一元二次方程的解法归纳总结

   一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法.

   在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法.

   我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.

一、直接开平方法

解形如（≥0）和（≥0）的一元二次方程,用直接开平方法.

用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:

（1）把一元二次方程化为（≥0）或（≥0）的形式;

（2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;

（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.

注意:

（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;

（2）对于一元二次方程,当时,方程无解;

（3）对于一元二次方程:

当时,一元二次方程有两个不相等的实数根;

当时,一元二次方程有两个相等的实数根;

当时,一元二次方程没有实数根.

例1. 解下列方程:

（1）;                （2）.

分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.

解:（1）

∴;

（2）

∴.

例2. 解下列方程:

（1）;                  （2）.

分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.

解:（1）

∴或

∴;

（2）

∴

∴或

∴.

习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是                              【   】

（A）                 （B）

（C）                 （D）

习题2. 若,则_________.

习题3. 若为方程的两根,且,则                      【   】

（A）         （B）         （C）1         （D）3

习题4. 解下列方程:

（1）;                  （2）.

习题5. 解下列方程:

（1）;                    （2）.

习题6. 对于实数,我们用符号表示两数中较小的数,如.

（1）_________;

（2）若,则_________.

习题7. 已知直角三角形的两边长满足,求这个直角三角形第三边的长.

（注意分类讨论第三边的长）

二、因式分解法

因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:

（1）移项  把方程的右边化为0;

（2）化积  将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;

（3）转化  令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;

（4）求解  解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.

例1. 用因式分解法解方程:.

解: 

∴或

∴.

例2. 用因式分解法解方程:.

解: 

∴或

∴.

例3. 解方程:.

解: 

∴.

例4. 解方程:.

解: 

∴或

∴.

因式分解法解高次方程

例5. 解方程:.

解: 

∴或或或

∴.

例6. 解方程:.

解: 

∵

∴

∴或

∴.

用十字相乘法分解因式解方程

对于一元二次方程,当≥0且的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程.

例7. 解方程:.

分析:,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.

解: 

∴或

∴.

例8. 解方程:.

分析:,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.

解: 

∴或

∴,.

例9. 设方程的较大根为,方程的较小根为,求的值.

解: 

∴或

∴

∵是该方程的较大根

∴

∴或

∴

∵是该方程的较小根

∴

∴.

习题1. 方程的根是__________.

习题2. 方程的根是__________.

习题3. 方程的解是__________.

习题4. 方程的解是__________.

习题5. 如果,那么的值为                                  【   】

（A）2或                   （B）0或1

（C）2                         （D）

习题6. 方程的根是__________.

习题7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根,则该三角形的周长为__________.

习题8. 解下列方程:

（1）;                （2）;

（3）;             （4）.

习题9. 解下列方程:

（1）;                   （2）.

习题10. 解方程:.

三、配方法解

用配方法解一元二次方程共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.

（1）一移   把常数项移到方程的右边,注意变号;

（2）二化   在方程的左右两边同时除以二次项系数,化二次项系数为1;

（3）三配   即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;

（4）四开   直接开平方;

   （注意:当≥0时方程有实数根）

（5）五转   把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;

或

（6）解   解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.

.

说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:

一元二次方程有实数根的条件是≥0,求根公式为:

.

例1. 用配方法解方程:.

解: 

∴或

∴.

例2. 解方程:.

分析:按照用配方法解一元二次方程的一般步骤,在移项之后,要化二次项系数为“1”.

解: 

∴或

∴.

例3. 用配方法解关于的方程:

（≥0）.

解: 

∴

∵≥0

∴.

说明:

≥0既是二次根式有意义的条件,也是一元二次方程有实数根的前提.因此把叫做一元二次方程的根的判别式.

习题1. 用配方法解方程,配方后的方程是                         【   】

（A）                   （B）

（C）                   （D）

习题2. 若方程可以通过配方写成的形式,那么可以配成                                                                  【   】

（A）                （B）

（C）               （D）

习题3. 用配方法解方程:

（1）;                （2）;

（3）;               （4）.

四、公式法

一元二次方程的求根公式

一元二次方程（）的求根公式为:

（≥0）

当时,一元二次方程无实数根.

例1. 证明一元二次方程的求根公式.

分析:用配方法可以证明一元二次方程的求根公式.

证明: 

∴或

∴

即一元二次方程（）的根为（≥0）.

注意:当≥0时,一元二次方程（）有实数根;当时,二次根式无意义,方程无实数根.

公式法解一元二次方程的一般步骤:

用公式法解一元二次方程的一般步骤是:

（1）把一元二次方程化为一般形式;

（2）确定的值,包括符号;

（3）当≥0时,把的值代入求根公式求解;当时,方程无实数根.

