2016年中考数学模拟试题分类汇编专题23:直角三角形与勾股定理(含答案...

一．选择题

1．（2016·天津北辰区·一摸）用48 m长的篱笆在空地上围成一个正六边形绿地，绿地的面积是（    ）.

（A）                          （B）     

（C）                          （D）

答案：A

2．（2016·天津北辰区·一摸）如图，在Rt△中，∠，，点是的中点，点，是，边上的动点，且，连接. 有下列结论：

①； ② 四边形面积为1；③ 点到距离的最大值为. 其中，正确的个数是（    ）.

（A）                               （B） 

（C）                               （D）

答案：D

3．（2016·天津南开区·二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处.若AD=3，BC=5，则EF的值是（    ）

A．    B．2    C．    D．2

考点：三角形中的角平分线、中线、高线

答案：A

试题解析：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，

作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ABHD为矩形，

∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，

在Rt△DHC中，DH==2，∴EF=DH=．故选：A．

4．（2016·天津市南开区·一模）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】旋转的性质．

【专题】压轴题．

【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD中利用正切的定义得到tan∠PCD=tan30°=，于是可得=．

【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，

∴CD=AD=DB，

∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，

∵∠EDF=90°，

∴∠CPD=60°，

∴∠MPD=∠NCD，

∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），

∴∠PDM=∠CDN=α，

∴△PDM∽△CDN，

∴=，

在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，

∴=tan30°=．

故选C．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．

5、（2016泰安一模）如图，以点P为圆心，以为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为（　　）

A．（4，）    B．（4，2）    C．（4，4）    D．（2，）

【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．

【分析】过点P作PC⊥AB于点C，利用垂径定理以及结合点A和点B的坐标即可得出点C的坐标，即可得出AC的长度，从而可得出PC的长度，且点P位于第一象限，即可得出P的坐标．

【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C；

即点C为AB的中点，

又点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），

故点C（4，0）

在Rt△PAC中，PA=，AC=2，

即有PC=4，

即P（4，4）．

故选C．

6、（2016枣庄41中一模）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（　　）

A．100m    B．100m    C．150m    D．50m

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】根据题意可得=，把BC=50m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可．

【解答】解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，

∴=，

∵BC=50m，

∴AC=50m，

∴AB==100m，

故选：A．

7、（2016枣庄41中一模）如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（　　）

A．等于24    B．最小为24    C．等于48    D．最大为48

【考点】垂径定理；勾股定理；梯形中位线定理．

【分析】过圆心O作OE⊥CD于点E，则OE平分CD，在直角△ODE中利用勾股定理即可求得OE的长，即梯形DMNC的中位线，根据梯形的面积等于OE•CD即可求得．

【解答】解：过圆心O作OE⊥CD于点E，

连接OD．则DE=CD=×6=3．

在直角△ODE中，OD=AB=×10=5，

OE===4．

则S四边形DMNC=OE•CD=4×6=24．

8．(2016·浙江金华东区·4月诊断检测若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均为整数，则符合这样条件的直角三角形的个数为（  ▲  ）

A．3                   B．4                   C．6                   D．无数多

答案：B

9. (2016·陕西师大附中·模拟)如图，OA⊥OB，等腰直角△CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°， 将△CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（    ）

    A .       B.           C.           D.      

第9题图

【答案】C

10. （2016·广东东莞·联考）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）

A．2a2    B．3a2    C．4a2    D．5a2

【考点】正多边形和圆；等腰直角三角形；正方形的性质．

【分析】根据正八边形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，进而得出AC=BC=a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可．

【解答】解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，

∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，

∴sin45°===，

∴AC=BC=a，

∴S△ABC=×a×a=，

∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2．

正八边形中间是边长为a的正方形，

∴阴影部分的面积为：a2+a2=2a2，

故选：A．

【点评】此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键．

11. （2016·广东河源·一模）如图，点A的坐标为(－， 0)， 点B在直线＝上运动.当线段AB最短时，点B的坐标为（     ）

A．                 B.  

C．              D． 

二．填空题

1．(2016·山西大同 ·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4.将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=_______

答案：5

2．（2016·天津北辰区·一摸）在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，点P，Q分别为线段AB，AC上的动点．

（Ⅰ） 如图（1），当点P ，Q 分别为AB，AC 中点时，PC+PQ的值为_________；

（Ⅱ）当PC+PQ取得最小值时，在如图（2）所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PC，PQ，简要说明点P和点Q的位置是如何找到的______．

答案：①；

② 如图所示，取格点E，F，连接EF 交AB于点P，交AC 于点Q.此时，PC+PQ 最短.

