一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）（2015•自贡）的倒数是（ ）
| A． | ﹣2 | B． | 2 | C． | D． |
2．（4分）（2015•自贡）将2.05×10﹣3用小数表示为（ ）
| A． | 0.000205 | B． | 0.0205 | C． | 0.00205 | D． | ﹣0.00205 |
3．（4分）（2015•自贡）方程=0的解是（ ）
| A． | 1或﹣1 | B． | ﹣1 | C． | 0 | D． | 1 |
4．（4分）（2015•自贡）如图是一种常用的圆顶螺杆，它的俯视图是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
5．（4分）（2015•自贡）如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡⊗发光的概率是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
6．（4分）（2015•自贡）若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y=﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（ ）
| A． | x1＜x2＜x3 | B． | x1＜x3＜x2 | C． | x2＜x1＜x3 | D． | x2＜x3＜x1 |
7．（4分）（2015•自贡）为庆祝战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为（ ）
| A． | a﹣10% | B． | a•10% | C． | a（1﹣10%） | D． | a（1+10%） |
8．（4分）（2015•自贡）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
9．（4分）（2015•自贡）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则阴影部分图形的面积为（ ）
| A． | 4π | B． | 2π | C． | π | D． |
10．（4分）（2015•自贡）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（ ）
| A． | 2﹣2 | B． | 6 | C． | 2﹣2 | D． | 4 |
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）（2015•自贡）化简：||= ．
12．（4分）（2015•自贡）若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是 ．
13．（4分）（2015•自贡）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD=，则劣弧AD的长为 ．
14．（4分）（2015•自贡）将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于 ．
15．（4分）（2015•自贡）如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP=，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）
三、解答题（每小题8分，共16分）
16．（8分）（2015•自贡）解不等式：﹣x＞1，并把解集在数轴上表示出来．
17．（8分）（2015•自贡）在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH=EH．
四、解答题（每小题8分，共16分）
18．（8分）（2015•自贡）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）
19．（8分）（2015•自贡）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点．求证：DEBC．
五、解答题（每小题10分，共20分）
20．（10分）（2015•自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
21．（10分）（2015•自贡）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如下统计图表（图1～图3），请根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度；
（2）图2、3中的a= ，b= ；
（3）在60课时的总复习中，唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？
六、解答题（本题满分12分）
22．（12分）（2015•自贡）观察下表：
| 序号 | 1 | 2 | 3 | … |
图形 | x x y x x | x x x y y x x y y x x x | x x x x y y y x x y y y x x y y y x x x x | … |
（1）第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第n格的“特征多项式”为 ；
（2）若第1格的“特征多项式”的值为﹣10，第2格的“特征多项式”的值为﹣16，求x，y的值．
七、解答题（本题满分12分）
23．（12分）（2015•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
八、解答题（本题满分14分）
24．（14分）（2015•自贡）在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．
（1）如图①，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；
（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．
2015年四川省自贡市中考数学试卷
参与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）（2015•自贡）的倒数是（ ）
| A． | ﹣2 | B． | 2 | C． | D． |
| 考点： | 倒数．菁优网版权所有 |
| 专题： | 常规题型． |
| 分析： | 根据倒数的定义求解． |
| 解答： | 解：﹣的倒数是﹣2． 故选：A． |
| 点评： | 本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记定义． |
2．（4分）（2015•自贡）将2.05×10﹣3用小数表示为（ ）
| A． | 0.000205 | B． | 0.0205 | C． | 0.00205 | D． | ﹣0.00205 |
| 考点： | 科学记数法—原数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 10﹣3就是0.001，可以把2.05的小数点向左移动3位． |
| 解答： | 解：2.05×10﹣3=0.00205， 故选C． |
| 点评： | 本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向右移几位；n＜0时，n是几，小数点就向左移几位． |
3．（4分）（2015•自贡）方程=0的解是（ ）
| A． | 1或﹣1 | B． | ﹣1 | C． | 0 | D． | 1 |
| 考点： | 解分式方程．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． |
