2016-2017学年武汉市江岸区八年级下期中数学试卷(含答案解析)

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．使二次根式有意义的a的取值范围是（　　）

A．a≥0    B．a≠5    C．a≥5    D．a≤5

2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．下列计算正确的是（　　）

A．3﹣＝3    B．2+＝2    C．＝﹣2    D．＝2

4．直角三角形两边长分别为为3和5，则另一边长为（　　）

A．4    B．    C．或4    D．不确定

5．下列四组数中不是勾股数的是（　　）

A．3，4，5    B．2，3，4    C．5，12，13    D．8，15.17

6．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．∠A＝∠B，∠C＝∠D    B．AB＝AD，CB＝CD    

C．AB＝CD，AD＝BC    D．AB∥CD，AD＝BC

7．下列命题的逆命题成立的是（　　）

A．全等三角形的面积相等    

B．相等的两个实数的平方也相等    

C．等腰三角形的两个底角相等    

D．直角都相等

8．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．5cm    B．10cm    C．20cm    D．40cm

9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（　　）

A．（1，1）    B．（﹣1，﹣1）    C．（﹣1，﹣2）    D．（1，﹣2）

10．已知菱形ABCD中，∠ADC＝120°，N为DB延长线上一点，E为DA延长线上一点，且BN＝DE，连CN、EN，点O为BD的中点，过O作OM⊥AB交EN于M，若OM＝，AE＝1，则AB的长度为（　　）

A．    B．2    C．    D． +3

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．计算： ＝　   　．

12．如图，一根16厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ＝8厘米，且RP⊥PQ，则RQ＝　   　厘米．

13．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形为矩形，则四边形ABCD的对角线AC、BD之间的关系为　   　．

14．对于两个实数a、b，定义运算@如下：a@b＝，例如3@4＝．那么15@x2＝4，则x等于　   　．

15．平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝8，若平行四边形ABCD的面积为48，则对角线BD的长为　   　．

16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、BC、AC为边作正方ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R＝90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为　   　．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）计算：

（1）（4﹣3）         

（2）+6

18．（8分）已知a＝+2，b＝2﹣，求下列各式的值：

（1）a2+2ab+b2；

（2）a2﹣b2．

19．（8分）已知：如图，A、C是平行四边形DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

20．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．

21．（8分）在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，过点O的直线MN分别交AB、CD于M，N．

（1）求证：AM+DN＝AD；

（2）∠AOM＝∠OBC，AC＝2，BD＝2，求MN的长度．

22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当t＝4.8秒时，四边形PQCD是怎样的四边形？说明理由；

（2）当PQ＝17时，求t的值．

23．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．

（1）如图1，当点E落在AC上时，求∠ADE的度数（用α表示）；

（2）如图2，以AB，AE为边作平行四边形ABFE，若点F恰好落在ED的延长线上，EF交AC于点H，求的值；

（3）若∠ADE＝45°，BC＝14，BD＝6，连接CE，则CE＝　   　．

24．（12分）已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为直线BC上一点．

（1）如图1，当E在线段BC上，且DE＝AD时，求BE的长；

（2）如图2，点E为BC边延长线上一点，若BD＝BE，连接DE，M为DE的中点，连接AM、CM，求证：AM⊥CM；

（3）如图3，在（2）的条件下，P、Q为AD边上两个动点，且PQ＝，连接P、B、M、Q，则四边形PBMQ周长的最小值为　   　．

2016-2017学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．使二次根式有意义的a的取值范围是（　　）

A．a≥0    B．a≠5    C．a≥5    D．a≤5

【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列不等式求解即可．

【解答】解：由题意得，5﹣a≥0，

解得a≤5．

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．

【解答】解：A、＝2，故不是最简二次根式，故此选项错误；

B、，是最简二次根式，符合题意；

C、＝|a|，故不是最简二次根式，故此选项错误；

D、＝，故不是最简二次根式，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键．

3．下列计算正确的是（　　）

A．3﹣＝3    B．2+＝2    C．＝﹣2    D．＝2

【分析】直接利用二次根式的性质分别化简计算即可．

【解答】解：A、3﹣＝2，故此选项错误；

B、2+无法计算，故此选项错误；

C、＝2，故此选项错误；

D、＝2，正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式的hi额性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

