2020-2021学年厦门一中九年级上学期期末数学模拟试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D. 

2. 已知一元二次方程中．下列说法：若，则；若方程两根为和，则；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；若，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的有个．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 以下四幅图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B. 

C.  D. 

4. 已知是方程的一个根，则的值等于

A.  B.  C.  D. 

5.如图，是的外接圆，若，则的度数为

A. 

B. 

C. 

D. 

6. 两组数据：，，，和，，，，则关于以下统计量说法不正确的是

A. 平均数相等 B. 中位数相等 C. 众数相等 D. 方差相等

7. 将抛物线向左平移个单位后，得到的抛物线的解析式是

A.  B.  C.  D. 

8. 已知一次函数，二次函数，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值为和，则下列关系正确的是

A.  B.  C.  D. 

9. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，点为上的动点，若，则等于

A.  B.  C.  D. 

10. 若二次函数上有两点，在这条抛物线上，且，则

A.  B.  C.  D. 无法比较

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 多项式的最高次项是______ ．

12. 若关于、的方程组的解中，、互为相反数，则______．

13. 一次函数的函数值为，则______．

14.如图，扇形的半径厘米，，分别以，的中点，为圆心，，为直径做半圆，图中阴影部分面积是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）

17. 已知：是不等式的最小整数解，请用配方法解关于的方程．

18. 如图，在的方格纸中，的四个顶点都在格点上．

在图中，画出线段，使平分，其中是格点；

在图中，画出线段，使，其中是格点．

19. 在平面直角坐标系中，将一点横坐标与纵坐标不相等的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如与是一对“互换点”．

任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

、是一对“互换点”，若点的坐标为，求直线的表达式用含、的代数式表示；

在抛物线的图象上有一对“互换点”、，其中点在反比例函数的图象上，直线经过点，求此抛物线的表达式．

20. 请看示意图：，，为中点，为边上一动点．将沿折叠至，点的对称点为点．

如图，当点与点重合时，求长；

求线段长度的最小值．画出图形，直接写出结果

21. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．

求与的函数关系式及值的取值范围；

要围成面积为的花圃，的长是多少米？

、当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？

22.已知：如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：．

频数分布表

根据以上图表提供的信息，解答下列问题：

写出表中、的数值：           ，            ；

补全频数分布表和频数分布直方图；

如果评比成绩在分以上的可以获得一等奖，试估计该校参加此次活动获得一等奖的人数．

24. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交于点，连接．

求证：；

若，求的长．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．

求该抛物线的表达式及点的坐标；

如果点的坐标为，联结、，求的正切值；

在的条件下，点为抛物线上一点，当时，直接写出点的坐标．

参及解析

1.答案：

解析：解：，故此选项不合题意；

B.，故此选项符合题意；

C.与不是同类二次根式无法合并，故此选项不合题意；

D.，故此选项不合题意；

故选：．

直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的性质、二次根式的乘除运算法则分别化简得出答案．

此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的性质、二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．

2.答案：

解析：解：若，方程有一根为，又，则，正确；

由两根关系可知，，整理得：，正确；

若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确；

由，，所以正确．

故选：．

，即系数和为，说明原方程有一根是，，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，；

已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；

判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了；

把代入得到，根据判别式的意义可得到方程有两个不相等的实根．

本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，也考查了一元二次方程根的判别式．

3.答案：

解析：解：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．

故选：．

中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．

本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．

4.答案：

解析：

把代入方程求出，把化成代入求出即可．

本题考查了代数式求值，一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．

解：根据题意，将代入方程，得：，

则，

，

故选：．  

5.答案：

解析：解：是的外接圆，，

．

故选：．

由是的外接圆，若，根据圆周角定理，即可求得答案．

此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

6.答案：

解析：解：，，

平均数相等，不合题意；

两组数据：，，，和，，，的中位数都是，众数是，

则中位数相等，众数相等，、不合题意；

方差不相等，符合题意，

故选：．

根据平均数的计算公式、众数和中位数的概念以及方差的计算公式计算，判断即可．

本题考查的是平均数、众数、中位数和方差，掌握它们的概念以及计算公式是解题的关键．

7.答案：

解析：解：抛物线的顶点坐标为，把点先向左平移个单位所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线的表达式为．

故选：．

先利用顶点式得到顶点坐标为，再利用点平移的坐标规律得到点平移后的对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的表达式．

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

8.答案：

解析：解：由，消去得到：，

，

直线与抛物线只有一个交点，如图所示，

观察图象可知：，

故选：．

首先判断数，二次函数，只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．

本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是判断出直线与抛物线只有一个交点，学会利用图象法解决问题．

