【中考真题】2021年广西贵港市中考数学试卷(附答案)

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．﹣3的绝对值是（　　）

A．﹣3 ．3 ．- ．

2．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

A．x≠－5 ．x≠0 ．x≠5 ．x＞－5

3．下列计算正确的是（ ）

A． ．2a－a＝1 ． ．

4．一组数据8，7，8，6，4，9的中位数和平均数分别是（ ）

A．7和8 ．7.5和7 ．7和7 ．7和7.5

5．在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是（ ）

A．1 ．2 ．3 ．4

6．不等式1＜2x－3＜x＋1的解集是（ ）

A．1＜x＜2 ．2＜x＜3 ．2＜x＜4 ．4＜x＜5

7．已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（ ）

A．－2 ．2 ．－1 ．1

8．下列命题是真命题的是（ ）

A．同旁内角相等，两直线平行 ．对角线相等的四边形是矩形

C．对角线互相垂直的四边形是菱形 ．两角分别相等的两个三角形相似

9．某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）

A． ．

C． ．

10．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）

A． ．2 ． ．1

11．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则（ ）

A． ． ．1 ．

12．如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）

A．3 ．4 ．5 ．6

二、填空题

13．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击战绩的平均数都是8环，方差分别为，则两人射击成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）．

14．第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为1411780000人，将数据1411780000用科学记数法表示为________．

15．如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是________．

16．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是________．（结果保留）

17．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是________．

18．我们规定：若，则．例如，则．已知，且，则的最大值是________．

三、解答题

19．（1）计算：；

（2）解分式方程：．

20．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知ABC，且AB＞AC．

（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；

（2）在AC边上求作点E，使ADE∽ACB．

21．如图，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．

（1）求k的值；

（2）若将一次函数y＝x＋2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．

22．某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过100分钟，现将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图表．请根统计图表提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的样本容量是        ；表中a＝        ，b＝        ；

（2）将频数直方图补充完整；

（3）已知E组有2名男生和1名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是        ；

（4）若该校学生共有2200人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有多少人？

23．某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．

（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？

（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱，计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？

24．如图，⊙O是ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长．

25．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；

（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

26．已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF．

（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是        ；

（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

参

1．B

【分析】

根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.

【详解】

根据绝对值的性质得：|-3|=3．

故选B．

【点睛】

本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.

2．A

【分析】

根据分式有意义的条件列不等式求解．

【详解】

解：根据分式有意义的条件，可得：，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是分母不能为零是解题关键．

3．C

【分析】

根据合并同类项的运算法则、单项式乘单项式和幂的乘方的运算法则解答即可．

【详解】

解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；

B、，原计算错误，故此选项不符合题意；

C、，原计算正确，故此选项符合题意；

D、，原计算错误，故此选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了合并同类项，单项式乘单项式和幂的乘方．解题的关键是明确不是同类项的单项式不能合并．

4．B

【分析】

根据中位数、平均数的定义分别列出算式，再进行计算即可．

【详解】

解：把这些数从小到大排列为4，6，7，8，8，9，

则中位数是；

平均数是：．

故选：B．

【点睛】

此题考查了中位数、平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

5．C

【分析】

直接利用关于轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出，的值，进而得出答案．

【详解】

解：点与点关于轴对称，

，，

，，

则．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆关于轴对称点的符号关系是解题关键．

6．C

【分析】

分别求出各不等式的解集，再求出其公共部分即可．

【详解】

解：不等式组化为，

由不等式①，得，

由不等式②，得，

故原不等式组的解集是，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

7．D

【分析】

利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可．

【详解】

解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，

，，

，

，

，

整理得出：，

解得：，

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程，，，为常数）根与系数的关系：，．

8．D

【分析】

利用平行线的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查了命题与定理及相似三角形的知识，解题的关键是了解平行线的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法，难度不大．

9．B

【分析】

根据该种植基地2018年及2020年的蔬菜产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：依题意得：．

故选：B．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10．A

【分析】

连接、、、、，过点作于点，根据圆内接四边形的性质得，根据对称以及圆周角定理可得，由点是的中点可得，，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．

【详解】

解：连接、、、、，过点作于点，

，

，

点关于对称的点为，

，

，

点是的中点，

，

，

，，

，，

直径，

，

，

．

故选：A．

【点睛】

本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出是解题的关键．

11．A

【分析】

设，首先证明，再利用平行线分线段成比例定理求出，推出，，可得结论．

【详解】

解：设，

四边形是正方形，

，，

在和中，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数，设正方形的边长为，求出，．

12．B

【分析】

如图，取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论．

【详解】

解：如图，取的中点，连接，．

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

的最小值为4，

故选：B．

【点睛】

本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出，的长，属于中考常考题型．

13．乙

【分析】

根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案．

【详解】

解：，，

，

两人射击成绩比较稳定的是乙．

故答案为：乙．

【点睛】

此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．

14．

【分析】

科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】

解：，

故答案是：．

【点睛】

此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

15．

【分析】

根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，再根据平行线的性质即可得解．

【详解】

解：，，

，

平分，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，能根据平行线的性质求出是解此题的关键．

16．

【分析】

设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意得：，解得：，然后根据高为4，利用勾股定理得，从而求得底面半径和母线长，利用侧面积公式求得答案即可．

