(易错题)高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(含答案解析)

1．令表示不超过的最大整数，例如，，，若函数，则函数在区间上所有可能取值的和为（ ）

A．1 ．2 ．3 ．4

2．已知函数若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（ ）

A． ． ． ．

3．已知函数，．设．（其中表示p，q中较大值，表示p，q中较小值），记的最小值为A，的最大值为B，则（ ）

A． ．16 ．8a ．

4．对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）．

A．是的一个解 ．直线是的对称轴

C．是的最大值或最小值 ．点在的图象上

5．已知的图象关于直线对称，则的值域为（ ）

A． ． ． ．

6．已知定义在上的函数， ， ， ，则，，的大小关系是（ ）

A． ． ． ．

7．符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数．给出下列结论：①函数的定义域是R，值域为；②方程有无数个解；③函数是增函数；④函数为奇函数，其中正确结论的个数是（ ）

A．0 ．1 ．2 ．3

8．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果，则不等式的解集为（ ）

A． ． ． ．

9．已知在的最大值为，最小值为，给出下列五个命题：（ ）

①若对任何都有，则的取值范围是.

②若对任何都有，则的取值范围是.

③若关于的方程在区间有解，则的取值范围是.

④若关于的不等式在区间有解，则的取值范围是.

⑤若关于的不等式在区间有解，则的取值范围是.

A． ． ． ．

10．已知函数的定义域为R，且对任意的，且都有成立，若对恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

A． ． ． ．

11．函数的部分图象大致是（ ）

A． ．

C． ．

12．函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）

A． ． ． ．

二、填空题

13．函数 在区间上的最大值的最小值是__________．

14．已知二次函数，分别是函数在区间的最大值和最小值，则的最小值是________

15．已知函数y＝f(n)，满足f(1)＝2，且f(n+1)＝3f(n),n∈N+ .则f(3)＝____________.

16．已知函数的定义域为，则函数的定义域是________.

17．函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数，例如，函数是单函数，下列命题：

①函数是单函数；

②若为单函数，且，则；

③若为单函数，则对于任意，在中至多有一个数与它对应；

④函数在某区间上具有单调性，则在其定义域上一定是单函数．

期中正确命题的序号是___________．

18．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数a的取值范围____．

19．已知函数，若“的值域为”为真命题，则________.

20．已知函数，若在定义域上不是单调函数，则实数a的取值范围是_______．

三、解答题

21．已知二次函数且），，且对任意的，均成立，且方程有唯一实数解.

（1）求的解析式；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在区间，使得在区间上的值域恰好为？若存在，请求出区间，若不存在，请说明理由.

22．已知函数.

（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；

（2）若，函数满足，求的取值范围.

23．已知函数，.

（1）若在区间上单调递增，求m的取值范围；

（2）求在区间上的最小值；

24．已知函数，．

（1）当时，求函数的最大值和最小值；

（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．

（3）求函数的最小值的表达式，并求的最大值．

25．已知函数在区间单调递减，在区间单调递增．

（1）求函数在区间的单调性；（只写出结果，不需要证明）

（2）已知函数，若对于任意的，有恒成立，求实数的取值范围．

26．已知二次函数，.

（1）若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；

（2）在（1）的条件下，在区间[－3，－1]上恒成立，试求的取值范围．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

根据表示不超过的最大整数，分5种情况讨论，分别求出和的值，即可以计算的函数值，相加即可得答案．

【详解】

因为表示不超过的最大整数，所以：

当时，有，则，则，，此时，

当时，有，则，则，，此时，

当时，有，则，则，，此时，

当时，有，则，则，，此时，

当时，，则，则，，此时，

函数在区间，上所有可能取值的和为；

故选：．

【点睛】

结论点睛：分类讨论思想的常见类型 

（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 

（2）问题中的条件是分类给出的； 

（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 

（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.

2．A

解析：A

【分析】

首先确定时的对称轴，分别在和两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果.

【详解】

当时，是开口方向向下，对称轴为的二次函数，

①当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得；

②当，即时，若存在，使得，则函数图象需满足下图所示：

即，解得：，；

综上所述：.

故选：A.

【点睛】

思路点睛：根据可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.

3．A

解析：A

【分析】

根据，由．，得到，求解.

【详解】

因为函数，，

所以，

如图所示：

当时，，

当时，，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，

故选：A

【点睛】

方法点睛：(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．

4．A

解析：A

【分析】

可采取排除法，分别考虑A、B、C、D中有一个错误，通过解方程求得，判断是否为非零整数，即可得出结论.