| 解答： | 解：去分母得：x2﹣1=0，即x2=1， 解得：x=1或x=﹣1， 经检验x=﹣1是增根，分式方程的解为x=1． 故选D． |
| 点评： | 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． |
4．（4分）（2015•自贡）如图是一种常用的圆顶螺杆，它的俯视图是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 简单组合体的三视图．菁优网版权所有 |
| 分析： | 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． |
| 解答： | 解：从上面看易得俯视图为圆环． 故选B． |
| 点评： | 本题考查了三视图的知识，注意俯视图是从物体的上面看得到的视图． |
5．（4分）（2015•自贡）如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡⊗发光的概率是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 列表法与树状图法．菁优网版权所有 |
| 专题： | 图表型． |
| 分析： | 采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解． |
| 解答： | 解：列表如下： 共有6种情况，必须闭合开关S3灯泡才亮， 即能让灯泡发光的概率是=． 故选C． |
| 点评： | 本题考查了列表法与画树状图求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． |
6．（4分）（2015•自贡）若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y=﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（ ）
| A． | x1＜x2＜x3 | B． | x1＜x3＜x2 | C． | x2＜x1＜x3 | D． | x2＜x3＜x1 |
| 考点： | 反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 |
| 分析： | 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及在每一象限内函数的增减性，再根据y1＜0＜y2＜y3判断出三点所在的象限，故可得出结论． |
| 解答： | 解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣1＜0， ∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵y1＜0＜y2＜y3， ∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x2，y2）两点均在第二象限， ∴x2＜x3＜x1． 故选D． |
| 点评： | 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键． |
7．（4分）（2015•自贡）为庆祝战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为（ ）
| A． | a﹣10% | B． | a•10% | C． | a（1﹣10%） | D． | a（1+10%） |
| 考点： | 列代数式．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据题意列出代数式解答即可． |
| 解答： | 解：根据题意可得：a（1﹣10%）， 故选C． |
| 点评： | 此题考查代数式，关键是根据将原价为a元/米2的商品房价降价10%销售列出代数式． |
8．（4分）（2015•自贡）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 函数的图象．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据匀速行驶，可得路程随时间匀速增加，根据原地休息，路程不变，根据加速返回，可得路程随时间逐渐减少，可得答案． |
| 解答： | 解：由题意，得 以400米/分的速度匀速骑车5分，路程随时间匀速增加；在原地休息了6分，路程不变；以500米/分的速度骑回出发地，路程逐渐减少， 故选：C． |
| 点评： | 本意考查了函数图象，根据题意判断路程与时间的关系是解题关键，注意休息时路程不变． |
9．（4分）（2015•自贡）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则阴影部分图形的面积为（ ）
| A． | 4π | B． | 2π | C． | π | D． |
| 考点： | 扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．菁优网版权所有 |
| 专题： | 数形结合． |
| 分析： | 连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可． |
| 解答： | 解：连接OD． ∵CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=（垂径定理）， 故S△OCE=S△ODE， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积， 又∵∠CDB=30°， ∴∠COB=60°（圆周角定理）， ∴OC=2， 故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为． 故选：D． |
| 点评： | 此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，另外要熟记扇形的面积公式． |
10．（4分）（2015•自贡）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（ ）
| A． | 2﹣2 | B． | 6 | C． | 2﹣2 | D． | 4 |
| 考点： | 翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 |
| 分析： | 当∠BFE=∠DEF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=2，DE﹣B′E即为所求． |
| 解答： | 解：如图，当∠BFE=∠DEF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小， 根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F， ∴EB′⊥FD， ∴EB′=EB， ∵E是AB边的中点，AB=4， ∴AE=EB′=2， ∵AB=6， ∴DE==2， ∴DB′=2﹣2． 故选：A． |
| 点评： | 本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D的值最小，是解决问题的关键． |
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）（2015•自贡）化简：||= ．
| 考点： | 实数的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 要先判断出＜0，再根据绝对值的定义即可求解． |
| 解答： | 解：∵＜0 ∴||=2﹣． 故答案为：2﹣． |
