一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 若关于的方程的两根为、，则多项式可因式分解为
A. B.
C. D.
2. 下列符号属于轴对称图形的是
A. B. C. D.
3.如图，竖直放置的圆柱体的左视图是
A. 长方形
B. 等腰梯形
C. 等腰三角形
D. 正方形
4.如图，在平行四边形中，平分，，，交于点，则的周长是
A.
B.
C.
D.
5. 已知三角形的三边长为连续整数，且周长为，则它的最短边长为
A. B. C. D.
6. 已知一元二次方程，下列配方正确的是
A. B. C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，菱形的对称中心恰好是原点，已知点坐标是，双曲线经过点，则菱形的面积是
A.
B.
C.
D.
8.如图，以坐标原点为圆心，半径为的弧交坐标轴于，两点，是上一点不与，重合，连接，设，则点的坐标是
A.
B.
C.
D.
9. 如图，已知，，则下列比例式中错误的是
A. B. C. D.
10.抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图所示，则以下结论：；；；方程有两个相等的实根，其中正确的个数为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）
11. 若关于的方程有两个相等实数根，则代数式的值为______．
12. 如图，正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为_____．
13. 将二次函数向左平移个单位再向下平移个单位得到新的二次函数的解析式为______．
14. “直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上提出一个问题：如图，已知判断是否为直角仅限用直尺和圆规．
说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：_________________________．
15. 若关于的方程的一个根是，则的值为______．
16.如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则______．
18. 如图，在中，中线、交于，若，则 ______ ．
19.如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点，，连结，，则的面积为______．
20. 计算．
；
．
21. 计算：．
22. 对于初级的学生而言，紧张且充实的初中生活即将结束，初三年级某班调查了同学们最期待在这个暑假做的有意义的事每位同学都必须且只能从阅读、实践、旅游、其它这四种类型中选一类，并根据统计结果绘制了如图和如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息完成以下问题：
该班共有学生______人，扇形统计图中实践类对应的圆心角是______度，并补全条形统计图；
已知甲、乙、丙、丁四名同学都期待能在暑假尽情地享受课外阅读，班级决定从这四名同学中任选两名在全班推荐书籍，请利用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲、丙的概率．
23. 一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点处观测到河对岸有一点在的南偏西的方向上，沿河岸向西前行到达处，又测得在的南偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．参考数据：，
24. 如图，点，在反比例函数的图象上，经过点、的直线与轴相交于点，与轴相交于点
若，完成下列填空
______，______
将反比例函数的图象向上平移个单位长度，所得的图象的函数解析式为______
若正比例函数与反比例函数交于点、，以为斜边作等腰，则点所在的图象的函数解析式为______
连接、，若，求点到直线的距离．
25. 已知在中，，，直线经过点，过点、分别向直线作垂线，垂足分别为、，交于点．
如图，若，求证：；
如图，若，则、、之间的数量关系是______；
在的条件下，如图，连接，过点作，交延长线于点，若，，求的长．
26. 参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛场，共有多少个队参加足球联赛？
27. 如图，在锐角中，，于点，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．过点作，交于点，以为边作，使，点在点的下方，且，设与重叠部分图形的面积为平方单位，点的运动时间为秒．
求线段的长．
当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式．
若边与边交于点，连接，如图．
当将的面积分成：两部分时，求的长．
直接写出的垂直平分线经过的顶点时的值．
28. 如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点、点与点关于轴对称，点是轴上一动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．
求直线的解析式．
当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时四边形是平行四边形．
点在运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参及解析
1.答案：
解析：解：关于的方程的两根为、，
方程左边分解后一定有和两个因式，
而二次项系数为，
可分解为．
故选D．
由于关于的方程的两根为、，则方程左边分解后一定有和两个因式，加上二次系数为，即可得到可分解为．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
2.答案：
解析：解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据轴对称的定义，结合各选项进行判断即可．
本题考查了轴对称图形的知识，判断轴对称的关键寻找对称轴，属于基础题．
3.答案：
解析：解：圆柱的左视图是长方形．
故选：．
左视图是从左边看所得到的视图，根据左视图所看的位置找出答案即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置．
4.答案：
解析：
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
由平行四边形的对边平行得，由角平分线的性质得，即可知，从而得，由菱形的对角线互相垂直且平分得、且，利用勾股定理得，进而解答即可．
解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