3．（2016·天津市南开区·一模）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为　80π﹣160　．

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．

【专题】压轴题．

【分析】首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．

【解答】解：连接AC，

∵AE丄EF，EF丄FC，

∴∠E=∠F=90°，

∵∠AME=∠CMF，

∴△AEM∽△CFM，

∴，

∵AE=6，EF=8，FC=10，

∴，

∴EM=3，FM=5，

在Rt△AEM中，AM==3，

在Rt△FCM中，CM==5，

∴AC=8，

在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8•=4，

∴S正方形ABCD=AB2=160，

圆的面积为：π•（）2=80π，

∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．

故答案为：80π﹣160．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．

4、（2016泰安一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接OC，AD，若BH：CO=1：2，AD=4，则⊙O的周长等于　8π　．

【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．

【分析】已知BH：CO=1：2，即BH=OH=OC；在Rt△OCH中，易求得∠COH=60°；

由于弧BC=弧BD（垂径定理），利用圆心角和圆周角的关系可求得∠DAB=30°；

在Rt△ADH中，可求得DH的长；也就求出了CH的长，在Rt△COH中，根据∠COH的正弦值和CH的长，即可求出OC的半径，进而可求出⊙O的周长．

【解答】解：∵半径OB⊥CD，

∴，CH=DH；（垂径定理）

∵BH：CO=1：2，

∴BH=OH=OC；

在Rt△OCH中，OH=OC，

∴∠COH=60°；

∵，

∴∠DAH=∠COH=30°；（圆周角定理）

在Rt△AHD中，∠DAH=30°，AD=4，则DH=CH=2；

在Rt△OCH中，∠COH=60°，CH=2，则OC=4．

∴⊙O的周长为8π

5. (2016·山东枣庄·模拟)如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为　5　．

【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．

【分析】根据正方形性质得出AD=BC=CD=AB，根据面积求出EM，得出BC=4，根据勾股定理求出即可．

【解答】解：

过E作EM⊥AB于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=CD=AB，

∴EM=AD，BM=CE，

∵△ABE的面积为8，

∴×AB×EM=8，

解得：EM=4，

即AD=DC=BC=AB=4，

∵CE=3，

由勾股定理得：BE===5，

故答案为：5．

【点评】本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出BC的长，难度适中．

6．(2016·上海浦东·模拟)如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1:，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为     18     米．

7. (2016·陕西师大附中·模拟) 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是          

8．(2016·上海浦东·模拟)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将

△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是         

9．(2016·上海普陀区·一模)某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是　8　米．

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．

【解答】解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，

∵∠ABD=45°，

∴AD=BD，

∵AB=4，

∴AD=BD=ABsin45°=4×=4，

∵坡度i=1：，

∴==，

则DC=4，

故AC==8（m）．

故答案为：8．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及解直角三角形的应用等知识，正确得出DC，AD的长是解题关键．

10. （2016·上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷）如图，AB∥DE，△ACB是等腰直角三角形，且∠C= 90°，CB的延长线交DE于点G，则∠CGE=   ▲   度. 

答案：135；

11. （2016·湖南湘潭·一模）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO,P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°,

则当△PAB为直角三角形时，AP的长为            ．

  答案：2、或

解析：如图，分三种情况讨论：

图（1）中，∠APB=90°，

      ∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2,

      又∠AOC=60°, ∴△APO是等边三角形，

∴AP=2； 图（2）中，∠APB=90°，

 ∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2, 

又∠AOC=60°, ∴∠BAP=30°, 

在Rt△ABP中，AP=cos30°×4= .

      图（3）中，∠ABP=90°, ∵BO=AO=2 , ∠BOP=∠AOC=60°,

     ∴PB=, ∴AP=∴AP的长为2，或

12. （2016·河大附中·一模）在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点A'处，当△A'CD是直角三角形时，AP的长为        .

第题

答案：2或

三．解答题

1．（2016·天津南开区·二模）如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．

(1)求点C与点A的距离（精确到1km）；

(2)确定点C相对于点A的方向．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

考点：直角三角形与勾股定理

答案：见解析

试题解析：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，∠ABE=∠BAF=15°，

由图得，∠ABC=∠EBC﹣∠ABE=∠EBC﹣∠BAF=75°﹣15°=60°，

在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，∴BD=50，AD=50，∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC==100≈173（km）．答：点C与点A的距离约为173km．

（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100）2=40000，BC2=2002=40000，

∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．

答：点C位于点A的南偏东75°方向．

2．（2016·天津市南开区·一模）如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．

（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；

（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，P是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．

（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．

【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，

∵AB是⊙O的直径且P是的中点，

∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，

又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，

∴PA===．

（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，

∵P点为弧BC的中点，

∴OP⊥BC，∠OMB=90°，

又因为AB为直径

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠OMB，

∴OP∥AC，

∴∠CAB=∠POB，

又因为∠ACB=∠ONP=90°，

∴△ACB∽△0NP

∴=，

又∵AB=13 AC=5 OP=，

代入得 ON=，

∴AN=OA+ON=9

∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36

在Rt△ANP中 有PA===3

∴PA=3．

【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．

3．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)平面直角坐标系中，有A、B、C三点，其中A为原点，点B和点C的坐标分别为（5，0）和（1，2）．

（1）证明：△ABC为Rt△．

（2）请你在直角坐标系中找一点D，使得△ABC与△ABD相似，写出所有满足条件的点D的坐标，并在同一坐标系中画出所有符合要求的三角形．

（3）在第（2）题所作的图中，连接任意两个直角三角形（包括△ABC）的直角顶点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，求取到长度为无理数的线段的概率．