例1. 用公式法解方程:.

分析:用公式法解一元二次方程时要先将方程化为一般形式,并正确确定的值,包括符号.

解: 

∴

∴

∴.

例2. 解下列方程:

（1）;            （2）.

解:（1）

∴

∴;

（2）

∴

∴.

说明:当时,一元二次方程（）有两个相等的实数根.

例3. 解方程:.

解: 

∴

∴.

用公式法解一元二次方程获得的启示

   对于一元二次方程（）,可以用的值确定方程解的情况以及方程的解,并且求根公式里面的二次根式有意义的条件即为方程有解的条件:当≥0时,二次根式,一元二次方程有实数根;当时,二次根式无意义,一元二次方程无实数根.

（1）当时,一元二次方程有两个不相等的实数根;

（2）当时,方程有两个相等的实数根.

   把叫做一元二次方程根的判别式,用“”表示,所以.在不解方程的前提下,可以由的符号确定一元二次方程根的情况.

习题1. 解方程:

（1）;                （2）;

（3）;             （4）.

习题2. 已知是一元二次方程的两个实数根中较小的根.

（1）求的值;

（2）化简并求值:.

五、换元法

   解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时,我们可以通过整体换元的方法,把方程转化为一元二次方程进行求解,从而达到降次或变复杂为简单的目的.

   换元法的实质是换元,关键是构造元和设元,体现的是转化化归思想.

用换元法解某些高次方程

例1. 解方程:.

分析:这是一元四次方程,可设（注意:≥0）,这样通过换元就把原方程转化为关于

的一元二次方程.

解:设,则有:≥0

∴

∴或

∴

∵≥0

∴（舍去）

∴

∴.

用换元法解具有一定结构特点的方程

例2. 解方程:.

分析:注意到该方程中整体出现了两次,可整体设元,从结构上简化方程.

解:设,则有: 

∴或

∴

∴或

∴.

例3. 解方程:.

分析:本题中的方程若展开整理,则得到的是一个高次方程,但方程本身具有非常明显的结构特点,可整体换元,不用展开即可得到一个简洁的一元二次方程.

解:设,则有: 

∴或

∴

∴或

解方程得:;

解方程得: 

综上,原方程的解为.

例4. 解方程:.

分析:方程中与互为倒数,若设,则,经过这样的换元,最后可把原方程转化为关于的整式方程,且为一元二次方程.

解:设,则有: 

整理得: 

∴

∴或

由得:,此时方程无解;

由得:,解之得:.

综上,原方程的解为.

例5. 解方程:.

分析:设,则.

解: 

设,则有: 

∴或

∴

∴或

由得:,此时方程无解;

由得:,解之得:.

综上,原方程的解为.

本题变式: 已知实数满足,那么的值是                 【   】

（A）1或        （B）或2        （C）1        （D）

例6. 已知,求的值.

分析:整体设元:设,则≥0,据此注意根的取舍.

解:设,则有:≥0

∴

整理得: 

解之得: 

∵≥0 ∴

∴的值为3.

习题1. 解下列方程:

（1）;                 （2）.

习题2. 解方程:.

习题3. 阅读下面的材料,回答问题:

解方程,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:

设,则原方程变形为: 

解之得: 

当时, ,解之得:;

当时, ,解之得:.

综上,原方程的解为:.

（1）在由原方程得到方程的过程中,利用_________法达到_________的目的,体现了数学的转化思想;

（2）解方程:.

特殊一元二次方程的解法举例

   某些方程的解需采用特殊的处理和方法,下面列举几例.

例1. 解方程:.

分析:若把该方程展开并整理,会得到一个一元四次方程,这不是我们想看到的结果.可使用换元法解该方程:设,这样就能把原方程转化为关于的一元二次方程.

解:设,则原方程可转化为: 

∴

∴或

∴

∴或

由得:,解之得:;

由得:,此时方程无解.

综上,原方程的解为.

例2. 解方程:.

解法1:当≥0,原方程可化为:,解之得:（舍去）;

当时,原方程可化为:,解之得:（舍去）.

综上所述,原方程的解为.

解法2:原方程可化为: 

∴

∵

∴

∴

∴原方程的解为.

解法3:（图象法）原方程可化为: 

设,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象如图所示.

∵两个函数的图象有两个交点和

∴方程有两个实数根,且根为

∴原方程的解为.

习题1. 参照例2的解法,解方程:.

例3. 解方程:.

解: 

∴

设,则有: 

∴

∴

当时,解之得:;

当时,此时方程无解.

综上所述,原方程的解为.

习题2. 方程的所有根的和为_________.

习题3. 已知实数满足,那么的值是                 【   】

（A）1或        （B）或2        （C）1        （D）