初三圆练习题

  1. 

    分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。

    解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，

    当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，

    过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E，

    ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，

    当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，

    同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，

    ∴∠BAC=15°

    点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

  例2. 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，

    （1）求证：△ABC是直角三角形；

    分析： 

则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；

    （2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF

    解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E

    又∵AD=DC

    ∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。

    （2）解：连结AE

    ∵DE是⊙O的直径

    ∴∠DAE=90°

    而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA

  例3. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（    ）

    分析： 

    解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，

    ∵

    在△AFB中，有AF+FB>AB

    ∴选A。

    解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE

    在△CDE中，有CD+DE>CE

    ∴2CD>CE

    ∵AB=2CD，∴AB>CE

    ∴选A。

  例4. 

求CD的长。

    分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。

    解：延长AB、DC交于E点，连结BD

    ∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径

    ∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD

    ∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4

    ∵四边形ABCD内接于⊙O，

    ∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD

  例5. 

于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。

    （1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？

    分析：由题意容易想到作辅助线OC，

    （1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。

    解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切，

    下面对满足条件PC=PF进行证明，

    连结OC，则∠OCA=∠FAH，

    ∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，

    ∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°

    即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。

    即AD2=DE·DF

    点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2=DE·DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。

  例6. 

D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。

    分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。

    解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC

    ∴AB、DC切⊙O于点B和点C，

    ∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，

    又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x，

    DE=DC+EB=4x，

    在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，

    点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。

  例7. 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上，

    （1）如下图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证CO2⊥AD；

    （2）如下图，如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。

    分析：（1）要证CO2⊥AD，只需证∠CO2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD是⊙O2的直径，连结公共弦AB，则∠A=∠C，∠DBA=90°，问题就可以得证。

    （2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在⊙O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得∠1=∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故CA=CD，可得结论CO2⊥AD。

    解：（1）证明，连结AB，AD为直径，则∠ABD=90°

    ∴∠D+∠BAD=90°

    又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90°

    ∴∠CO2D=90°，∴CO2⊥AD

    （2）CO2所在直线与AD垂直，

    证明：连结O2A、O2B、O2D、AC

    在△AO2C与△DO2C中

    ∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB

    ∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD，

    ∴△CAD为等腰三角形，

    ∵CO2为顶角平分线，∴CO2⊥AD。

  例8. 如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，

积S。（图中阴影部分）

    分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。

    解： 

    分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，

    原题可在上一题基础上进一步变形：⊙A1、⊙A2、⊙A3…⊙An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3…An，求n个扇形的面积之和。

    解题思路同上。

    解： 

一、填空题（10×4=40分）

  1. 已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。

  2. 圆内接四边形ABCD中，如果∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。

  3. 若⊙O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到⊙O的切线长为___________。

  4. 如图所示CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可得出AM=MB，等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：___________。

  5. ⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4，圆心距为，那么这两圆的公切线的条数是___________。

  6. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是___________。

  7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是___________。

  8. 若PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC交⊙O于B，若BC=20，PA=，则PC的长为___________。（切割线定理）

9．如图5，△内接于⊙O，点是上任意一点（不与重合），的取值范围是                 ．

10．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为            .

 11．已知的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与的位置关系是         ．

12．如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧的三等分点， ，则的度数为          ．

13．如图，中，，．将绕所在的直线旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积    ．（取3.14，结果保留两个有效数字）

14．如图8，两个同心圆的半径分别为2和1，，则阴影部分的面积为    

15．如图，是的直径，为弦，，过点的的切线交延长线于点．若，则的半径为         cm．

16．如图，是由绕点顺时针旋转而得，且点在同一条直线上，在中，若，，，则斜边旋转到所扫过的扇形面积为         ．

三、解答题：

  1. 已知：如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D，连结DA并延长与⊙O1相交于C点，连结BC。过A点作AE∥BC与⊙O2相交于E点，与BD相交于F点。

    （1）求证：EF·BC=DE·AC；

    （2）若AD=3，AC=1，AF，求EF的长。

2. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。

    （1）如图所示，当点P在线段AB上时，求证：PA·PB=PE·PF；

    （2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）若AB，求⊙O的半径。

3、（８分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．

求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．

4、已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．

（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；

（2）若，，求的长．

5．如图，内接于，过点的直线交于点，交的延长线于点，．（1）求证：；（2）如果，的半径为1，且为的中点，求的长．