四年级奥数-第2讲-速算与巧算

　　上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。

　　两个数之和等于10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像72×78，26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。

例1 （1）76×74＝？ （2）31×39＝？

　　分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。

　　（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

　　由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单地说就是：

积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。

　　我们在三年级时学到的15×15，25×25，…，95×95的速算，实际上就是“同补”速算法。

例2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？

分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。

　　（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

　　由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单地说就是：

积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。

观察：　66×46，73×88，19×44。

　　这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便的速算方法。

例3：  88×＝？

　由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×4；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×（6＋1）。

例4：  77×91＝？

解：

　　由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×1＝07。

　　介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？

　　在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如， 因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。又如，

　　等都是“同补”型。

　　当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如，

　　等都是“补同”型。

　　在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。

例3 （1）702×708=？ （2）1708×1792＝？

解：（1）

　　（2）　

　　计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。

　　注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。

　　在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。

例4 2865×7265＝？

解：

   　一、计算下列各题：

　　（1）46 ×44=              （2）37×33=              （3）82×88=  

　 （4）82×44=               （5）33×37=               （6）46×99=

       （7）69×49=               （8）57×57=              （9）92×12=

1.十几乘十几：

口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。                          

例：12×14=？

解: 1×1=1        ２＋４＝６         ２×４＝８    12×14=168

例：19×18=？

解：1×1=1        8+9=17          8×9=72      18×19=342

注：个位相乘，不够两位数要用0占位。

2：几十一乘几十一：

口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。

例：21×41=？

解：2×4=8       2+4=6       1×1=1           21×41=861

例：61×71=？

解：6×7=42     6+7=13       1×1=1           61×71=4331

3：11乘任意数：

口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。

例：11×23=？

解： 2和5分别在首尾      2+3=5           11×23=253

例：11×3456=？

解： 3和6分别在首尾   3+4=7   4+5=9    5+6=11     11×3456=38016

注：和满十要进一。

二、口算

18×13=       17×12=        16×19=        16×17=       14×19=

31×41=        51×71=        21×61=        41×41=       81×61=

11×33=        ×11=        34×11=        11×369=      11×479=