高中物理生活中的圆周运动解题技巧讲解及练习题(含答案)及解析

一、高中物理精讲专题测试生活中的圆周运动

1．如图所示，在水平桌面上离桌面右边缘3.2m 处放着一质量为0.1kg 的小铁球（可看作质点），铁球与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.2．现用水平向右推力F =1.0N 作用于铁球，作用一段时间后撤去。铁球继续运动，到达水平桌面边缘A 点飞出，恰好落到竖直圆弧轨道BCD 的B 端沿切线进入圆弧轨道，碰撞过程速度不变，且铁球恰好能通过圆弧轨道的最高点D ．已知∠BOC =37°，A 、B 、C 、D 四点在同一竖直平面内，水平桌面离B 端的竖直高度H =0.45m ，圆弧轨道半径R =0.5m ，C 点为圆弧轨道的最低点，求：（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）

(1)铁球运动到圆弧轨道最高点D 点时的速度大小v D ；

(2)若铁球以v C =5.15m/s 的速度经过圆弧轨道最低点C ，求此时铁球对圆弧轨道的压力大小F C ；（计算结果保留两位有效数字） (3)铁球运动到B 点时的速度大小v B ； (4)水平推力F 作用的时间t 。

【答案】(1)铁球运动到圆弧轨道最高点D 5；

(2)若铁球以v C =5.15m/s 的速度经过圆弧轨道最低点C ，求此时铁球对圆弧轨道的压力大小为6.3N ；

(3)铁球运动到B 点时的速度大小是5m/s ； (4)水平推力F 作用的时间是0.6s 。 【解析】 【详解】

(1)小球恰好通过D 点时，重力提供向心力，由牛顿第二定律可得：2D

mv mg R

=

可得：D 5m /s v =

(2)小球在C 点受到的支持力与重力的合力提供向心力，则：2C

mv F mg R

-=

代入数据可得：F =6.3N

由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力：F C =F =6.3N

(3)小球从A 点到B 点的过程中做平抛运动，根据平抛运动规律有：2

y 2gh v = 得：v y =3m/s

小球沿切线进入圆弧轨道，则：3

5m/s 370.6

y B v v sin =

=

=︒

(4)小球从A 点到B 点的过程中做平抛运动，水平方向的分速度不变，可得：

3750.84/A B v v cos m s =︒=⨯=

小球在水平面上做加速运动时：1F mg ma μ-=

可得：2

18/a m s =

小球做减速运动时：2mg ma μ=

可得：2

22/a m s =-

由运动学的公式可知最大速度：1m v a t =；22A m v v a t -= 又：222

m m A v v v

x t t +=

⋅+⋅ 联立可得：0.6t s =

2．如图所示，在光滑的圆锥体顶部用长为

的细线悬挂一质量为

的小球，因锥体固定在水平面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为，物体绕轴

线在水平面内做匀速圆周运动，小球静止时细线与母线给好平行，已知

，

重力加速度g 取

若北小球运动的角速度

，求此时细线对小球的拉力大小。

【答案】

【解析】 【分析】

根据牛顿第二定律求出支持力为零时，小球的线速度的大小，从而确定小球有无离开圆锥体的斜面，若离开锥面，根据竖直方向上合力为零，水平方向合力提供向心力求出线对小球的拉力大小。 【详解】

若小球刚好离开圆锥面，则小球所受重力与细线拉力的合力提供向心力，有：

此时小球做圆周运动的半径为：

解得小球运动的角速度大小

为：代入数据得：

若小球运动的角速度为：

小球对圆锥体有压力，设此时细线的拉力大小为F ，小球受圆锥面的支持力为，则

水平方向上有： 竖直方向上有：

联立方程求得：

【点睛】

解决本题的关键知道小球圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，根据牛顿第二定律求出临界速度是解决本题的关键。

3．如图所示，一轨道由半径2R m =的四分之一竖直圆弧轨道AB 和水平直轨道BC 在B 点平滑连接而成．现有一质量为1m Kg =的小球从A 点正上方

2

R

处的O '点由静止释放，小球经过圆弧上的B 点时，轨道对小球的支持力大小18N F N =，最后从C 点水平飞离轨道，落到水平地面上的P 点.已知B 点与地面间的高度 3.2h m =，小球与BC 段轨道间的动摩擦因数0.2μ=，小球运动过程中可视为质点. (不计空气阻力， g 取10 m/s 2). 求：

（1）小球运动至B 点时的速度大小B v

（2）小球在圆弧轨道AB 上运动过程中克服摩擦力所做的功f W （3）水平轨道BC 的长度L 多大时，小球落点P 与B 点的水平距最大．

【答案】（1）4?

