复数的解题策略-高三数学解题技巧专题突破

一．【学习目标】

1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．

2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．

3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．

二．知识点与方法总结

1．复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a=0，则a＋bi为纯虚数，i为虚数单位．

(2)复数相等：复数a＋bi＝c＋di⇔a =c ,b=d (a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a =c ,b=-d (a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模

向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|．

2．复数的四则运算

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(4)除法：＝＝

＝＝＋i(c＋di≠0)．

3．两条性质

(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(其中n∈N*)；

(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

4.方法规律总结

（1）.设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.

（2）.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.

（3）.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.

三．典例分析

（一）复数的概念

例1．若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（    ）

A．    B．2    C．    D．

【答案】D

【解析】

复数在复平面内对应的点在虚轴上，则，

故选

练习1．若复数z＝（3﹣6i）（1+9i），则（　　）

A．复数z的实部为21

B．复数z的虚部为33

C．复数z的共轭复数为57﹣21i

D．在复平面内，复数z所对应的点位于第二象限

【答案】C

练习2．若复数（为虚数单位），则复数在坐标平面内对应点的坐标为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】z，则复数z在复平面内对应点的坐标是：（1，-1）．

故选：B．

（二）复数的几何意义

例2．已知复数在复平面内对应的点分别为，则（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】∵复数 在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），

∴＝1+i，＝i．∴．故选：D．

练习1．复数在复平面上对应的点位于　　

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【答案】A

【解析】因为 

所以复数z在复平面所对应的点是（1,3）

练习2．设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（  ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限 

【答案】D

【解析】由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，

∴，

∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．

故选：D．

练习3．已知，且，则实数的值为（   ）

A．0    B．1    C．    D．

【答案】C

【解析】∵，∴

∴＝3,得，则，

∴a=，故选：C． 

，建立等式,

建立等式，得到，解得，故错误。故选B。

练习4．复数（是虚数单位）的共轭复数表示的点在（    ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【答案】B

【解析】因为,所以表示的点在第二象限，故选B．

练习5．复数z1=1-2i,|z2|=3,则|z2-z1|的最大值是___________．

【答案】

【解析】因为，所以其对应点的坐标为，

设对应点的坐标为，由得，即

所以可看出，点与圆上任意一点的距离，所以其最大值为.

故答案为

（六）复数综合

例6．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（    ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【答案】B

【解析】因为，所以对应点，在第二象限，选B.

练习1．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，c∈C，a－c＝0⇒a＝c”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．

④“若x∈R，则|x|<1⇒－1其中类比结论正确的个数是 （）

A．0    B．1    C．2    D．3

【答案】C

【解析】①在复数集中，若两个复数满足，则它们的实部和虚部均相等，则，相等．故①正确；

②在有理数集中，由得，则，易得：且．则②正确；

③在复数范围内，不能推出，比如，，显然有成立，但，不能比较大小，故③错误；

④“若，则”类比推出“若，表示复数模小于1，不能，比如．故④错误，

综上：①②正确.

故选：C.

练习2．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限，则n的最小值为

A．1    B．2    C．3    D．4

【答案】C

【解析】当时，，其对应的点位于第一象限；

当时，，其对应的点位于坐标原点；

当时，，其对应的点位于第四象限，满足条件；

所以的最小值为3，故选C.

练习3．当实数为何值时，复数分别是

（1）虚数；（2）纯虚数；（3）实数.

【答案】（1）m≠-2且m≠ -3; （2）m=3； （3）m=-2或m=-3.

【解析】复数是：

（1）虚数：得到 ≠0，解得m≠-2且m≠ -3;    

（2）纯虚数： 得到 ＝0并且≠0解得m=3

（3）实数：=0解得m=-2或m=-3

故答案为：m≠-2且m≠ -3;   m=3； m=-2或m=-3.

练习4．设.

(1)求证：1＋ω＋ω2＝0；

(2)计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．

【答案】（1）证明见解析。（2）4.

【解析】(1)证明：∵ω＝－＋i，

∴ω2＝(－＋i)2＝＋2×(－)×(i)＋(i)2＝－i－＝－－i，

∴1＋ω＋ω2＝1－＋i－－i＝0.

(2)由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，

∴ω3－1＝0，

∴ω3＝1.

∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4.

（七）复数根问题

例1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z等于(　　)

A．1±2i    B．－1±2i    C．1＋2i或－1－2i    D．2＋i或－2－i

【答案】C

【解析】由题意得，

∵，

∴，解得或，

∴z＝1＋2i或z＝－1－2i.

故选C.

练习1．已知复数.

（1）求复数的模；

（2）若复数是方程的一个根，求实数，的值.

【答案】（1）；（2）4，10

练习2．已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根．

(1)求a，b的值；

(2)试判断1－i是否是方程的根．

【答案】（1）a，b的值分别为－2，2；（2）1－i是方程的一个根．

【解析】(1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，

∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，即(a＋b)＋(a＋2)i＝0，

∴∴

∴a，b的值分别为－2，2. 

(2)由(1)知，实系数方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程，

左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0，显然方程成立，

∴1－i也是方程的一个根． 

练习3．对于n个复数z1，z2，…，zn，如果存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1z1＋k2z2＋…＋knzn＝0，就称z1，z2，…，zn线性相关．若要说明复数z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2线性相关，则可取{k1，k2，k3}＝________．(只要写出满足条件的一组值即可)

【答案】 (或{2，4，3}等)