2014-2015学年广东省中山市高一(下)期末数学模拟试卷 Word版含解析

一、选择题：（本大题10小题，每小题5分，满分50分）

1．sin（﹣225°）的值是（　　）

　    A．     B．     C．     D． 

2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（　　）

　    A． 2    B． 3    C． 5    D． 13

3．方程x2+y2+2x﹣4y﹣6=0表示的圆形是（　　）

　    A． 以（1，﹣2）为圆心，为半径的圆

　    B． 以（1，2）为圆心，为半径的圆

　    C． 以（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆

　    D． 以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆

4．下列各式中，值为的是（　　）

　    A． 2sin15°cos15°    B． cos215°﹣sin215°

　    C． 2sin215°﹣1    D． sin215°+cos215°

5．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象的两相邻对称轴之间的距离为，要得到y=f（x）的图象，只须把y=sinωx的图象（　　）

　    A． 向右平移个单位    B． 向右平移个单位

　    C． 向左平移个单位    D． 向左平移个单位

6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x万元）        2        3        4        5

销售额y（万元）        26        39        49        54

根据上表可得回归方程中的b为9.4，据此模型推测广告费用为7万元时销售额为（　　）

　    A． 74.2万元    B． 74.9万元    C． 75.3万元    D． 76.1万元

7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）

　    A． 2，﹣    B． 2，﹣    C． 4，﹣    D． 4，

8．在区间[﹣1，1]上任取两个数x、y，则满足的概率是（　　）

　    A．     B．     C．     D． 

9．在△ABC中，点D在BC边上，且=3，=r+s，则的值是（　　）

　    A． 1    B．     C．     D． 3

10．已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（　　）

　    A．     B．     C．     D． 0

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

11．已知=（4，2），=（x，﹣3），且∥，则x的值为　　　　　　．

12．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为　　　　　　．

13．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，则摸出的两只球颜色不同的概率是　　　　　　．

14．下列说法正确的是　　　　　　

①若事件A、B互为对立事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）=1；

②函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）的最小正周期为π；

③频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数；

④把二进制数10101（2）化为十进制数为20；

⑤P是△ABC所在平面内一点，若•=•=•，则P是△ABC的垂心．

三、解答题：（本大题6小题，满分80分）

15．已知cosα=﹣，α为第三象限角．

（1）求sinα，tanα的值； 

（2）求sin（α+），tan2α的值．

16．已知向量=3﹣2，=4+，其中=（1，0），=（0，1），求：

（1）求•的值；  

（2）求与夹角θ的余弦值．  

（3）求在方向上的投影．

17．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．

（1）求x和y的值；

（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．

参考公式：方差，其中．

18．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1．

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；

（2）画出函数y=f（x）在区间[0，π]内的图象；

（3）说明f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的，并求f（x）在x∈[，]的值域．

19．一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：

    轿车A    轿车B    轿车C

舒适型    100    150    z

标准型    300    450    600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（1）求z的值；

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

20．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

2014-2015学年广东省中山市高一（下）期末数学模拟试卷

参与试题解析

一、选择题：（本大题10小题，每小题5分，满分50分）

1．sin（﹣225°）的值是（　　）

　    A．     B．     C．     D． 

考点：    运用诱导公式化简求值．

专题：    计算题．

分析：    先根据正弦函数为奇函数化简原式，把225°变为180°+45°，利用诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．

解答：    解：sin（﹣225°）

=﹣sin225°

=﹣sin（180°+45°）

=﹣（﹣sin45°）

=sin45°

=．

故选A

点评：    此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．同时注意角度的灵活变换．

2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（　　）

　    A． 2    B． 3    C． 5    D． 13

考点：    分层抽样方法．

分析：    先计算大型商店、中型商店、小型商店的层次比，再计算中型商店需抽取的数量即可．

解答：    解：各层次之比为：30：75：195=2：5：13，所抽取的中型商店数是，

故选C

点评：    本题考查分层抽样，属基本题．

3．方程x2+y2+2x﹣4y﹣6=0表示的圆形是（　　）

　    A． 以（1，﹣2）为圆心，为半径的圆

　    B． 以（1，2）为圆心，为半径的圆

　    C． 以（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆

　    D． 以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆

考点：    圆的一般方程．

专题：    直线与圆．

分析：    利用一般式方程化为标准形式，然后得到结果．

解答：    解：方程x2+y2+2x﹣4y﹣6=0化为：（x+1）2+（y﹣2）2=11，表示以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆．