/B v m s ＝ （2）22?f W J ＝ （3） 3.36L m = 【解析】

试题分析：（1）小球在B 点受到的重力与支持力的合力提供向心力，由此即可求出B 点的速度；（2）根据动能定理即可求出小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功；（3）结合平抛运动的公式，即可求出为使小球落点P 与B 点的水平距离最大时BC 段的长度．

（1）小球在B 点受到的重力与支持力的合力提供向心力，则有：2

B

N v F mg m R

-=

解得：4/B v m s =

（2）从O '到B 的过程中重力和阻力做功，由动能定理可得：

21022f B R mg R W mv ⎛

⎫+-=- ⎪⎝⎭

解得：22f W J =

（3）由B 到C 的过程中，由动能定理得：221122

BC C B mgL mv mv μ-=- 解得：22

2B C BC

v v L g

μ-=

从C 点到落地的时间：020.8h

t s g

=

= B 到P 的水平距离：2202B C

C v v L v t g

μ-=

+ 代入数据，联立并整理可得：214445

C C L v v =-

+ 由数学知识可知，当 1.6/C v m s =时，P 到B 的水平距离最大，为：L=3.36m

【点睛】该题结合机械能守恒考查平抛运动以及竖直平面内的圆周运动，解题的关键就是对每一个过程进行受力分析，根据运动性质确定运动的方程，再根据几何关系求出最大值．

4．游乐场正在设计一个全新的过山车项目，设计模型如图所示，AB 是一段光滑的半径为R 的四分之一圆弧轨道，后接一个竖直光滑圆轨道，从圆轨道滑下后进入一段长度为L 的粗糙水平直轨道BD ，最后滑上半径为R 圆心角0

60θ=的光滑圆弧轨道DE ．现将质量为m 的滑块从A 点静止释放，通过安装在竖直圆轨道最高点C 点处的传感器测出滑块对轨道压力为mg ，求：

（1）竖直圆轨道的半径r ．

（2）滑块在竖直光滑圆弧轨道最低点B 时对轨道的压力．

（3）若要求滑块能滑上DE 圆弧轨道并最终停在平直轨道上（不再进入竖直圆轨道），平直轨道BD 的动摩擦因数μ需满足的条件． 【答案】（1）3

R （2）7mg （3）2R R L L μ<≤ 【解析】

(1) 对滑块，从A 到C 的过程，由机械能守恒可得：

2

1(2)2

C mg R r mv -=

22C

v mg m r

=

解得：3

R r =

； (2) 对滑块，从A 到B 的过程，由机械能守恒可得：

212

B mgR mv =

在B 点，有：

2B

v N mg m r

-=

可得：滑块在B 点受到的支持力 N=7mg ；

由牛顿第三定律可得，滑块在B 点对轨道的压力

7N N mg '==，方向竖直向下；

(3) 若滑块恰好停在D 点，从B 到D 的过程，由动能定理可得：

2

112

B mgL mv μ-=-

可得：1R L

μ=

若滑块恰好不会从E 点飞出轨道，从B 到E 的过程，由动能定理可得：

2

21(1cos )2

B mgL mgR mv μθ---=-

可得：

22R L

μ=

若滑块恰好滑回并停在B 点，对于这个过程，由动能定理可得：

2

31·22

B mg L mv μ-=-

综上所述，μ需满足的条件：

2R R L L

μ<<．

5．过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B 、C 、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B 、C 间距与C 、D 间距相等，半径1 2.0m R =、2 1.4m R =．一个质量为 1.0m =kg 的小球（视为质点），从轨道的左侧A 点以012.0m/s v =的初速度沿轨道向右运动，A 、B 间距1 6.0L =m ．小球与水平轨道间的动摩擦因数0.2μ=，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠，如果小球恰能通过第二圆形轨道．如果要使小球不能脱离轨道，试求在第三个圆形轨道的设计中，半径3R 应满足的条件．（重力加速度取210m/s g =，计算结果保留小数点后一位数字．）

【答案】300.4R m <≤或 31.027.9m R m ≤≤ 【解析】 【分析】 【详解】

设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v 2，由题意

22

2

v mg m R = ①

()22

122011222

mg L L mgR mv mv μ-+-=

- ② 由①②得 12.5L m = ③

要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

I ．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v 3，应满足

2

3

3

v mg m R = ④

()22

1330112222

mg L L mgR mv mv μ-+-=

- ⑤ 由④⑤得30.4R m = ⑥

II ．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3，根据动能定理

()2

13012202

mg L L mgR mv μ-+-=- ⑦

解得 3 1.0R m = ⑧

为了保证圆轨道不重叠，R 3最大值应满足

()

()

2

2

2

2332R R L R R +=+- ⑨

解得：R 3=27.9m ⑩

综合I 、II ，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

300.4R m <≤或 31.027.9m R m ≤≤ ⑾

【点睛】

本题为力学综合题，要注意正确选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义.