【详解】

①若A错，则B、C、D正确，直线是的对称轴，则，

是的最大值或最小值，则，

点在的图象上，则，

可得，解得，合乎题意；

②若B错，则A、C、D正确，是的一个解，则，

是的最大值或最小值，则，

点在的图象上，则，

可得，该方程组无解，不合乎题意；

③若C错误，则A、B、D正确，是的一个解，则，

直线是的对称轴，则，

点在的图象上，则，

可得，解得，不合乎题意；

④若D错误，则A、B、C正确，是的一个解，则，

直线是的对称轴，则，

是的最大值或最小值，则，

可得，解得，不合乎题意.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用二次函数的基本性质求解参数，解本题的关键就是根据已知信息列出关于、、的方程组，解出参数的值，再逐一判断.

5．B

解析：B

【分析】

结合函数对称性与解析式可知是零点，则也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解

【详解】

因为函数有两个零点，0，又因为其图象关于直线对称，

所以2，3也是函数的两个零点，即，所以，令，则，所以，即的值域为.

故选：B

【点睛】

关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：

（1）若函数对称轴为，则有；

（2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.

6．A

解析：A

【分析】

可看出在上单调递增，且得出，并且可得出，根据增函数的定义即可得出，，的大小关系．

【详解】

时，是增函数，且，

，

，，

，

，

．

故选：．

【点睛】

解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

7．B

解析：B

【分析】

根据函数性质判断是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号表示不超过的最大整数，由此可以得到函数的性质，又定义函数，当时，表示的小数部分，由于①③是错误的，举例可判断②，根据单调性定义可判断④.

【详解】

①函数的定义域是,但，其值域为，故错误；

②由，可得，则……都是方程的解，故正确；

③由②可得，……当……时，函数的值都为，故不是增函数，故错误；

④函数的定义域是,而，故函数不是奇函数，故错误；

综上，故正确的是②.

故选：B. 

【点睛】

本题以新定义函数的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性质得综合类问题，在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，还可以利用函数的图象进行解题．

8．C

解析：C

【分析】

根据题意可得在，上为减函数，结合奇偶性以及可得，解出的取值范围，即可得答案．

【详解】

函数是定义在上的偶函数，且函数在，上是减函数，

所以在上是增函数，

由（3），则不等式（3）（3），

解之可得，

故不等式的解集为，．

故选：．

【点睛】

将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.

9．B

解析：B

【分析】

这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案.

【详解】

对任何x∈[a，b]都有，说明p小于等于的最小值，①是正确的;

由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;

关于x的方程p=f(x）在区间[a，b]上有解，说明p应属于函数f(x）在[a，b]上的值域[m，M]内，故③是正确的;

关于x的不等式p≤f (x）在区间[a，b]上有解，说明p小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的

正确的选项应该为①③⑤

故选： B.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．

10．A

解析：A

【分析】

由函数的单调性列x的不等式求解即可.

【详解】

由，则函数在R上为增函数，

由对恒成立，

故，即解得.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，是基础题

11．D

解析：D

【解析】

 因为，

 所以函数是定义在上的偶函数，排除A、B项；

 又，排除C，

 综上，函数大致的图象应为D项，故选D.

12．A

解析：A

【分析】

分析函数的图象和性质，结合已知可得，解得答案.

【详解】

函数的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，若函数在上是减函数，

,

解得: ，

故选：A

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.

二、填空题

13．【分析】由题意函数为偶函数分和去掉绝对值然后根据单调性求出最大值再根据单调性求出的最小值【详解】解：由题意函数为偶函数①当时在上单调递增则；②当时当即时在上单调递减则；当即时在上单调递减在上单调递增

解析：

【分析】

由题意，函数为偶函数，分和去掉绝对值，然后根据单调性求出最大值，再根据单调性求出的最小值．

【详解】

解：由题意，函数为偶函数，

①当时，，在上单调递增，

则；

②当时，，

当即时，在上单调递减，则；

当即时，在上单调递减，在上单调递增，

∵，，

由得，此时；

由得，此时；

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，本题的关键在于分类讨论去掉绝对值，然后再根据单调性求出最值，属于中档题．

14．【分析】求出函数的对称轴通过讨论的范围求出函数的单调区间求出的最小值即可【详解】由题意二次函数其对称轴为当即时在区间上为增函数当即时在区间上为减函数当即时在区间上为减函数在区间上为增函数；当即时在区

解析：

【分析】

求出函数的对称轴，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出的最小值即可.

