EB，设DF=EB=X

∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，

CE=CF，AC=AC

∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）

∴AF=AE

即：AD+DF=AB﹣BE

∵AB=21，AD=9，DF=EB=x

∴9+x=21﹣x解得，x=6

在Rt△DCF中，∵DF=6，CD=10

∴CF=8

∴Rt△AFC中，AC2=CF2+AF2=82+（9+6）2=2

∴AC=17

答：AC的长为17．

26．如图，△ABC中，∠A=50°，

（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；

（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；

（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；

（4）若∠A=β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．

【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠P的度数；

（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE=360°﹣130°=230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB=（∠CBD+∠BCE）=115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；

（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P=∠A，即可得出结果；

（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．

【解答】解；（1）∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，

∵∠B和∠C的平分线交于点O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB=×（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=115°；

（2）∵∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，

∴∠CBD+∠BCE=360°﹣130°=230°，

∵点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，

∴∠PBC+∠PCB=（∠CBD+∠BCE）=115°，

∴∠P=180°﹣115°=65°；

（3）∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，

∴∠PBC=∠ABC，∠PCF=∠ACF，

∵∠PCF=∠P+∠PBC，∠ACF=∠A+∠ABC，

∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC，

∴∠P=∠A=25°；

（4）若∠A=β，在（1）中，∠P=180°﹣=90°+β；

在（2）中，同理得：∠P=90°﹣β；

在（3）中同理得：∠P=∠A=β．

附加题：（总分0分）

27．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=　4　．

【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质．

【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．

【解答】

解：观察发现，

∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，

∴∠BAC=∠EBD，

∴△ABC≌△BDE（AAS），

∴BC=ED，

∵AB2=AC2+BC2，

∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，

即S1+S2=1，

同理S3+S4=3．

则S1+S2+S3+S4=1+3=4．

故答案为：4．

28．如图，在△ABC中．AB=AC．

（l）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　15°　．

（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　20°　．

（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：∠EDC=∠BAD　．

（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，井说明理由．

【考点】三角形综合题．

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出∠DAE=30°，又因为AD=AE，根据等边对等角的性质以及三角形内角和定理得出∠ADE=∠AED=75°，再利用三角形外角的性质即可得出∠EDC=15°；

（2）同理，易证∠ADE=70°，所以∠EDC=20°；

（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）．

（4）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B=2∠EDC+∠C，而B=∠C，所以∠BAD=2∠EDC．

【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°．

∵∠BAD=30°，

∴∠BAD=∠CAD=30°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=75°，

∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=15°．

故答案为15°；

（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°．

∵∠BAD=40°，

∴∠BAD=∠CAD=40°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=70°，

∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=20°．

故答案为20°；

（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）．

故答案为∠EDC=∠BAD；

（4）仍成立，理由如下：

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED，

∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC=2∠EDC+∠C，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠BAD=2∠EDC，

∴∠EDC=∠BAD．

29．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB、B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1、C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，经过2016次操作后△A2016B2016C2016的面积为　72016．

【考点】三角形的面积；规律型：图形的变化类．

【分析】利用三角形同高等底面积相等，进而求出，得出规律解答即可．

【解答】解：∵B1C=BC，A1B=AB，

∴S△ABC=S△BCA1，S△BCA1=S△A1CB1，

∴S△A1B1C=2S△ABC=2a，

同理可得出：S△A1AC1=S△CB1C1=2，

∴S1=2a+2a+2a+a=7；，△A2016B2016C2016的面积Sn=72016

故答案为：72016．