4．直角三角形两边长分别为为3和5，则另一边长为（　　）

A．4    B．    C．或4    D．不确定

【分析】由于此题没有明确斜边，应考虑两种情况：5是直角边或5是斜边，根据勾股定理进行计算．

【解答】解：5是直角边时，则第三边＝＝，

5是斜边时，则第三边＝＝4，

故有两种情况或4．

故选：C．

【点评】此题关键是要考虑两种情况，熟练运用勾股定理．

5．下列四组数中不是勾股数的是（　　）

A．3，4，5    B．2，3，4    C．5，12，13    D．8，15.17

【分析】求是否为勾股数，这里给出三个数，利用勾股定理，只要验证两小数的平方和等于最大数的平方即可．

【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数的一组；

B、22+32≠42，不是勾股数的一组；

C、52+122＝132，是勾股数的一组；

D、82+152＝172，是勾股数的一组．

故选：B．

【点评】考查了勾股数，理解勾股数的定义，并能够熟练运用．

6．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．∠A＝∠B，∠C＝∠D    B．AB＝AD，CB＝CD    

C．AB＝CD，AD＝BC    D．AB∥CD，AD＝BC

【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．

【解答】解：

A、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A++∠B+∠C+∠D＝360°，

∴2∠B+2∠C＝360°，

∴∠B+∠C＝180°，

∴AB∥CD，但不能推出其它条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；

B、根据AB＝AD，CB＝CD不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；

C、∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；

D、由AB∥CD，AD＝BC也可以推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；

故选：C．

【点评】本题考查了对平行四边形的判定定理和等腰梯形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形，等腰梯形的定义是两腰相等的梯形．

7．下列命题的逆命题成立的是（　　）

A．全等三角形的面积相等    

B．相等的两个实数的平方也相等    

C．等腰三角形的两个底角相等    

D．直角都相等

【分析】先写出各命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定定理和直角的定义分别对各逆命题进行判断．

【解答】解：A、全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形为全等三角形，所以A选项错误；

B、相等的两个实数的平方也相等的逆命题为平方相等的两个实数相等或相反，所以B选项错误；

C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为有两个角相等的三角形为等腰三角形，所以C选项正确；

D、直角都相等的逆命题为相等的角为直角，所以D选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．

8．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．5cm    B．10cm    C．20cm    D．40cm

【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，根据三角形的中位线求出BC，即可得出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，

∵AM＝BM，

∴BC＝2MO＝2×5cm＝10cm，

即AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，

即菱形ABCD的周长为40cm，

故选：D．

【点评】本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理，能根据菱形的性质得出AO＝OC是解此题的关键．

9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（　　）

A．（1，1）    B．（﹣1，﹣1）    C．（﹣1，﹣2）    D．（1，﹣2）

【分析】根据点A、B、C、D的坐标可得出AB、BC的长度以及四边形ABCD为矩形，进而可求出矩形ABCD的周长，根据细线的缠绕方向以及细线的长度即可得出细线的另一端所在位置，此题得解．

【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），

∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，且四边形ABCD为矩形，

∴矩形ABCD的周长C矩形ABCD＝2（AB+BC）＝10．

∵2017＝201×10+7，AB+BC+CD＝7，

∴细线的另一端落在点D上，即（1，﹣2）．

故选：D．

【点评】本题考查了规律型中点的坐标、矩形的判定以及矩形的周长，根据矩形的周长结合细线的长度找出细线终点所在的位置是解题的关键．

10．已知菱形ABCD中，∠ADC＝120°，N为DB延长线上一点，E为DA延长线上一点，且BN＝DE，连CN、EN，点O为BD的中点，过O作OM⊥AB交EN于M，若OM＝，AE＝1，则AB的长度为（　　）

A．    B．2    C．    D． +3

【分析】解法1：连接CM，CO，CE，判定△EDC≌△NBC，即可得到∠DCE＝∠BCN，EC＝NC，进而得出△ECN为等边三角形，依据∠CMO＝∠CED，∠CDE＝∠COM＝120°，可得△CDE∽△COM，再根据相似三角形的性质，即可得到AD，AB的长．

解法2：延长BD至F，使得DF＝BN＝DE，连接EF，延长CD交EF于G，利用三角形中位线定理可得EF的长，依据等腰三角形的性质，即可得到EG的长，再根据∠DEG＝30°，即可得到DE的长，进而得出AD的长．