| 点评： | 此题主要考查了绝对值的性质．要注意负数的绝对值是它的相反数． |
12．（4分）（2015•自贡）若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是 7 ．
| 考点： | 估算无理数的大小．菁优网版权所有 |
| 分析： | 先估算的范围，再估算+1，即可解答． |
| 解答： | 解：∵， ∴， ∵x＜+1＜y， ∴x=3，y=4， ∴x+y=3+4=7． 故答案为：7． |
| 点评： | 本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的范围． |
13．（4分）（2015•自贡）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD=，则劣弧AD的长为 π ．
| 考点： | 切线的性质；弧长的计算．菁优网版权所有 |
| 分析： | 如图，连接DO，首先根据切线的性质可以得到∠ODC=90°，又AC=3BC，O为AB的中点，由此可以得到∠C=30°，接着利用30°的直角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解． |
| 解答： | 解：如图，连接DO， ∵CD是⊙O切线， ∴OD⊥CD， ∴∠ODC=90°， 而AB是⊙O的一条直径，AC=3BC， ∴AB=2BC=OC=2OD， ∴∠C=30°， ∴∠AOD=120° ∴OD=CD， ∵CD=， ∴OD=BC=1， ∴的长度==， 故答案为：． |
| 点评： | 本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． |
14．（4分）（2015•自贡）将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于 1：3 ．
| 考点： | 相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于1：，相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到△AOB与△DOC的面积之比等于1：3． |
| 解答： | 解：∵∠ABC=90°，∠DCB=90° ∴AB∥CD， ∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO， ∴△AOB∽△COD 又∵AB：CD=BC：CD=tan30°=1： ∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3． 故答案为：1：3． |
| 点评： | 本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方． |
15．（4分）（2015•自贡）如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP=，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）
| 考点： | 作图—应用与设计作图．菁优网版权所有 |
| 分析： | 利用勾股定理列式求出AB=，然后作一小正方形对角线，使对角线与AB的交点满足AP：BP=2：1即可． |
| 解答： | 解：由勾股定理得，AB==， 所以，AP=时AP：BP=2：1． 点P如图所示． |
| 点评： | 本题考查了应用与设计作图，考虑利用相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键． |
三、解答题（每小题8分，共16分）
16．（8分）（2015•自贡）解不等式：﹣x＞1，并把解集在数轴上表示出来．
| 考点： | 解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有 |
| 分析： | 先去分母，再移项，合并同类项，把解集在数轴上表示出来即可． |
| 解答： | 解：去分母得，4x﹣1﹣3x＞3， 移项、合并同类项得，x＞4． 在数轴上表示为： ． |
| 点评： | 本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． |
17．（8分）（2015•自贡）在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH=EH．
| 考点： | 平行四边形的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 根据平行四边形的性质和已知条件易证△EBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质：三线合一即可证明CH=EH． |
| 解答： | 证明：∵在□ABCD中，BE∥CD， ∴∠E=∠2， ∵CE平分∠BCD， ∴∠1=∠2， ∴∠1=∠E， ∴BE=BC， 又∵BH⊥BC， ∴CH=EH（三线合一）． |
| 点评： | 本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，证题的关键是得到△EBC是等腰三角形． |
四、解答题（每小题8分，共16分）
18．（8分）（2015•自贡）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）
| 考点： | 解直角三角形的应用．菁优网版权所有 |
| 分析： | 设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出AE、EB，然后根据BE﹣AE=50就能求得河宽． |
| 解答： | 解：过C作CE⊥AB于E，设CE=x米， 在Rt△AEC中：∠CAE=45°，AE=CE=x 在Rt△BCE中：∠CBE=30°，BE=CE=x， ∴x=x+50解之得：x=25+25≈68.30． 答：河宽为68.30米． |
| 点评： | 此题主要考查了三角函数的概念和应用，解题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到三角形中，利用三角函数进行解答． |
19．（8分）（2015•自贡）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点．求证：DEBC．
| 考点： | 三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 根据D、E分别是AB、AC边的中点，得出=，即可证明△ADE∽△ABC，从而得出结论即可． |
| 解答： | 证明：∵D是AB中点E是AC中点 ∴=，=， ∴=， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴==，∠ADE=∠B ∴BC=2DE，BC∥DE， 即：DEBC． |
| 点评： | 本题考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． |
五、解答题（每小题10分，共20分）
20．（10分）（2015•自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
| 考点： | 一元二次方程的应用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 几何图形问题． |
| 分析： | 设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答． |
| 解答： | 解：设垂直于墙的一边为x米，得： x（58﹣2x）=200 解得：x1=25，x2=4 ∴另一边为8米或50米． 答：当矩形长为25米是宽为8米，当矩形长为50米是宽为4米． |