6．如图所示，光滑圆弧的圈心为O ，半径3m R =，圆心角53θ=︒，C 为圆弧的最低点，C 处切线方向水平，与一足够长的水平面相连．从A 点水平抛出一个质量为0.3kg 的小球，恰好从光滑圆弧的B 点的切线方向进人圆弧，进人圆弧时无机械能损失．小球到达圆弧的最低点C 时对轨道的压力为7.9N ，小球离开C 点进人水平面，小球与水平面间的

动摩擦因数为0.2．（不计空气阻力，g 取2

10m/s ，sin530.8︒=，cos530.6︒=），

求：

（1）小球到达圆弧B 点速度的大小； （2）小球做平抛运动的初速度0v ； （3）小球在水平面上还能滑行多远．

【答案】(1)5m/s B v =；(2)03m/s v =；(3)12.25x m = 【解析】 【详解】

(1)对C 点小球受力分析，由牛顿第二定律可得：

2C

v F mg m R

-=

解得

7m /s c v =

从B 到C 由动能定理可得：

2211

(1)22

c B mgR cos mv mv θ-=

- 解得：

5m /s B v =

(2)分解B 点速度

0cos 3m /s B v v θ==

(3)由C 至最后静止，由动能定理可得：

21

02

c mgx mv μ-=-

解得

12.25m x =

7．如图所示，半径R=1m 的光滑半圆轨道AC 与高h=8R 的粗糙斜面轨道BD 放在同一竖直

平面内，BD 部分水平长度为x=6R ．两轨道之间由一条光滑水平轨道相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a 、b 两小球挤压（不连接），处于静止状态．同时释放两个小球，a 球恰好能通过半圆轨道最高点A ，b 球恰好能到达斜面轨道最高点B ．已知a 球质量为m 1=2kg ，b 球质量为m 2=1kg ，小球与斜面间动摩擦因素为μ=

1

3

，重力力加速度为g=10m/s 2．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：

（1）a 球经过C 点时对轨道的作用力 （2）释放小球前弹簧的弹性势能Ep ．

【答案】（1）120N ，方向竖直向下．（2）150J ． 【解析】试题分析：（1）a 球恰好通过最高点A 时有：

得

10m/s A v Rg ==

a 球从C 到A 过程由动能定理有：

解得：

在C 点，对a 球受力分析有： 解得轨道对a 球的作用力大小为:

（2）b 球从D 点恰好到达最高点B 过程中，位移

由动能定理:

求得

所以小球释放前弹性势能为

考点：动能定理；牛顿第二定律的应用

8．如图所示，AB 是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD 是光滑的圆弧轨道，AB 恰好在B 点与圆弧相切，圆弧的半径为R ．一个质量为m 的物体（可以看作质点）从直轨道上与圆弧的圆心O 等高的P 点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知物体与轨道AB 间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ．试求：

（1）物体释放后，第一次到达B 处的速度大小，并求出物体做往返运动的整个过程中在AB 轨道上通过的总路程s ；

（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E 时，对圆弧轨道的压力的大小；

（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D （E 、O 、D 为同一条竖直直径上的3个点），释放点距B 点的距离L 应满足什么条件．

【答案】（1）2(sin cos )tan B gR v θμθθ

-=；

R

L μ= （2）(32cos )N F mg θ=-； （3）(32cos )2(sin cos )