【解答】解：如图，连接CM，CO，CE，

∵菱形ABCD中，∠ADC＝120°，N为DB延长线上一点，

∴∠ADC＝∠NBC＝120°，CD＝CB，而DE＝BN，

∴△EDC≌△NBC（SAS），

∴∠DCE＝∠BCN，EC＝NC，

又∵∠DCE+∠ECB＝60°，

∴∠BCN+∠ECB＝60°，

∴∠ECN＝60°，

∴△ECN为等边三角形，

∴∠CNM＝60°，

∴∠CNM+∠COM＝180°，

∴M，N，O，C四点共圆，

∴∠CNB＝∠CMO，

又∵∠CNB＝∠CED，

∴∠CMO＝∠CED，

又∵∠CDE＝∠COM＝120°，

∴△CDE∽△COM，

∴，即，

解得DE＝1+，

又∵AE＝1，

∴AD＝＝AB，

解法2：如图，延长BD至F，使得DF＝BN＝DE，连接EF，延长CD交EF于G，则

∠EDG＝180°﹣120°＝60°，∠FDG＝∠CDB＝60°，

∴DG平分∠EDF，

∴DG⊥EF，

∵OM⊥AB，EF⊥CD，AB∥CD，

∴OM∥EF，

又∵O是BD的中点，DF＝BN，

∴O是FN的中点，

∴M是EN的中点，

∴FE＝2OM＝3+，

∴GE＝，

又∵∠DEG＝30°，

∴Rt△DEG中，DE＝＝+1，

∴AD＝DE﹣AE＝，

∴AB＝，

故选：C．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理以及菱形的性质的综合运用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．计算： ＝　　．

【分析】根据二次根式的除法法则计算可得．

【解答】解：原式＝＝＝，

故答案为：．

【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．

12．如图，一根16厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ＝8厘米，且RP⊥PQ，则RQ＝　10　厘米．

【分析】根据题意可知△PRQ为直角三角形，利用勾股定理即可解答．

【解答】解：设RQ＝x，则RP＝16﹣x，

∵RP⊥PQ

∴△PRQ为直角三角形

因为PQ＝8厘米，RQ＝x，RP＝16﹣x，

由勾股定理得PQ2+RP2＝RQ2

即82+（16﹣x）2＝x2

解得x＝10，

即RQ＝10厘米．

故答案为：10．

【点评】本题考查的是勾股定理在实际中的应用，需要同学们结合实际掌握勾股定理．

13．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形为矩形，则四边形ABCD的对角线AC、BD之间的关系为　AC⊥BD　．

【分析】这个四边形ABCD的对角线AC和BD的关系是互相垂直．理由为：根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．

【解答】证明：∵四边形EFGH是矩形，

∴∠FEH＝90°，

又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，

∴EF是三角形ABD的中位线，

∴EF∥BD，

∴∠FEH＝∠OMH＝90°，

又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，

∴EH是三角形ACD的中位线，

∴EH∥AC，

∴∠OMH＝∠COB＝90°，

即AC⊥BD．

故答案为：AC⊥BD．

【点评】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．

14．对于两个实数a、b，定义运算@如下：a@b＝，例如3@4＝．那么15@x2＝4，则x等于　±4　．

【分析】直接利用已知将原式变形进而得出答案．

【解答】解：∵15@x2＝4，

∴＝4，

则＝4，

解得：x＝±4．

故答案为：±4．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确理解题意是解题关键．

15．平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝8，若平行四边形ABCD的面积为48，则对角线BD的长为　2　．

【分析】连接AC、BD交于点O，作AH⊥BC与H．首先证明点H与点C重合，再利用勾股定理求出OB即可．

【解答】解：连接AC、BD交于点O，作AH⊥BC与H．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝8OA＝OC，OB＝OD，

∵S平行四边形ABCD＝48，

∴BC•AH＝48，

∴AH＝6，

∴BH＝＝8

∴BC＝BH，

∴点H与点C重合，

∴OC＝OA＝3，

OB＝＝，

∴BD＝2OB＝2．

【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、BC、AC为边作正方ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R＝90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为　2+7　．

【分析】首先证明△ABC≌△GFC（SAS），利用全等三角形的性质可得：∠CGF＝∠BAC＝30°，在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、进而可求出PQ的长．

