微专题27 双星与多星问题

【核心要点提示】

(1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．

(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；

(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F合＝m，以此列向心力方程进行求解． 

【微专题训练】

【例题1】(2018·全国Ⅰ卷，20)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)

A．质量之积    B．质量之和

C．速率之和    D．各自的自转角速度

BC　[两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示

每秒转动12圈，角速度已知，

中子星运动时，由万有引力提供向心力得

＝m1ω2r1①

＝m2ω2r2②

l＝r1＋r2③

由①②③式得＝ω2l，

所以m1＋m2＝，

质量之和可以估算．

由线速度与角速度的关系v＝ωr得

v1＝ωr1④

v2＝ωr2⑤

由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．质量之积和各自自转的角速度无法求解．]

【变式1】(2017·吉林长春调研)2016年2月12日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”。双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星的轨道半径)，则 (　　)

A．b星的周期为T

B．a星的线速度大小为

C．a、b两颗星的半径之比为

D．a、b两颗星的质量之比为

[解析]　a、b两颗星是围绕同一点运行的双星系统，故周期T相同，选项A错误；由ra－rb＝Δr，ra＋rb＝l，得ra＝，rb＝，所以＝，选项C错误；a星的线速度v＝＝，选项B正确；由maω2ra＝mbω2rb，得＝＝，选项D错误。

 【变式2】(2016·河南省郑州市高三月考)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m的小星体和一个质量为M的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r。关于该三星系统的说法中正确的是(　　)

A．在稳定运行的情况下，大星体提供两小星体做圆周运动的向心力

B．在稳定运行的情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧

C．小星体运行的周期为T＝

D．大星体运行的周期为T＝

【解析】在稳定运行的情况下，某一个环绕星而言，受到两个星的万有引力，两个万有引力的合力提供环绕星做圆周运动的向心力。故A错误；在稳定运行的情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧，故B正确；对某一个小星体：＋＝，解得：小星体的周期T＝，故C正确；大星体相对静止，故D错误。

【答案】BC

 【巩固习题】

1.“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图1所示，相距为L的A、B两恒星绕共同的圆心O做圆周运动，A、B的质量分别为m1、m2，周期均为T.若有间距也为L的双星C、D，C、D的质量分别为A、B的两倍，则(　　)

A．A、B运动的轨道半径之比为

B．A、B运动的速率之比为

C．C运动的速率为A的2倍

D．C、D运动的周期均为T

【解析】对于双星A、B，有G＝m1()2r1＝m2()2r2，r1＋r2＝L，得r1＝L，r2＝L，T＝2πL，A、B运动的轨道半径之比为＝，A错误；由v＝得，A、B运动的速率之比为＝＝，B错误；C、D运动的周期T′＝2πL＝T，D正确；C的轨道半径r1′＝L＝r1，C运动的速率为v1′＝＝v1，C错误．

【答案】D

2.(2013·山东理综)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)

A.T     B.T     C.T    D.T

【解析】双星靠彼此的引力提供向心力，则有

G＝m1r1

G＝m2r2

并且r1＋r2＝L

解得T＝2π

当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时

T′＝2π

＝·T  故选项B正确．

【答案】B

3.(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于四星系统，下列说法正确的是(　　)

A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动

B．四颗星的轨道半径均为

C．四颗星表面的重力加速度均为

D．四颗星的周期均为2πa

【解析】其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m·，T＝2πa，故D正确．

【答案】ACD

4.(2018·湖北省荆州中学高三全真模拟考试(一))2018年12月7日是我国发射“悟空”探测卫星三周年的日子，该卫星的发射为人类对暗物质的研究做出了重大贡献．假设两颗质量相等的星球绕其球心连线中心转动，理论计算的周期与实际观测的周期有出入，且＝(n>1)，科学家推测，在以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球球心连线长度为L，质量均为m，据此推测，暗物质的质量为(　　)

A．(n－1)m  B．nm  C.m  D.m

D　[双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，理论上，由相互间的万有引力提供向心力得：G＝m·解得：T理论＝πL.根据观测结果，星体的运动周期且＝(n>1)，这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O处的质点的作用相同．则有：G＋＝m·解得：T观测＝πL联立解得：m′＝m.故选D.]