故选：D．

点评：    本题考查圆的一般式方程与标准方程的互化，基本知识的考查．

4．下列各式中，值为的是（　　）

　    A． 2sin15°cos15°    B． cos215°﹣sin215°

　    C． 2sin215°﹣1    D． sin215°+cos215°

考点：    三角函数中的恒等变换应用．

分析：    这是选择题特殊的考法，要我们代入四个选项进行检验，把结果是要求数值的选出来，在计算时，有三个要用二倍角公式，只有最后一个应用同角的三角函数关系．

解答：    解：∵

故选B

点评：    能将 要求的值化为一个角的一个三角函数式，培养学生逆向思维的意识和习惯；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力．

5．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象的两相邻对称轴之间的距离为，要得到y=f（x）的图象，只须把y=sinωx的图象（　　）

　    A． 向右平移个单位    B． 向右平移个单位

　    C． 向左平移个单位    D． 向左平移个单位

考点：    由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：    计算题；三角函数的图像与性质．

分析：    由=可求得ω，利用三角函数的图象变化即可求得答案．

解答：    解：∵=，

∴T==π，

∴ω=2，

∴y=sin2xy=sin2（x+）=sin（2x+）．

∴要得到y=f（x）=sin（2x+）的图象，只须把y=sin2x的图象向左平移个单位．

故选D．

点评：    本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω是关键，属于中档题．

6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x万元）        2        3        4        5

销售额y（万元）        26        39        49        54

根据上表可得回归方程中的b为9.4，据此模型推测广告费用为7万元时销售额为（　　）

　    A． 74.2万元    B． 74.9万元    C． 75.3万元    D． 76.1万元

考点：    回归分析的初步应用．

专题：    图表型．

分析：    首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为7代入，预报出结果．

解答：    解：∵==3.5，==42，

∵数据的样本中心点在线性回归直线上，

回归方程中的b为9.4，

∴42=9.4×3.5+a，

∴a=9.1，

∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，

∴广告费用为7万元时销售额为9.4×7+9.1=74.9，

故选B

点评：    本题考查求回归方程，考查利用回归方程进行预测，解题的关键是根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数．

7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）

　    A． 2，﹣    B． 2，﹣    C． 4，﹣    D． 4，

考点：    由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．

专题：    计算题；三角函数的图像与性质．

分析：    通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（ ，2）确定φ，推出选项．

解答：    解：由图象可知：T==，∴T=π，

∴ω==2；

∵（，2）在图象上，

所以 2×+φ=2k，φ=2kπ，（k∈Z）．

∵﹣＜φ＜，

∴k=0，

∴φ=．

故选：A．

点评：    本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．

8．在区间[﹣1，1]上任取两个数x、y，则满足的概率是（　　）

　    A．     B．     C．     D． 

考点：    等可能事件的概率．

专题：    计算题．

分析：    在区间[﹣1，1]上任取两个数x、y，构成一个正方形区域，满足的x、y构成以原点为圆心，以 为半径的圆面，用圆的面积除以正方形的面积即为所求．

解答：    解：在区间[﹣1，1]上任取两个数x、y，构成一个以原点为中心且4条边分别与坐标轴平行的正方形构成的区域，

满足的x、y构成以原点为圆心，以 为半径的圆面．

故所求事件的概率等于 =，

故选A．

点评：    本题考查等可能事件的概率，几何概型，判断满足的x、y构成以原点为圆心，以 为半径的圆面，是解题的关键．

9．在△ABC中，点D在BC边上，且=3，=r+s，则的值是（　　）

　    A． 1    B．     C．     D． 3

考点：    平面向量的基本定理及其意义．

专题：    平面向量及应用．

分析：    根据向量的基本定理结合三角形的向量法则进行化简求出r，s即可．

解答：    解：∵=3，

∴=+=+=+（﹣），

即=﹣（﹣）=+，

∵=r+s，

∴r=，s=，

则==3，

故选：D．

点评：    本题主要考查向量基本定理的应用，利用向量三角形法则进行分解是解决本题的关键．

10．已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（　　）

　    A．     B．     C．     D． 0

考点：    向量在几何中的应用；直线和圆的方程的应用．

专题：    计算题．

分析：    直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得 •的值．

解答：    解：取AB的中点C，连接OC，，则AC=，OA=1

∴sin =sin∠AOC==

所以：∠AOB=120° 

则 •=1×1×cos120°=．

故选A．

点评：    本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及向量的数量积公式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