【详解】

解：设圆锥的底面半径为，母线长为，

根据题意得：，

解得：，

高为4，

，

解得：，

母线长为，

圆锥的侧面积为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据题意求得圆锥的底面半径和母线长，难度不大．

17．

【分析】

过点作于点，易证，从而可求出，，设AB＝a，则AD＝2a，根据三角形的面积可求出AE，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．

【详解】

解：如图，过点作于点，设，

在与中，

，

，

，，

，tan∠ADB＝＝，

设AB＝a，则AD＝2a，

∴BD＝a，

∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，

∴AE＝CF＝a，

∴BE＝FD＝a，

∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，

∴tan∠DEC＝＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．

18．8

【分析】

根据平面向量的新定义运算法则，列出关于的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．

【详解】

解：根据题意知：．

因为，

所以当时，．

即的最大值是8．

故答案是：8．

【点睛】

本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值．

19．（1）；（2）

【分析】

（1）先分别化简二次根式，零指数幂，有理数的乘方，特殊角三角函数值，然后再计算；

（2）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．

【详解】

解：（1）原式

；

（2）整理，得：，

方程两边同时乘以，得：，

解得：，

检验：当时，，

是原分式方程的解．

【点睛】

本题考查零指数幂，特殊角三角函数，解分式方程，掌握实数混合运算的运算顺序和计算法则，理解解分式方程的步骤是解关键．

20．（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可．

（2）作，射线交于点，点即为所求．

【详解】

解：（1）如图，点即为所求．

（2）如图，点即为所求．

【点睛】

本题考查作图相似变换，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

21．（1）3；（2）

【分析】

（1）将代入，故其中交点的坐标为，将代入反比例函数表达式，即可求解；

（2）一次函数的图象向下平移4个单位得到，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得、的坐标，然后根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：（1）将代入，

交点的坐标为，

将代入，

解得：；

（2）将一次函数的图象向下平移4个单位长度得到，

由，

解得：或，

，，

．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，体现了方程思想，综合性较强．

22．（1）60，21，30%；（2）见解析；（3）；（4）330人

【分析】

（1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，即可解决问题；

（2）将频数分布直方图补充完整即可；

（3）画树状图，共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可；

（4）由该校学生总人数乘以每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占的百分比即可．

【详解】

解：（1）本次调查的样本容量是：，

则，，

故答案为：60，21，；

（2）将频数分布直方图补充完整如下：

（3）画树状图如图：

共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，

恰好抽到1名男生和1名女生的概率为，

故答案为：；

（4）（人），

即该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有330人．

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图和频数分布表．

23．（1）甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料；（2）见解析

【分析】

（1）设甲型货车每辆可装载箱材料，乙型货车每辆可装载箱材料，根据“若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设租用辆甲型货车，则租用辆乙型货车，根据“租用的乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，且要运往工厂的这批材料不超过1245箱”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出各租车方案．

【详解】

解：（1）设甲型货车每辆可装载箱材料，乙型货车每辆可装载箱材料，

依题意得：，

解得：．

答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料．

（2）设租用辆甲型货车，则租用辆乙型货车，

依题意得：，

解得：．

又为整数，

可以取18，19，

该公司共有2种租车方案，

方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；

方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

24．（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；

（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．

【详解】

解：（1）连接，

是的直径，

，

，

又，

，

又．

，

即，

是的切线；

（2），，

，

在中，

，，

，

，

，

，，

，

，

设，则，，

又，

即，

解得（取正值），

．

【点睛】

本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．

25．（1）；（2）或；（3）或或

【分析】

（1）先根据对称轴得出，再由点的坐标求出，最后将点的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；

（2）分两种情况，Ⅰ、当点在轴上方时，先判断出，进而得出点在直线上，再求出点的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式；Ⅱ、当点在轴下方时，判断出，即可得出结论；

（3）先求出点的坐标，进而求出的面积，得出的面积，设，，过作轴的平行线交直线于，得出，进而表示出，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．

【详解】

解：（1）抛物线的对称轴为，

，

，

点的坐标为，

，

抛物线的解析式为，

点在抛物线上，

，

，

，

抛物线的解析式为；

（2）Ⅰ、当点在轴上方时，如图1，

记与的交点为点，

，

，

直线垂直平分，

点在直线上，

点，，

直线的解析式为，

当时，，

点，

点点关于对称，

，

直线的解析式为，

即直线的解析式为；

Ⅱ、当点在轴下方时，如图2，

，

，

由Ⅰ知，直线的解析式为，

直线的解析式为，

即直线的解析式为；

综上，直线的解析式为或；

（3）由（2）知，直线的解析式为①，

抛物线的解析式为②，

或，

，

，

，

，

点在轴左侧的抛物线上，

设，，

过作轴的平行线交直线于，

，

，

，

或（舍）或或，

或或．

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，垂直平分线的性质，坐标系中求三角形面积的方法，求出点的坐标是解本题的关键．

26．（1）；（2）成立，证明见解析；（3）

【分析】

（1）结论．证明，可得结论．

（2）结论成立．证明方法类似（1）．

（3）首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可．

【详解】

解：（1）结论：．

理由：如图1中，

，，，

，，

，

，

，，

，

．

（2）结论成立．

理由：如图2中，

，，

，

，

，

，，

，

．

（3）如图3中，

由旋转的性质可知，

，

，

，

，，，

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．