| 点评： | 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． |
21．（10分）（2015•自贡）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如下统计图表（图1～图3），请根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 36 度；
（2）图2、3中的a= 60 ，b= 14 ；
（3）在60课时的总复习中，唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？
| 考点： | 条形统计图；统计表；扇形统计图．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）先计算出“统计与概率”所占的百分比，再乘以360°即可； （2）根据数与代数所占的百分比，求得数与代数的课时总数，再减去数与式和函数，即为a的值，再用a的值减去图3中A，B，C，E的值，即为b的值； （3）用60乘以45%即可． |
| 解答： | 解：（1）（1﹣45%﹣5%﹣40%）×360°=36°； （2）380×45%﹣67﹣44=60； 60﹣18﹣13﹣12﹣3=14； （3）依题意，得45%×60=27， 答：唐老师应安排27课时复习“数与代数”内容． 故答案为：36，60，14． |
| 点评： | 本题是一道统计题，考查了条形统计图、扇形统计图和统计表，是基础知识要熟练掌握． |
六、解答题（本题满分12分）
22．（12分）（2015•自贡）观察下表：
| 序号 | 1 | 2 | 3 | … |
图形 | x x y x x | x x x y y x x y y x x x | x x x x y y y x x y y y x x y y y x x x x | … |
（1）第3格的“特征多项式”为 12x+9y ，第4格的“特征多项式”为 16x+16y ，第n格的“特征多项式”为 4nx+n2y ；
（2）若第1格的“特征多项式”的值为﹣10，第2格的“特征多项式”的值为﹣16，求x，y的值．
| 考点： | 规律型：图形的变化类．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）仔细观察每格的特征多项式的特点，找到规律，利用规律求得答案即可； （2）根据题意列出二元一次方程组，求得x、y的值即可． |
| 解答： | 解：（1）观察图形发现： 第1格的“特征多项式”为 4x+y， 第2格的“特征多项式”为 8x+4y， 第3格的“特征多项式”为 12x+9y， 第4格的“特征多项式”为16x+16y， … 第n格的“特征多项式”为4nx+n2y； （2）∵第1格的“特征多项式”的值为﹣10，第2格的“特征多项式”的值为﹣16， ∴， 解得：x=﹣3；y=2， ∴x、y的值分别为﹣3和2． |
| 点评： | 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化，发现图形变化的规律，难度不大． |
七、解答题（本题满分12分）
23．（12分）（2015•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
| 考点： | 二次函数综合题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式； （2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标； （3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标． |
| 解答： | 解：（1）依题意得：， 解之得：， ∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3 ∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0）， ∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n， 得， 解之得：， ∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3； （2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小． 把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2， ∴M（﹣1，2）， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）； （3）设P（﹣1，t）， 又∵B（﹣3，0），C（0，3）， ∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10， ①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2； ②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4， ③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=； 综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）． |
| 点评： | 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题． |
八、解答题（本题满分14分）
24．（14分）（2015•自贡）在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．
（1）如图①，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；
（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．
| 考点： | 几何变换综合题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明； ②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据三角函数和三角形的面积公式解答； （2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，得出最大和最小值解答即可． |
| 解答： | 解：（1）①证明：∵AB=AC，B1C=BC， ∴∠1=∠B，∠B=∠ACB， ∵∠2=∠ACB（旋转角相等）， ∴∠1=∠2， ∴BB1∥CA1； ②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图①： ∵AB=AC，AF⊥BC， ∴BF=CF， ∵cos∠ABC=，AB=5， ∴BF=3， ∴BC=6， ∴B1C=BC=6， ∵CE⊥AB， ∴BE=B1E=， ∴BB1=，CE=， ∴AB1=， ∴△AB1C的面积为：； （2）如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值， 此时在Rt△BFC中，CF=， ∴CF1=， ∴EF1的最小值为； 如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值； 此时EF1=EC+CF1=3+6=9， ∴线段EF1的最大值与最小值的差为． |
| 点评： | 此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和三角形的面积公式进行解答． |
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