...2013学年高中数学 第三章 函数的应用 单元测试1 新人教A版必修1

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1；④函数f(x)＝2x－1的零点是0.其中正确的个数为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

[答案]　C

[解析]当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对．

2．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值(　　)

A．大于0　　　　　　　    B．小于0

C．等于0      D．无法判断

[答案]　D

[解析]　如图(1)和(2)都满足题设条件．

3．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是(　　)

A．－1      B．0

C．－1和0      D．1和0

[答案]　C

[解析]　由条件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1.

4．方程lgx＋x－2＝0一定有解的区间是(　　)

A．(0,1)      B．(1,2)

C．(2,3)      D．(3,4)

[答案]　B

[解析]　∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝lg2＞0

∴f(x)在(1,2)内必有零点．

5．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额，

①如果不超过200元，则不予优惠．

②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．

③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．

某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是(　　)

A．413.7元      B．513.6元

C．546.6元      D．548.7元

[答案]　C

[解析]　两次购物标价款：168＋＝168＋470＝638(元)，

实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．

6．设函数f(x)＝，则方程f(x)＝的解为(　　)

A.      B．3

C．3或      D．无解

[答案]　B

[解析]　当x≤1时 2－x＝∴x＝(舍)

当x>1时log81x＝∴x＝3，故选B.

7．(08·山东文)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a、b满足的关系是(　　)

A．0B．0C．0D．0[答案]　A

[解析]　令g(x)＝2x＋b－1，则函数g(x)为增函数，又由图象可知，函数f(x)为增函数，

∴a>1，又当x＝0时，－1∴－18．一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人先前进3步再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向以一步的距离为一个单位长度．令P(n)表示第n s时机器人所在位置的坐标，且记P(0)＝0，则下列结论中错误的是(　　)

A．P(3)＝3      B．P(5)＝1

C．P(2 003)>P(2 005)      D．P(2 007)>P(2 008)

[答案]　D

[解析]　机器人程序为前进3步、后退2步，则P(3)＝3，P(5)＝1均正确，即5步等于前进了一个单位长度，

∴P(2 003)＝P(2 000)＋P(3)＝403，

P(2 005)＝P(2 000)＋P(5)＝401，

∴P(2 003)>P(2 005)正确．

又P(2 007)＝P(2 005)＋P(2)＝403，

P(2 008)＝P(2 005)＋P(3)＝404，

∴P(2 007)>P(2 008)错误．

9．已知函数f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为(　　)

A．y＝2      B．y＝4－

C．y＝log3(x＋1)      D．y＝x (x≥0)

[答案]　B

[解析]　由于过(1,2)点，排除C、D；由图象与直线y＝4无限接近，但到达不了，即y＜4知排除A，∴选B.

10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表.

A．(－10，－1)∪(1＋∞)

B．(－∞，－1)∪(3＋∞)

C．(－1,3)

D．(0，＋∞)

[答案]　C

[解析]　由表可知f(x)的两个零点为－1和3，当－1＜x＜3时f(x)取正值∴使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是(－1,3)．

11．方程4x－3×2x＋2＝0的根的个数是(　　)

A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3

[答案]　C

[解析]　由4x－3×2x＋2＝0，得(2x)2－3×2x＋2＝0，解得2x＝2，或2x＝1，∴x＝0，或x＝1.

12．若方程mx－x－m＝0(m＞0，且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是(　　)

A．m＞1      B．0＜m＜1

C．m＞0      D．m＞2

[答案]　A

[解析]　方程mx－x－m＝0有两个不同实数根，等价于函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点．显然当m＞1时，如图(1)有两个不同交点当0＜m＜1时，如图(2)有且仅有一个交点．故选A.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．

①有三个实根；

②x＞1时恰有一实根；

③当0＜x＜1时恰有一实根；

④当－1＜x＜0时恰有一实根；

⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．

[答案]　①⑤

[解析]　f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，)和(，1)内，故只有①⑤正确．

14．某工程由A、B、C、D四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、x、4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A、B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C需要的天数x最大为________．

[答案]　3

[解析]　如图，A(2天)→C(x)天B(5天)D(4天)

设工程所用总天数为f(x)，则由题意得：

当x≤3时，f(x)＝5＋4＝9，

当x>3时，f(x)＝2＋x＋4＝6＋x，

∴f(x)＝，

∵工程所用总天数f(x)＝9，

∴x≤3，∴x最大值为3.

15．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为______．

[答案]　(－，)

[解析]　由条件知∴

由得，或.

16．已知函数f(x)＝，则方程f(x)＝的解为________．

[答案]　－1或.

[解析]　由条件知或

∴x＝－1或x＝

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题满分10分)方程x2－＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．

[解析]　不存在，因为当x＜0时，－＞0

∴x2－＞0恒成立，故不存在x∈(－∞，0)，使x2－＝0.

18．(本题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

[解析]　设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有

y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)

＝0.5x＋625，x∈[250,400]．

该函数在[250,400]上单调递增，所以x＝400时，ymax＝825(元)．

答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．

19．(本题满分12分)若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围．

(1)方程两根都大于1；

(2)方程一根大于1，另一根小于1.

[解析]　设f(x)＝x2－2ax＋2＋a

(1)∵两根都大于1，

∴，解得2(2)∵方程一根大于1，一根小于1，

∴f(1)<0　∴a>3.

20．(本题满分12分)某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)

[解析]　设过滤n次，则·n≤

即n≤，∴n≥＝≈7.4

又∵n∈N，

∴n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．

21．(本小题满分12分)某地区2000年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表，根据此表所给的信息进行预测：

(1)如果不采取任何措施，那么到2015年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷？

(2)如果从2005年底后采取植树造林措施，每年改造0.6万公顷的沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积将减少到90万公顷？

(2)设从2011年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷．

由题意，得95＋0.2x－0.6(x－5)＝90，

解得x＝20(年)．故到2020年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷．

22．(本小题满分12分)某电器公司生产A型电脑.2007年这种电脑每台平均生产成本为5 000元，并以纯利润20%确定出厂价，从2008年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低，到2011年，尽管A型电脑出厂价仅是2007年出厂价的80%，但却实现了 50%纯利润的高效益．

(1)求2011年每台A型电脑的生产成本；

(2)以2007年生产成本为基数，求2007～2011年生产成本平均每年降低的百分率(精确到1%，注：≈2.236，≈2.449)．

[解析]　(1)设2011年每台电脑的生产成本为x元，依据题意，有

x(1＋50%)＝5000×(1＋20%)×80%，

解得x＝3 200(元)．

(2)设2007～2011年间每年平均生产成本降低的百分率为y，

则依据题意，得5000(1－y)4＝3 200，

解得y1＝1－，y2＝1＋(舍去)．

所以y＝1－≈0.11＝11%.

所以，2011年每台电脑的生产成本为3200元，2007年到2011年生产成本平均每年降低11%.