【详解】

由题意，二次函数，其对称轴为，

当，即时，在区间上为增函数，

，，

，

当，即时，在区间上为减函数，

，，

，

当，即时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，

，，；

当，即时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，

，，.

综上所述：的最小值是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，最值问题，分类讨论思想，转化思想，属于中档题．

15．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力

解析：18

【分析】

根据递推关系式依次求f(2) ，f(3).

【详解】

因为f(n+1)＝3f(n)，所以

【点睛】

本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.

16．【分析】根据题意得到函数满足即可求解【详解】由题意函数的定义域为则函数满足即解得即函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的

解析：

【分析】

根据题意，得到函数满足，即可求解.

【详解】

由题意，函数的定义域为，

则函数满足，即，解得，

即函数的定义域为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

17．②③【分析】结合单函数的定义对四个命题逐个分析可选出答案【详解】命题①：对于函数设则由与可能相等也可能互为相反数即不是单函数故①错误；命题②：假设因为函数为单函数所以与已知矛盾故即命题②正确；命题③

解析：②③

【分析】

结合单函数的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案.

【详解】

命题①：对于函数，设，则，由与可能相等，也可能互为相反数，即不是单函数，故①错误；

命题②：假设，因为函数为单函数，所以，与已知矛盾，故，即命题②正确；

命题③：若为单函数，则对于任意，，假设不只有一个原象与其对应，设为，则，根据单函数定义，可得，又因为原象中元素不重复，故函数至多有一个原象，即命题③正确；

命题④：函数在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，则可能存在不同的，使得，不符合单函数的定义，故命题④错误.

综上可知，真命题为②③.

故答案为②③．

【点睛】

关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是根据新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.

18．【分析】根据对任意实数都有成立得出在R上单调递减从而得出解出a的范围即可【详解】函数对任意的实数都有成立得在R上单调递减∴故答案为：【点睛】关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R上单调递减利用分段

解析：.

【分析】

根据对任意实数，都有成立，得出在R上单调递减，从而得出，解出a的范围即可．

【详解】

函数对任意的实数，都有成立，得在R上单调递减，

∴.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R上单调递减，利用分段函数的单调性求解.

19．16【分析】二次函数的值域为得到求得值得解【详解】因为的值域为所以则又所以故答案为：16【点睛】二次函数的值域为得到是解题关键

解析：16

【分析】

二次函数的值域为得到求得值得解

【详解】

因为的值域为，所以，

则.又，所以.

故答案为：16

【点睛】

二次函数的值域为得到是解题关键.

20．【分析】结合二次函数的图象与性质按照分类再由分段函数的单调性即可得解【详解】因为函数的图象开口朝下对称轴为且所以当时函数在上不单调符合题意；当时函数在上均单调递增若要使在定义域上不是单调函数则解得故

解析：

【分析】

结合二次函数的图象与性质，按照、分类，再由分段函数的单调性即可得解.

【详解】

因为函数的图象开口朝下，对称轴为，且，

所以当时，函数在上不单调，符合题意；

当时，函数在，上均单调递增，

若要使在定义域上不是单调函数，

则，解得，故符合题意；

综上，实数a的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

解决本题的关键是将分段函数不单调转化为两种情况，分类求解.

三、解答题

21．（1）；（2）；（3）存在，所求区间为：.

【分析】

（1）根据题意，用待定系数法，列方程组，求出解析式；

（2）恒成立问题用分离参数法转化为求函数的最值，即可求实数的取值范围；

（3）对于存在性问题，可先假设存在区间，再利用二次函数的单调性，求出m、n的值，如果出现矛盾，说明假设不成立，即不存在.

【详解】

（1）对于，

由得到：①；

∵对任意的，均成立，取x=3，得：

即②

又方程有唯一实数解，得：

③

①②③联立，解得：（其中舍去）

所以.

（2）不等式不等式可化为：不等式

∴当时，不等式恒成立，

∴

记，只需

对于在上单调递增，∴

∴，

即的取值范围为.

（3）假设存在区间符合题意。

由可得：的对称轴为，且

故有：，所以，

∴在区间上单调递增，则有：

，即解得

故所求区间为：.