【考点】相似形综合题；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式．

【专题】综合题；分类讨论．

【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于H，如图1，只需运用勾股定理求出AB2、AC2、BC2，然后运用勾股定理的逆定理就可解决问题；

（2）△ABC与△ABD相似，对应关系不确定，故需分六种情况（①若△ABC∽△ABD，②若△ABC∽△BAD，③若△ABC∽△ADB，④若△ABC∽△DAB，⑤若△ABC∽△BDA，⑥若△ABC∽△DBA）讨论，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；

（3）图中的直角三角形的直角顶点有A、B、C、D1、D2、D3，只需求出任意两直角顶点的连线段的条数和长度为无理数的线段的条数，就可解决问题．

【解答】解：（1）过点C作CH⊥x轴于H，如图1，

∵A（0，0），B（5，0），C（1，2），

∴AC2=12+22=5，BC2=（5﹣1）2+22=20，AB2=52=25，

∴AB2=AC2+BC2，

∴△ABC为Rt△；

（2）①若△ABC∽△ABD，则有D1（1，﹣2）；

②若△ABC∽△BAD，则有D2（4，﹣1），D3（4，1）；

③若△ABC∽△ADB，则有D4（5，﹣10），D5（5，10）；

④若△ABC∽△DAB，则有D6（5，﹣2.5），D7（5，2.5）；

⑤若△ABC∽△BDA，则有D8（0，﹣10），D9（0，10）；

⑥若△ABC∽△DBA，则有D10（0，﹣2.5），D11（0，2.5）；

所有符合要求的三角形如图所示．

（3）图中的直角三角形的直角顶点有A、B、C、D1、D2、D3．

任意两直角顶点的连线段共有=15条，

其中AB=5，CD1=D2D3=4，CD2=D1D3=5，CD3=D1D2=3，

故长度为有理数的线段共7条，长度为无理数的线段共，

则取到长度为无理数的线段的概率为p=．

【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性质、概率公式等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键．

4. (2016·陕西师大附中·模拟) (5分)如图，已知线段。只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB=，BC=（要求保留作图痕迹，不必写出作法）

5. （2016·辽宁丹东七中·一模）（12分）已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．

　　(1)若点D在边AC上，点E在边AB上，且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；

(2)如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么(1)中的结论是否仍成立？

如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

　　　　　　　　　图①　　　　　　　　　　　　　　　　 图②

1.(1)BM⊥DM且BM＝DM

在Rt△ABE中，M是斜边CE的中点，∴BM＝EC，同理可得DM＝CE

∴BM＝DM

∵BM＝CM＝EC，∴∠MCB＝∠MBC

∵∠EMB＝∠MBC＋∠MCB

∴∠EMB＝2∠MCB，同理，∠DME＝2∠DCM

∴∠EMB＋∠DME＝2∠MCB＋2∠DCM

                ＝2（∠MCB＋∠DCM﹚＝2∠BCA

∵AB＝AC∴∠A＝∠ACB＝45º∴∠DMB＝2×45º＝90º

∴DM⊥BM

（2）

延长DM至N，使DM＝MN，连接CN，BD，BN

易证△EDM≌△CNM   ∴CN＝DE      ∵AD＝DE    ∴DE＝CN

易证∠DEC＋∠ECA＋∠DAC＝90º    ∴∠DEC＋∠ECA＋45º－∠BAD＝90º

∴∠NCM＋45º－∠BCM－∠BAD＋45º＝90º           ∴∠NCM－∠BCM＝∠BAD，即∠BCN＝∠BAD      ∴易证△BAD≌△BCN      ∴BD＝BN

∵DM＝MN        ∴BM⊥DM

又∵易证△DBN为Rt△，∴BM＝DM＝DN。

6. （2016·广东·一模）（本题满分10分）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．

理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；

（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；

（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．

解：（1）如图1所示（画2个即可）．

（2）如图2，连接AC，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，

在Rt△ADB和Rt△ACB中，

    ∴Rt△ADB≌Rt△ACB，∴AD=BC，

又∵AB是⊙O的直径，∴AB≠CD，∴四边形ABCD是对等四边形．

（3）如图3，点D的位置如图所示：

①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；

②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，

过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，

设BE=x，∵tan∠PBC=，∴AE=，

在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即，解得：x1=5，x2﹣5（舍去），

∴BE=5，AE=12，∴CE=BC﹣BE=6，

由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，，∴，，

综上所述，CD的长度为13、12﹣或12+．

6. （2016·广东深圳·一模）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD垂足为E．

（1）求证：△ABE∽△DBC；

（2）求线段AE的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形．

【专题】压轴题．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又∵∠AEB=∠C=90°，利用“AA”可证△ABE∽△DBC；

（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE．

【解答】（1）证明：∵AB=AD=25，

∴∠ABD=∠ADB，

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠ABD=∠DBC，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB=∠C=90°，

∴△ABE∽△DBC；

（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，

∴BE=DE，

∴BD=2BE，

由△ABE∽△DBC，

得，

∵AB=AD=25，BC=32，

∴，

∴BE=20，

∴AE=．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理解题．