数形结合思想例题选讲

数形结合思想是“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。 

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化  

（1）集合的运算及韦恩图

（2）函数及其图象

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象

（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线

以形助数常用的有  借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法；  

以数助形常用的有  借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。  

例题选讲 

类型一：集合的运算及韦恩图

利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。当所给问题的数量关系比较复杂，且没有学容斥原理前，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。

例1．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

     B。     

解：阴影部分是M与P的公共部分（转化为集合语言就是），且在S的外部（转化为集合语言就是CIS），故选C。通过上述例子，我们知道：当应用题中牵涉到集合的交集、并集、补集时，用韦恩图比用数轴法简便。

类型二：图表信息题

此类题目都有图形（或图表）作为已知条件，须联系函数的性质分析求解，解决问题的关键是从已知图形（图表）中挖掘信息.

例2．直角梯形ABCD如图（1），动点P从B点出发，由沿边运动，设点P运动的路程为x，的面积为．如果函数的图象如图（2），则的面积为（   ）

A．10                B．16                C．18                D．32

解：由图象可知,当,说明

由及时不变,说明P点在DC上,即CD=5.

所以AD=14-9=5,过D作DG则DG=BC=4

,由此可求出AB=3+5=8.

 选B

例3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是

解：解法一:把表中的数值取整数代入下列函数中逐一计算,近似估算,最接近值的一个函数为.故选B.

解法二:把表中近似描点连线,对照可得最接近的函数为的图象.故选B.

类型三：解析几何中直线与曲线

例4．曲线y=1+ (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围           

解析  方程y=1+的曲线为半圆，

y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线    

答案  （］

类型四：方程（多指二元方程）及方程的曲线交点问题

例5．已知最小正周期为2的函数y=f(x)，当x∈[-1,1]时，f(x)=x，则函数y=f(x)（x∈R）的图象与y=|logx|的图象交点个数为（    ）

A.2              B.3              C.4         D.5

解：本题考查周期函数的图象和性质，对数函数的图象和性质及含有绝对的函数的图象的画法，本题考查数形结合思想.由图象可知，有5个交点,故选D.

类型五：二次函数类型

例6．设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围  

解法一  由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立

x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立  

考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方  

如图两种情况  

不等式的成立条件是  

(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)

(2)a∈(–3,–2，

综上所述a∈(–3,1)   

解法二  由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)

令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象   

如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，

故直线l对应的a∈(–3,1)  

类型六：函数知识解应用题 

函数知解应用题的题型比较丰富,一般为中档题,其中对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．

例7．某医药研究所开发一种新药.如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与

时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线.

据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，

治疗疾病有效.则服药一次治疗该疾病有效的时间为（    ）

A.  4小时          B.  4小时      

C.  4小时       D.   5小时

解：由已知图象可得将点(1,4)代入可得,.

∴

令可得或,

∴, 从而得服药一次治疗该疾病有效的时间为,故应选C. 

类型七：创新题

例8．如图,三台机器人和检测台（与均不能重合）位于一条直线上,三台机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测,送检程序设定：当把零件送达Ｍ处时，即刻自动出发送检，当把零件送达处时，即刻自动出发送检，设的送检的速度为，且送检速度是的２倍、的３倍．

（１）求三台机器人把各自生产的零件送达检测台处的时间总和；

（２）现要求三台机器人送检时间总和必须最短，请你设计出检测台在该直线上的位置．

解：（１）由已知得检测台的位置坐标为0，则机器人与检测台的距离分别为．又的送检的速度为，

则的送检的速度为，的送检的速度为.

故三台机器人按程序把各自的生产零件送达检测台Ｍ处的时间总和为

.

（２）设为检测台的位置坐标，则三台机器人与检测台的距离分别为． 

于是三台机器人按程序把各自的生产零件送达检测台Ｍ处的时间总和为

.

只要求的最小值．

而由分段函数图象得当时，有．

即送检时间总和最短为.

又检测台与均不能重合，故可将检测台设置在直线上机器人和

之间的任何位置（不含的位置），都能使各机器人的送检时间总和最短.