高考数学一轮复习知识点与练习 复数

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部．(i为虚数单位)

(2)分类：

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应法则．

3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　  　)

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　   　)

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　  　)

(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　  　)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　  　)

1．(2015·安徽改编)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝__________.

2．(2015·课标全国Ⅰ改编)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝__________.

3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________________________．

4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝__________.

5．(教材改编)已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.

题型一　复数的概念

例1　(1)设i是虚数单位．若复数z＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为________．

(2)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为________．

(3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的____________条件．

引申探究

1．对本例(1)中的复数z，若|z|＝，求a的值．

2．在本例(2)中，若为实数，则a＝________.

思维升华　解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

　(1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．

(2)(2014·浙江改编)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的________条件．

题型二　复数的运算

命题点1　复数的乘法运算

例2　(1)(2015·湖北改编)i为虚数单位，i607的共轭复数为________．

(2)(2015·北京改编)复数i(2－i)＝________.

命题点2　复数的除法运算

例3　(1)(2015·湖南改编)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝________.

(2)()6＋＝________.

命题点3　复数的运算与复数概念的综合问题

例4　(1)(2015·天津)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．

(2)(2014·江苏)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．

命题点4　复数的综合运算

例5　(1)(2014·安徽)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝________.

思维升华　复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式. 

(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定答．

(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意答．

(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．

　(1)(2015·山东改编)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝________.

(2)＝________.

(3)＋＝________.

题型三　复数的几何意义

例6　(1)(2014·重庆改编)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第________象限．

(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：

①、所表示的复数；

②对角线所表示的复数；

③B点对应的复数．

思维升华　因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．

　(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是________．

(2)已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

23．解决复数问题的实数化思想

典例　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.

思维点拨　(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．

温馨提醒　(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．

(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．

(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．

[方法与技巧]

1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．

2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识．

3．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．

[失误与防范]

1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．

2．两个虚数不能比较大小．

3．注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数．

A组　专项基础训练

(时间：30分钟)

1．(2015·福建改编)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于__________．

2．设z＝＋i，则|z|＝________.

3．(2015·课标全国Ⅱ改编)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝________.

4．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是________．

5．(2014·江西改编)是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝__________.

6．(2015·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．

7．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.

8．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．

9．计算：(1)；

(2)；

(3)＋；

(4).

10．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．

B组　专项能力提升

(时间：20分钟)

11．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是____________．

12．设f(n)＝＋(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为________．

13．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．

14．设a是实数，若复数z＝＋(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，则a的值为________．

15．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝_________.

16．若虚数z同时满足下列两个条件：

①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．

这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．