【点睛】

（1）待定系数法是求解析式的最常用的方法之一；

（2）恒（能）成立问题用分离参数法转化为求函数的最值；

（3）“是否存在性”问题的解题策略：先假设存在，再经过正确的推导，若得出的结论符合题意即为存在；若得出的结论与题设条件、公理、定理、事实相矛盾，说明假设不成立，即不存在.

22．（1）答案见解析；（2）.

【分析】

（1）先设﹣1＜x1＜x2＜1，然后利用作差法比较f（x2）与f（x1）的大小即可判断函数的单调性，

（2）把a＝2代入后，然后把分式不等式转化为二次不等式组求解即可．

【详解】

（1）当时，函数在上是增函数；当时，在上是减函数.

理由如下：当时，任取，

.

因为，，∴，，

，，

所以，

当时，得，故函数在上是增函数；

同理可证，当时，，所以函数在上是减函数，得证.

（2）时，得，

∴，即，∴.

由此可得，的取值范围是.

【点睛】

过程点睛：用定义证明单调性时，第一步，任取并规定大小；第二步，将函数值作差并化简；第三步，判断每个因式符号进而得到函数值大小；第四步，下结论.

23．（1）；（2）.

【分析】

（1）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得，计算即可.

（2）分类讨论，，，分别计算即可.

【详解】

（1）由题可知，函数开口向上，

对称轴的方程为，若使得函数在上单调递增，

则满足，解得，即实数m的取值范围.

（2）①当即时，

函数在区间单调递增，

所以函数的最小值为；

②当，即时，

函数在区间单调递减，在区间上单调递增，

所以函数的最小值为；

③当即时，

函数在区间单调递减，

所以函数的最小值为，

综上可得，函数的最小值为.

【点睛】

结论点睛：二次函数在区间上的最值问题：（1）动轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴动区间；对本题属于动轴动区间问题需要讨论对称轴与所给区间位置关系.

24．（1）最大值为，最小值为；（2）；（3），.

【分析】

（1）利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值；

（2）分析二次函数图象的开口方向和对称轴，然后对函数在区间上为增函数或减函数两种情况分类讨论，结合题意可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围；

（3）对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，进而可求得关于的表达式，并求出在不同取值下的取值范围，由此可得出的最大值.

【详解】

（1）当时，.

所以，函数在区间上为减函数，在区间上为减函数，

当时，，

，，所以，；

（2）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.

①若函数在区间上是增函数，则，解得；

②若函数在区间上是减函数，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是；

（3）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.

①当时，即当时，函数在区间上为增函数，

则，此时；

②当时，即当时，

函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，

则，此时；

③当时，即当时，函数在区间上为减函数，

则，此时.

综上所述，，.

【点睛】

方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：

（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；

（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；

（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.

25．（1）在区间的单调递增，在区间的单调递减；（2）．

【分析】

（1）利用对勾函数的性质，直接写出结论即可；

（2）利用不等式恒成立的关系，把问题从恒成立，

转化为对于任意的，恒成立，利用参变分离的方法，等价于，然后，根据对勾函数的性质进行求解即可

【详解】

解：（1）因为函数在单调递减，在单调递增，

所以，当时函数在单调递减，在单调递增．

易知函数为奇函数，

所以函数在区间的单调递增；

在区间的单调递减．

（2）由题意，对任意的，有恒成立，

即对于任意的，恒成立，

等价于．

设，

易知，当且仅当，即时，函数取得最小值，

由题设知，函数在上单调递减，在上单调递增．

又因为，且，，而，

所以当时，．

所以，即，

故所求实数的取值范围是．

【点睛】

关键点睛：解题的关键在于，利用参变分离法，把问题转化为证明恒成立，进而利用对勾函数性质求解，属于中档题

26．（1）；单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]；（2）(－∞，1)．

【分析】

（1）由时二次函数最小值为0，求出得函数解析式，写单调区间即可；

（2）可转化为在区间[－3，－1]上恒成立，求出最小值即可.

【详解】

(1)由题意知，解得，∴.

由知函数的单调递增区间为[－1，＋∞)，

单调递减区间为(－∞，－1]．

（2）由题意知，在区间[－3，－1]上恒成立，

即在区间[－3，－1]上恒成立，

令，x∈[－3，－1]，由知

g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，

所以k<1，故k的取值范围是(－∞，1)．

【点睛】

关键点点睛：二次函数的解析式求法，大多用到待定系数法，本题需根据当时二次函数最小值为0，建立方程组求解，即可求出函数解析式.