2.2017年10月16日，南京紫金山天文台对外发布一项重大发现，我国南极巡天望远镜追踪探测到首例引力波事件光学信号．关于引力波，早在1916年爱因斯坦基于广义相对论预言了其存在.1974年拉塞尔豪尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星，这双星系统在互相公转时，由于不断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这现象为引力波的存在提供了首个间接证据．科学家们猜测该双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星球表面的物质，达到质量转移的目的，则关于赫尔斯—泰勒脉冲双星周期T随双星之间的距离L变化的关系图象正确的是(　　)

B　[双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，＝m12R1＝m22R2，由几何关系得：R1＋R2＝L，解得：＝·，已知此双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质，达到质量转移的目的，每个星球的质量变化，但质量之和不变，所以∝，故B正确，ACD错误．]

4－3.(2018·湖南省常德市高三模拟考试)(多选)2016年2月1日15时29分，我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五颗新一代北斗导航卫星．该卫星绕地球作圆周运动，质量为m，轨道半径约为地球半径R的4倍．重力加是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示．设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则(　　)

A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为

B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π

C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2

D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为

BD　[在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G＋G＝m，解得v＝，A项错误；由周期T＝知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T＝4π，B项正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2Gcos 30°＝mω2·，解得ω＝，C项错误；由2Gcos 30°＝ma，得a＝，D项正确．]

4.如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O点始终共线，A和B分别在O点的两侧．引力常量为G.

(1)求两星球做圆周运动的周期；

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者的平方之比．(结果保留3位小数)

【解析】分析双星问题时要抓住双星有共同的角速度这一隐含条件，以及它们做圆周运动的半径间的关系来列方程．

(1)A和B绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等，且A、B的中心和O点始终共线，说明A和B组成双星系统且有相同的角速度和周期．设A、B做圆周运动的半径分别为r、R，则有

mω2r＝Mω2R，r＋R＝L

联立解得R＝L，r＝L

对A，根据牛顿第二定律和万有引力定律得

＝m()2L

解得T＝2π.

(2)由题意，可以将地月系统看成双星系统，由(1)得

T1＝2π

若认为月球绕地心做圆周运动，则根据牛顿第二定律和万有引力定律得

＝m()2L

解得T2＝2π

所以T2与T1的平方之比为

()2＝＝＝1.012.

【答案】(1)2π　(2)1.012

5.宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对他们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．设每个星体的质量均为m.

(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；

(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

【解析】　(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律，有

F1＝G，F2＝G，F1＋F2＝m

运动星体的线速度v＝

周期为T，则有T＝，T＝4π 

(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为R′＝

由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供．由力的合成和牛顿运动定律，有

F合＝2Gcos30°　F合＝mR′

由以上四式，得r＝()R

【答案】　(1)v＝，T＝4π 　(2)r＝()R

6.(2015·安徽高考)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

(1)A星体所受合力大小FA；

(2)B星体所受合力大小FB；

(3)C星体的轨道半径RC；

(4)三星体做圆周运动的周期T。

【解析】(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为

FBA＝G＝G＝FCA，方向如图

则合力大小为FA＝2G

(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为

FAB＝G＝G

FCB＝G＝G，方向如图

由FBx＝FABcos60°＋FCB＝2G

FBy＝FABsin60°＝G

可得FB＝＝G

(或：B星体受A星体的引力FAB＝G，FCB＝G，方向如图，由三角形法则结合余弦定理，得：

FB＝＝)

(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，

RC＝ 

(或：由对称性可知OB＝OC＝RC，cos∠OBD＝＝＝)

可得RC＝a

(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝G＝m()2RC

可得T＝π 

【答案】 (1)FA＝2G　(2)FB＝G·   (3)RC＝a　(4)T＝π 

7.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示，引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.

(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；

(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．

(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v＝2.7×105 m/s，运行周期T＝4.7π×104 s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，ms＝2.0×1030 kg)

【解析】(1)设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.由牛顿运动定律，有FA＝m1ω2r1　FB＝m2ω2r2　FA＝FB

设A、B之间的距离为r，又r＝r1＋r2，由上述各式，得

r＝r1①

由万有引力定律，有FA＝G，将①代入，得

FA＝G

令FA＝G

比较可得m′＝②

(2)由牛顿第二定律，有G＝m1③

又可见星A的轨道半径r1＝④

由②③④式，解得＝⑤

(3)将m1＝6ms代入⑤式，得＝

代入数据，得＝3.5ms⑥

设m2＝nms(n＞0)，将其代入⑥式，得

＝ms＝3.5ms⑦

可见，的值随n得增大而增大，试令n＝2，得ms＝0.125ms＜3.5ms⑧

若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必大于2ms，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞．

【答案】(1)m′＝；(2)＝；  (3)暗星B有可能是黑洞．