四边形是菱形，且、，
、，且，
，
的周长，
故选：．
5.答案：
解析：解：设大小处于中间的边长是，则最大的边是，最小的边长是．
则，
解得：，
则最短的边长是：．
故选B．
设大小处于中间的边长是，则最大的边是，最小的边长是，根据三角形的周长即可求得，进而求解．
本题考查了三角形的周长，理解三边长的设法是关键．
6.答案：
解析：解：方程移项得：，
配方得：，即，
故选：．
方程常数项移到右边，两边加上配方得到结果，即可做出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7.答案：
解析：解：过点作轴于点，过点作于，交轴于点，如图，
双曲线经过点，
设，则，．
点坐标是，
，．
，，．
菱形的对称中心恰好是原点，
，，．
由勾股定理可得：．
．
即：．
解得：．
，．
．
．
，
．
．
故选：．
过点作轴于点，过点作于，交轴于点，双曲线经过点，设，则，；已知点坐标是，可得，，所以，，；由菱形的对称中心恰好是原点，可得，，；由勾股定理可得：，所以，即：，解得：，可得，，则，；，；利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，结论可求．
本题主要考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的系数的几何意义，勾股定理．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
8.答案：
解析：解：作于，
在中，，
，
点的坐标为，
故选：．
作于，根据正弦、余弦的定义分别求出、，得到点的坐标．
本题考查的是解直角三角形、坐标与图形性质，掌握正弦、余弦的定义是解题的关键．
9.答案：
解析：根据已知条件先求出∽，∽，再根据相似三角形的性质解答．
解：，，∽，∽，
∽，，，故选C．
10.答案：
解析：解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴左侧，
，
抛物线和轴负半轴相交，
，
，故错误；
当时，，
，故错误；
抛物线的顶点为
，
抛物线的对称轴为直线得，
把代入，得，
，
，故正确；
二次函数有最大值为，
，
方程的判别式，
方程有两个相等的实数根，故正确；
故选：．
抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，，抛物线和轴负半轴相交，，则，由抛物线与轴有两个交点得到；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线，则根据抛物线的对称性得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，，则；由抛物线的顶点为得，由抛物线的对称轴为直线得，所以；根据二次函数的最大值问题，当时，二次函数有最大值为，即，，所以说方程两个相等实数根．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．
11.答案：
解析：解：关于的方程有两个相等实数根，
，
．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式即可得出，将其代入中即可得出结论．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
12.答案：
解析：
本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的，计算即可．
解：正方形二维码的边长为，
正方形二维码的面积为，
经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
黑色部分的面积占正方形二维码面积的，
黑色部分的面积约为：，
故答案为．
13.答案：
解析：解：抛物线的顶点坐标为，点向左平移个单位，再向下平移个单位得到对应点的坐标为，所以平移后的抛物线的解析式为．
故答案为．
先确定抛物线的顶点坐标为，根据点平移的规律，点向左平移个单位，再向下平移个单位得到对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
14.答案：两条边相等的三角形为等腰三角形，等腰三角形的三线合一
解析：
本题主要考查了两条边相等的三角形为等腰三角形及等腰三角形三线合一的性质，根据，得出是等腰三角形，然后再根据，由三线合一可得出，即．
解：由题意可知：，
是等腰三角形，
又，
，即．
故答案为两条边相等的三角形为等腰三角形，等腰三角形的三线合一．
15.答案：
解析：解：把代入方程得，
解得．
故答案为．
把代入方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16.答案：
解析：解：是斜边上的中线，，
，
，
根据勾股定理，，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，然后根据三角函数的定答．
本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边应熟练掌握．
17.答案：
解析：解：画树状图如图：
共有个等可能的结果，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的结果有个，
其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有个等可能的结果，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题主要考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
18.答案：
解析：
本题考查了三角形的重心，掌握三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的倍，等高的三角形的面积等于底边的比是解题的关键．
根据三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的倍可得，再根据等高的三角形的面积等于底边的比求出的面积．
解：中线、相交于点，
是的重心，
，
，
．
故答案为：．
19.答案：
解析：解：设线段，则，，
，
．
故答案是：．
设线段，则可求出、，再根据三角形的面积公式得出的面积，代入数值计算即可．
此题考查了反比例函数的的几何意义，三角形的面积公式，解答本题的关键是表示出线段、、的长度，难度一般．
20.答案：解：原式
；
原式
．
解析：先把二次根式化为最简二次根式，然后利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算；
先根据绝对值的意义、负整数指数幂的意义计算，然后化简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
21.答案：解：原式
．