9.答案：

解析：解：在优弧上任取一点不与、重合，连接，，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

四边形是圆内接四边形，

，

，

故选：．

在优弧上任取一点不与、重合，连接，，根据切线的性质求出，则，根据圆周角定理得到，最后根据圆内接四边形的性质即可得解．

此题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

10.答案：

解析：解：二次函数，

当时，随的增大增大，当时，随的增大而减小，

二次函数上有两点，在这条抛物线上，且，

，

故选C．

根据二次函数的解析式和二次函数的性质可以判断与的大小关系，从而可以解答本题．

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

11.答案：

解析：解：的次数为，的次数为，的次数为．

故其中最高次项是．

故答案为：．

此类问题可以一项一项的计算其次数，然后比较可得出最高次项，注意符号问题．

本题考查的是多项式中最高项的判断问题，此类问题需要注意的是最高次项需要带上前面的符号．

12.答案：

解析：解：关于、的方程组的解中，、互为相反数，

把代入方程得：，

解得：，

即，

代入方程得：，

解得：，

故答案为：．

根据相反数得出，代入方程组中的第一个方程，能求出、的值，再代入第二个方程，即可求出．

本题考查了解二元一次方程组的解和解一元一次方程、相反数等知识点，能求出、的值是解此题的关键．

13.答案：

解析：解：，

当时，，

故答案为：．

将代入题目中的函数解析式，即可求得的值，本题得以解决．

本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

14.答案：平方厘米

解析：解：

如图，连接交半圆于点，连接，

则阴影部分的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，

即

平方厘米．

故答案为平方厘米．

根据割补法连接交半圆于点，连接，则阴影部分的面积等于扇形的面积减去三角形的面积即可求解．

本题考查了扇形的面积计算、解决本题的关键是利用割补法求面积．

15.答案：   ；   ；

解析：解：大正方形的面积，大正方形的面积，则，

．

．

故答案为：；；．

先求得大正方形的边长，然后依据面积公式可求得大正方形的面积，然后依据大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积可得到大正方形的面积，然后依据大正方形的面积列出等式，然后可得到、、之间的关系．

本题主要考查的是勾股定理的证明，利用不同的方法表示出大正方形的面积是解题的关键．

16.答案：

解析：解：根据题意，得

，

解得，，

函数的解析式是函数；

当时，，

解得，；

故答案是：．

将点与分别代入函数解析式，即利用待定系数法求得函数；然后根据列出关于的不等式，解不等式即可．

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的性质．要注意利用一次函数的性质，列出方程组，求出、值，从而求得其解析式．

17.答案：解：解不等式，得，

最小整数解为，

将代入方程，得，

配方，得．

直接开平方，得．

解得，．

解析：解不等式，得，所以最小整数解为，于是将代入方程利用配方法解方程即可．

本题主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整数解．配方法的一般步骤：

把常数项移到等号的右边；

把二次项的系数化为；

等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．

18.答案：解：

如图，线段即为所求：

如图，线段即为所求．

解析：本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握平行四边形和等腰三角形的判定与性质．

根据平行四边形的性质和角平分线定义，当点在上时，只需满足，得出，进而确定点即可；

由平行四边形的性质，只需即可，如图，，，，根据勾股定理逆定理可知，在图中找出点即可．

19.答案：解：不一定，

设这一对“互换点”的坐标为和．

当时，它们不可能在反比例函数的图象上，

当时，由可得，即和都在反比例函数的图象上；

由得，设直线的表达式为．

则有解得，

直线的表达式为；

设点，则，

直线经过点，由得，

，

，

解并检验得：或，

或，

这一对“互换点”是和，

将这一对“互换点”代入得，

解得，

此抛物线的表达式为．

解析：设这一对“互换点”的坐标为和当时，它们不可能在反比例函数的图象上，当时，由可得，于是得到结论；

把，代入，即可得到结论；

设点，则，由直线经过点，得到，得到或，将这一对“互换点”代入得，于是得到结论．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．

20.答案：解：如图中，过点作于．

，，

，

，

由翻折的性质可知，，设，

在中，则有，

，

．

如图中，过点作于，过点作于．

，，

，

，

，

，

，

在中，，

，

，，

，

的最小值为．

解析：如图中，过点作于利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理，构建方程求解即可．

如图中，过点作于，过点作于解直角三角形求出，，即可解决问题．

本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

21.答案：解：根据题意，得，

即所求的函数解析式为：，

又，

，

根据题意，设长为，则长为，

．

整理，得，

解得或，

当时，不成立，

当时，成立，

长为；

墙的最大可用长度为，，

，

对称轴，开口向下，

当，有最大面积的花圃．

即：，

最大面积为：

解析：根据为，就为，利用长方体的面积公式，可求出关系式．

将代入中关系式，可求出即的长．

当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．此故可求．

主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．

22.答案：证明：，

，

，

，

在和中

，

≌，

，

．

解析：直接利用全等三角形的判定方法得出≌，进而得出答案．

此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

23.答案：抽查的学生总数为：人，

；    

频数分布表  

答：该校参加此次活动获得一等奖的人数是人．

解析：试题分析：首先求得抽取的样本总数，然后用样本容量减去其他小组的人数即可求得值，用除以样本容量即可求得值；

根据上题求得的数据不全统计图即可；

用总人数乘以获得一等奖的百分率即可求得获得一等奖的人数．

抽查的学生总数为：人，

； 

频数分布表

答：该校参加此次活动获得一等奖的人数是人．

24.答案：证明：，

，

，

，

，

；

解：过点作于点，

是的切线，

．

，

．

四边形是矩形．

．

在中，，

，

．

解析：根据等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，根据平行线的判定定理证明结论；

过点作于点，根据切线的性质得到，证明四边形是矩形．得到，根据等腰直角三角形的性质计算即可．

本题考查的是切线的性质、平行线的判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

25.答案：解：将和代入得：

，

解得，

抛物线，

当时，，

，

过作交延长线于，

，，

，

，，

，

，

，

，

当在轴右侧时，如图：

设，

，，

，

，

，

解得，舍，

，

当在轴右侧时，如图：

设，

，，

同理可得：，

解得，舍，

，

综上所述：或．

解析：将和代入即可求解；

过作交延长线于，求出、的长即可解决；

根据，则，分在轴右侧和左侧两种情况分别计算．

本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、锐角三角函数值、以及角的存在性等知识，由两个角相等，则这两个角的正切值也相等进行转化，是解决问题的关键．