11．已知=（4，2），=（x，﹣3），且∥，则x的值为　﹣6　．

考点：    平行向量与共线向量．

专题：    平面向量及应用．

分析：    根据向量平行的坐标运算即可求出．

解答：    解：∵=（4，2），=（x，﹣3），∥，

∴4×（﹣3）=2x，

解得x=﹣6．

点评：    本题主要考查向量的坐标运算、向量的共线定理，属基础题．

12．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为　3　．

考点：    循环结构．

专题：    操作型．

分析：    按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出．

解答：    解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，此时不满足退出循环的条件，

经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，此时不满足退出循环的条件，

经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，此时不满足退出循环的条件，

经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3

故答案为：3

点评：    本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次的循环结果找规律．

13．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，则摸出的两只球颜色不同的概率是　　．

考点：    等可能事件的概率．

专题：    计算题．

分析：    根据题意，首先由组合数公式计算从5只球中一次摸出两只球的情况数目，再由分步计数原理计算摸出的两只球颜色不同即一黑一白的情况数目，由等可能事件的概率公式计算可得答案．

解答：    解：从5只球中一次摸出两只球，有C52=10种取法，

摸出的两只球颜色不同即一黑一白的情况有3×2=6种，

故其概率为=；

故答案为．

点评：    本题考查等可能事件的概率计算，是简单题；解题注意正确计算即可．

14．下列说法正确的是　①②⑤　

①若事件A、B互为对立事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）=1；

②函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）的最小正周期为π；

③频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数；

④把二进制数10101（2）化为十进制数为20；

⑤P是△ABC所在平面内一点，若•=•=•，则P是△ABC的垂心．

考点：    命题的真假判断与应用．

专题：    简易逻辑．

分析：    根据对立和互斥事件判断①，利用三角函数的化简和周期的求法判断②，利用频率分布直方图的知识判断③，根据二进制的转化判断④，根据向量的运算判断⑤．

解答：    解：对于①，事件A、B互为对立事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）=1；故正确，

对于②，函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）=sin2x+1﹣cos2x=sin（2x﹣）+1，T==π，最小正周期为π，故正确；

对于③，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，而不是频数，故不正确，

对于④，把二进制数10101（2）化为十进制数，10101（2）=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24=21，故C不正确，

对于⑤，=•，∴（﹣）=•=0，∴PB⊥CA；同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，∴P是△ABC的垂心．故正确，

故答案为：①②⑤

点评：    本题考查了命题的判断和证明，解题时应对每一个选项进行分析，以便作出正确的选择．

三、解答题：（本大题6小题，满分80分）

15．已知cosα=﹣，α为第三象限角．

（1）求sinα，tanα的值； 

（2）求sin（α+），tan2α的值．

考点：    二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．

专题：    三角函数的求值．

分析：    （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，从而求得tanα的值．

（2）由（1）利用两角和的正弦公式求得sin（α+）的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．

解答：    解：（1）∵，α为第三象限角，

∴，

∴．

（2）由（1）得，．

点评：    本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于中档题．

16．已知向量=3﹣2，=4+，其中=（1，0），=（0，1），求：

（1）求•的值；  

（2）求与夹角θ的余弦值．  

（3）求在方向上的投影．

考点：    平面向量数量积的运算．

专题：    平面向量及应用．

分析：    （1）利用数量积的坐标运算即可得出；

（2）利用向量夹角公式即可得出；

（3）利用向量的投影计算公式即可得出．

解答：    解：（1）∵=（1，0），=（0，1），向量=3﹣2，=4+，

∴=（3，﹣2），=（4，1），

∴=3×4﹣2×1=10．

（2）=，．

∴cosθ===．

（3）在方向上的投影===．

点评：    本题考查了数量积的坐标运算、向量夹角公式、向量的投影计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