【解答】解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．

在△ABC和△GFC中

，

∴△ABC≌△GFC（SAS），

∴∠CGF＝∠BAC＝30°，

∴∠HGQ＝60°，

∵∠HAC＝∠BAD＝90°，

∴∠BAC+∠DAH＝180°，

又∵AD∥QR，

∴∠RHA+∠DAH＝180°，

∴∠RHA＝∠BAC＝30°，

∴∠QHG＝60°，

∴∠Q＝∠QHG＝∠QGH＝60°，

∴△QHG是等边三角形．

AC＝BC•tan60°＝，

则QH＝HA＝HG＝AC＝，

在直角△HMA中，HM＝AH•sin60°＝×＝，AM＝HA•cos60°＝，

在直角△AMR中，MR＝AD＝AB＝2．

∴QR＝++2＝+，

∴QP＝2QR＝2+7．

故答案为：2+7．

【点评】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）计算：

（1）（4﹣3）         

（2）+6

【分析】（1）利用二次根式的除法法则运算；

（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可．

【解答】解：（1）原式＝2﹣；

（2）原式＝2+3

＝5．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

18．（8分）已知a＝+2，b＝2﹣，求下列各式的值：

（1）a2+2ab+b2；

（2）a2﹣b2．

【分析】根据a，b的值求出a+b和a﹣b的值，（1）根据完全平方公式和（2）根据平方差公式对要求的式子进行变形，然后代值计算即可得出答案．

【解答】解：∵a＝+2，b＝2﹣，

∴a+b＝4，a﹣b＝2，

（1）a2+2ab+b2＝（a+b）2＝42＝16；

（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×2＝8．

【点评】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是平方差公式和完全平方公式，根据a，b的值求出a+b和a﹣b的值是解题的关键．

19．（8分）已知：如图，A、C是平行四边形DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

【分析】连接BD，交AC于点O，欲证明证明四边形ABCD是平行四边形，只需证得AO＝CO，DO＝BO．

【解答】证明：如图，连接BD，交AC于点O．

∵四边形DEBF是平行四边形，

∴OD＝OB，OE＝OF．

又∵AE＝CF，

∴AE+OE＝CF+OF，即OA＝OC，

∴四边形ABCD是平行四边形

【点评】本题考查了平行四边的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．

20．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．

【分析】连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACD中根据勾股定理求出AC的长，由等腰三角形的性质得出AE＝BE＝AB，在Rt△CAE中根据勾股定理求出CE的长，再由S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC即可得出结论．

【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．

∵AD⊥CD，

∴∠D＝90°．

在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝12，

AC＝＝＝13．

∵BC＝13，

∴AC＝BC．

∵CE⊥AB，AB＝10，

∴AE＝BE＝AB＝×10＝5．

在Rt△CAE中，

CE＝＝＝12．

∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC＝×5×12+×10×12＝30+60＝90．

【点评】本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

21．（8分）在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，过点O的直线MN分别交AB、CD于M，N．

（1）求证：AM+DN＝AD；

（2）∠AOM＝∠OBC，AC＝2，BD＝2，求MN的长度．

【分析】（1）证明△AOM≌△CON，可得结论；

（2）证明△AOM∽△ABO，列比例式：，可得OM的长，由（1）中的全等可得：MN＝2OM，代入可得MN的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝OC，AB∥CD，AD＝CD，

∴∠MAC＝∠NCA，

∵∠AOM＝∠CON，

∴△AOM≌△CON，

∴AM＝CN，

∴DC＝DN+CN＝DN+AM，

∴AD＝AM+DN；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABO＝∠OBC，AC⊥BD

∵AC＝2，BD＝2，

∴AO＝，OB＝，

由勾股定理得：AB＝＝3，

∵∠AOM＝∠OBC，

∴∠ABO＝∠AOM，

∵∠BAO＝∠MAO，

∴△AOM∽△ABO，

∴，

∴，

∴OM＝，

∴MN＝2OM＝2．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用相似三角形的对应边成比例得到线段的长．

22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当t＝4.8秒时，四边形PQCD是怎样的四边形？说明理由；

（2）当PQ＝17时，求t的值．

【分析】（1）分别根据时间和速度得PD和CQ的长，根据平行四边形的判定可得结论；

（2）先计算t的时间：0≤t≤，分两种情况：图1和图2，根据勾股定理可计算t的值．

【解答】解：（1）四边形PQCD为平行四边形，理由是：

根据题意得：PA＝2t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝24﹣2t．

当t＝4.8时，PD＝24﹣2×4.8＝14.4，CQ＝3t＝3×4.8＝14.4，

∴PD＝CQ，

∵AD∥BC，

即PQ∥CD，

∴四边形PQCD为平行四边形；

（2）有两种情况：

①如图1，过A作AE∥PQ，交BC于E，

∵AP∥EQ，

∴四边形AEQP是平行四边形，

∴AP＝EQ＝2t，

∴BE＝26﹣5t，

Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，

82+BE2＝172，

∴BE＝15，

即26﹣5t＝15，

解得：t＝

②如图2，过B作BE∥PQ，交AD于E，

同理得AE＝15，即2t﹣（26﹣3t）＝15，t＝，

∵P运动的总时间为24÷2＝12，Q运动的总时间为：26÷3＝＞，

∴0≤t≤，

综上，当PQ＝17时，t的值为秒或秒．

【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、勾股定理及动点运动问题，本题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