R

L θθμθ+-…

【解析】 【分析】 【详解】

（1）设物体释放后，第一次到达B 处的速度为1v ，根据动能定理可知：

2

1cos 1cos cos sin 2

R mgR mg mv θθμθ

θ-= 解得：

2(sin cos )

tan B gR v θμθθ

-=

物体每完成一次往返运动，在AB 斜面上能上升的高度都减少一些，最终当它达B 点时，速度变为零，对物体从P 到B 全过程用动能定理，有

cos cos 0mgR mgL θμθ-=

得物体在AB 轨道上通过的总路程为

R

L μ

=

（2）最终物体以B 为最高点在圆弧轨道底部做往返运动，设物体从B 运动到E 时速度为

2v v ，由动能定理知：

221(1cos )2

v mgR m θ-=

在E 点，由牛顿第二定律有

22

N mv F mg R

-=

解得物体受到的支持力

(32cos )N F mg θ=-

根据牛顿第三定律，物体对轨道的压力大小为(32cos )N N F F mg θ'

==-，方向竖直向

下．

（3）设物体刚好到达D 点时的速度为D v 此时有

2D

mv mg R

= 解得：

D v gR =

设物体恰好通过D 点时释放点距B 点的距离为0L ，有动能定理可知：

2

001[sin (1cos )]cos 2

D mg L R mg L mv θθμθ-+-=

联立解得：

0(32cos )2(sin cos )

R

L θθμθ+=

-

则：

(32cos )2(sin cos )

R L θθμθ+-… 答案：（1）2(sin cos )tan B gR v θμθθ

-=

；

R

L μ= （2）(32cos )N F mg θ=-； （3）(32cos )2(sin cos )R

L θθμθ+-…

9．

如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段倾斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R ．一质量为m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg （g 为重力加速度）．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 的取值范

围．

【答案】2.5R≤h≤5R 【解析】

试题分析：要求物块相对于圆轨道底部的高度，必须求出物块到达圆轨道最高点的速度，在最高点，物体做圆周运动的向心力由重力和轨道对物体的压力提供，当压力恰好为0

时，h 最小；当压力最大时，h 最大．由机械能守恒定律和牛顿第二定律结合解答． 设物块在圆形轨道最高点的速度为v ，由机械能守恒得： 2122

mgh mgR mv =+

物块在最高点受的力为重力mg ，轨道的压力N F ,重力与压力的合力提供向心力，有

2

N v mg F m R

+=

物块能通过最高点的条件是0N F ≥

由以上式得v ≥

联立以上各式得52

h R ≥

根据题目要求5N F mg ≤

由以上各式得v ≤由此可得5h R ≤ 所以h 的取值范围是

5

52

h R ≤≤ 点睛：物体在竖直平面内做圆周运动的过程中在最高点的最小速度必须满足重力等于向心力，这是我们解决此类问题的突破口．要知道小球做圆周运动时，由指向圆心的合力充当向心力．

10．如图所示为某种弹射小球的游戏装置，由内置弹簧发射器的光滑直管道PA 和光滑圆管道ABC 平滑相接，粗糙斜面CD 上端与管道ABC 末端相切于C 点，下端通过一段极小圆弧（图中未画出）与粗糙水平面DE 平滑连接，半径R =2.0m 的光滑半圆轨道竖直固定，其最低点E 与水平面DE 相接，F 为其最高点．每次将弹簧压缩到同一位置后释放，小球即被弹簧弹出，经过一系列运动后从F 点水平射出．己知斜面CD 与水平面DE 的长度均为L =5m ，小球与斜面及水平面间的动摩擦因数均为μ=0.2，其余阻力忽略不计，角θ=37℃，弹簧的长度、小球大小、管道直径均可忽略不计，若小球质量m =0.1kg ，则小球到达管F 时恰好与管口无挤压．求： （1）弹簧的弹性势能大小E p ；

（2）改变小球的质量，小球通过管口F 时，管壁对小球的弹力F N 也相应变化，写出F N 随小球质量m 的变化关系式并说明的F N 方向．

【答案】（1）6.8J ；

（2）a)当m =0.1kg 时，F N 为零； b)当0时, F N 为零． 【解析】 【详解】

（1）恰好与管口无挤压，则

2

1v mg m R

=

P-F ，由动能定理得

211W 2mgR mg(Lcos L)mv 2

--μθ+=

弹 初始弹性势能

E P =W 弹

联立以上各式解得

E P =6.8J

（2）在F 点

2

N v F mg m R

+= ①

P-F ，由能量守恒得：

2P 1E mg(Lcos L)2mgR mv 2

=μθ+++②

由①②得

N F 6.868m =- ③

a)由③可知当m=0.1kg 时，F N 为零；

b)当017

m kg 0.12kg 145

=

≈ 则0.10.12kg m kg ≤≤

N F 68m 6.8=-

小球经过F点时内管壁对它向上弹力m 时, F N为零

d) 当0.12kg