17．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．

（1）求x和y的值；

（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．

参考公式：方差，其中．

考点：    茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．

专题：    概率与统计．

分析：    （1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．

（2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．

（3）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案．

解答：    解：（1）由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，

又甲班学生的平均分是85，

总分又等于85×7=595．所以x=5

乙班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3．

（2）∵某甲班7位学生成绩分别为78，79，80，85，85，92，96．

甲班7位学生成绩的平均数是 =85，

∴7位学生成绩的方差是 （49+36+25+0+0+49+121）=40，

（3）甲班至少有一名学生为事件A，

其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；

根茎叶图可得，甲有2次高于90分，乙有3次高于90分，

从甲、乙两个班级成绩中各随机抽取2次成绩，有5×4种情况，而没有一次是甲班的有3×2次；

则 P（A）=1﹣=．

点评：    本题考查数据的平均数公式、极差、方差与标准差与茎叶图，考查计算能力，基础题．

18．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1．

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；

（2）画出函数y=f（x）在区间[0，π]内的图象；

（3）说明f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的，并求f（x）在x∈[，]的值域．

考点：    函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

专题：    三角函数的图像与性质．

分析：    （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由周期公式可得T，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调增区间．

（Ⅱ）利用五点法进行列表作图．

（Ⅲ）根据三角函数图象之间的关系以及三角函数的性质进行求解．

解答：    解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1=2sinxcosx﹣2cos2x+1=sin（2x﹣），

∴由周期公式可得：T=，

∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，

∴函数f（x）的单调增区间是：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

（2）列表，图象如图示 （列表及画图9分）

x    0    ﹣                π

2x﹣    ﹣    0    ﹣    π        

f（x）    ﹣1    0        0    ﹣    ﹣1

（3）把y=sinx图象上所有点向右平移个单位得到y=sin（x﹣）的图象；再把y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到y=sin（2x﹣）的图象；最后把y=sin（2x﹣）的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）即得y=sin（2x﹣）的图象…（11分）

∵x∈[，]，

∴2x﹣∈[，]，

∴≤sin（2x﹣）≤1，

即≤sin（2x﹣）≤，

即f（x）的值域为[，]…（14分）

点评：    本题主要考查利用五点法进行作图，以及三角函数的性质，综合考查三角函数的性质．

19．一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：

    轿车A    轿车B    轿车C

舒适型    100    150    z

标准型    300    450    600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（1）求z的值；

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

考点：    古典概型及其概率计算公式．

专题：    概率与统计．

分析：    （1）利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，列出方程求出n，再利用频数等于频率乘以样本容量求出n的值，据总的轿车数量求出z的值．

（2）先利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，求出抽取一个容量为5的样本舒适型轿车的辆数，利用列举的方法求出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．

（3）利用平均数公式求出数据的平均数，通过列举得到该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数据，利用古典概型的概率公式求出概率．

解答：    解：（1）设该厂这个月共生产轿车n辆，

由题意得=，∴n=2000，…（2分）

∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．…（3分）

（2）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，

由题意，得a=2．

因此抽取的容量为5的样本中，

有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．…（4分）

用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准轿车，

用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，

则基本事件空间包含的基本事件有：

（A1，A2），（A1B1），（A1B2），（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），

（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10个，…（6分）

事件E包含的基本事件有：（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），

（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个，…（8分）

故P（E）=，即所求概率为．…（9分）

（3）样本平均数=×（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．…（10分）

设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，

则基本事件空间中有8个基本事件，…（11分）

事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，…（13分）

∴P（D）==，即所求概率为．…（14分）

点评：    本题考查古典概型，考查用列举法来得到事件数，考查分层抽样，是一个概率与统计的综合题目，这种题目看起来比较麻烦，但是解题的原理并不复杂．

20．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

考点：    直线和圆的方程的应用．

专题：    直线与圆．

分析：    （Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；

（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；

（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．

解答：    解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．

由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，

即|4m﹣29|=25．

因为m为整数，故m=1．

故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．

（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得

（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．

由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，

故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，

即12a2﹣5a＞0，解得 a＜0，或．

所以实数a的取值范围是．

（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，

由（2）得a≠0，则直线l的斜率为，

l的方程为，

即x+ay+2﹣4a=0．

由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．

所以1+0+2﹣4a=0，解得．

由于，

故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．

点评：    本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．