23．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．

（1）如图1，当点E落在AC上时，求∠ADE的度数（用α表示）；

（2）如图2，以AB，AE为边作平行四边形ABFE，若点F恰好落在ED的延长线上，EF交AC于点H，求的值；

（3）若∠ADE＝45°，BC＝14，BD＝6，连接CE，则CE＝　6　．

【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，可求得∠BAC＝180°﹣2α，又由AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°，可求得∠DAE＝2α，继而求得∠ADE的度数；

（2）由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC＝∠ABC＝α，则可得∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，证得AD⊥BC，又由AB＝AC，根据三线合一的性质知BD＝CD，从而知DH是三角形的中位线，即DH＝HC＝AB，结合HE+DF＝EF﹣DH＝AB﹣AB＝AB可得答案；

（3）由∠ADE＝45°知∠B＝∠C＝∠ADE＝∠AED＝45°、∠BAC＝∠DAE＝90°，从而得∠BAD＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE即可得．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝α，

∴∠B＝∠C＝α，

则∠BAC＝180°﹣2α，

∵∠DAE+∠BAC＝180°，

∴∠DAE＝180°﹣∠BAC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2a，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝＝90°﹣α；

（2）∵四边形ABFE是平行四边形，

∴EF∥AB、EF＝AB，

∴∠HDC＝∠B＝∠C＝α，

∴HC＝HD，

∵∠ADE＝90°﹣α，

∴∠ADC＝∠ADE+∠HDC＝90°，即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

由DH∥AB知DH是△CAB的中位线，

∴DH＝AB，

∴HC＝AB，

则HE+DF＝EF﹣DH＝AB﹣AB＝AB，

∴HC＝HE+DF，

∴＝1；

（3）当∠ADE＝45°，即90°﹣α＝45°时，α＝45°，

∴∠B＝∠C＝∠ADE＝∠AED＝45°，

∴∠BAC＝∠DAE＝90°，即∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

∵，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴CE＝BD＝6，

故答案为：6．

【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．

24．（12分）已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为直线BC上一点．

（1）如图1，当E在线段BC上，且DE＝AD时，求BE的长；

（2）如图2，点E为BC边延长线上一点，若BD＝BE，连接DE，M为DE的中点，连接AM、CM，求证：AM⊥CM；

（3）如图3，在（2）的条件下，P、Q为AD边上两个动点，且PQ＝，连接P、B、M、Q，则四边形PBMQ周长的最小值为　＝　．

【分析】（1）先求出DE＝AD＝4，最后用勾股定理即可得出结论；

（2）先判断出∠BMD＝90°，再判断出△ADM≌△BCM得出∠AMD＝∠BMC，即可得出结论；

（3）由于BM和PQ是定值，只要BP+QM最小，利用对称确定出MG'就是BP+QM的最小值，最后利用勾股定理即可得出结论．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，

∴DE＝AD＝4，

在Rt△CDE中，CE＝＝，

∴BE＝BC﹣CE＝4﹣；

（2）如图2，连接BM，

∵点M是DE的中点，

∴DM＝EM，

∵BD＝BE，

∴BM⊥DE，

∴∠BMD＝90°，

∵点M是Rt△CDE的斜边的中点，

∴DM＝CM，

∴∠CDM＝∠DCM，

∴∠ADM＝∠BCM

在△ADM和△BCM中，，

∴△ADM≌△BCM．

∴∠AMD＝∠BMC，

∴∠AMC＝∠AMB+∠BMC＝∠AMB+∠AMD＝∠BMD＝90°，

∴AM⊥CM；

（3）如图，

过点Q作QG∥BP交BC于G，作点G关于AD的对称点G'，连接QG'，当点G'，Q，M在同一条线上时，

QM+BP最小，而PQ和BM是定值，

∴此时，四边形PBMQ周长最小，

∵QG∥PB，PQ∥BG，

∴四边形BPQG是平行四边形，

∴QG＝BP，BG＝PQ＝，

∴CG＝

如图2，在Rt△BCD中，CD＝3，BC＝4，

∴BD＝5，

∴BE＝5，

∴BG＝BE﹣BG＝，CE＝BE﹣BC＝1，

∴HM＝+＝2，HG＝CD＝，

在Rt△MHG'中，HG'＝3+＝，HM＝4，

∴MG'＝＝，

在Rt△CDE中，DE＝＝，

∴ME＝，

在Rt△BME中，BM＝＝，

∴四边形PBMQ周长最小值为BP+PQ+MQ+BM＝QG+PQ+QM+BM＝MG'+PQ+PM＝++＝，

故答案为：．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，对称性，确定出BP+QM的最小值是解本题的关键．