解析：直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22.答案：
解析：解：该班的总人数为人，
扇形统计图中实践类对应的圆心角是，旅游的人数为人，
补全图形如下：
故答案为：、；
画树状图如下：
由上图可知，共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、丙两位同学的结果有种．
所以恰好选中甲、丙的概率为．
先根据阅读的人数及其所占百分比求得总人数，用乘以实践类人数所占比例可得其圆心角度数，根据各类型人数之和等于总人数求得旅游类人数可补全图形；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出恰好选中甲、丙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
23.答案：解：过点作于，设，
在中，，
．
在中，，
，，
，
即，
解得．
答：这条河的宽度约为．
解析：过点作于，构造直角三角形，设，列出关于的比例式，再根据三角函数的定答即可．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数的定义等知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
24.答案：
解析：解：，
，
，
在上，
，
故答案为，．
将反比例函数的图象向上平移个单位长度，所得的图象的函数解析式为．
故答案为．
如图中，作轴于轴于．
易知≌，
，设点坐标为，
，
，
故答案为．
作轴于，轴于，如图中，
在中，，
在中，，
而，
所以，
而，解得，，
则，，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
所以直线的解析式为．
，，，
点到直线的距离．
根据点坐标，利用待定系数法求出，再求出的坐标即可；
将反比例函数的图象向上平移个单位长度，所得的图象的函数解析式为；
如图中，作轴于轴于由≌，推出，设点坐标为，可得，即；
作轴于，轴于，如图，在中，，在中，，而，所以，又，于是可解得，，从而得到，，然后利用待定系数法求直线的解析式，求出、坐标即可解决问题；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25.答案：
解析：证明：过点作，交的延长线于点，如图．
，，，
．
四边形是矩形．
，．
，
．
在和中，
．
≌．
，
．
证明：过点作，交的延长线于点，如图．
，，，
．
四边形是矩形．
，，．
，
．
，
∽．
．
，．
．
故答案为：．
过点作，交的延长线于点，如图．
由得：，，，．
．
在中，
，
．
．
解得：．
，，
，．
，
∽．
．
．
．
，
．
∽．
．
．
．
．
的长为．
过点作，交的延长线于点，如图，易证四边形是矩形，从而有，，进而证到≌，则有，就可证到．
过点作，交的延长线于点，如图，易证四边形是矩形，则有，，，进而可证到∽，根据相似三角形的性质可得，，进而可证到．
过点作，交的延长线于点，如图利用中的结论可证到，在中运用勾股定理可求出长，进而可求出、、、、的长．然后可通过证明∽求出的长，再通过证明∽求出的长，就可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，而利用条件构造相似三角形包含全等三角形是解决本题的关键．
26.答案：解：设共有个队参加比赛，则每队要参加场比赛，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：共有个队参加足球联赛．
解析：设共有个队参加比赛，则每队要参加场比赛，根据共要比赛场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27.答案：解：在中，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
由题意得：，
当经过点时，如图，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，与重叠部分图形的面积为四边形的面积，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
在中，，
，
，
，
，
；
当在边上时，如图，
，
由得：
；
当时，如图，与重叠部分图形的面积为四边形的面积，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理得：，
，
；
，，，
当：：时，，
即，解得：，，
当：：时，，
即，解得：，，
则的长是或；
分两种情况：
当的中垂线过点时，如图，即是的中垂线，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形，
，
，
，
当的中垂线过时，如图，连接，则，
，
，
在中，，
解得：，
综上所述，的垂直平分线经过的顶点时的值是或．
解析：分别求出和的长，相加即可；
当经过点时，如图，根据列式得：；当在边上时，如图，由得：，；再分两种情况分别计算重叠四边形的面积即可；
当将的面积分成：两部分时，要分两种情况：当：：和当：：时，分别代入中列等式可求得的值；
分两种情况：
当的中垂线过点时，如图，根据列等式得结论，
当的中垂线过时，如图，则，在中，列方程，解出即可．
本题是三角形的综合题，考查了动点运动问题、勾股定理、平行四边形和菱形的性质和判定、三角函数及各类图形面积的求法，比较复杂，尤其是第二问，计算重叠部分图形面积时，一要先求特殊位置时的值，二要利用数形结合的思想，先观察图形的特点，再确定面积的求法．
28.答案：解：
在中，令可得，
，
与关于轴对称，
，
令可得，解得，，
，
设解析式为，则，解得，
直线解析式为；
，
，，
是平行四边形，
，
，
当点在上运动时，
解得舍去，，
当时，四边形为平行四边形；
由可知，且，，
，，，
当以点为直角顶点时，则有，
，解得，，
点坐标为舍或；
当以为直角顶点时，同理可求，，
点坐标为或；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
解析：可先求得点坐标，再根据对称可求得点坐标，再结合抛物线解析可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
用点坐标可分别表示出、的坐标，利用平行四边形的性质可得到关于的方程，可求得的值；
由中点的坐标，利用勾股定理可分别表示出、、，再利用直角三角形的判定可得到关于的方程，可求得点的坐标．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识点．在中求得、坐标是解题的关键，在中用表示出的长是解题的关键，在中用分别表示出、的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
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