2018-2019学年四川省内江市高二上学期期末检测数学(理)试题

2018-2019学年四川省内江市高二（上）期末

数学试卷（理科）

★祝考试顺利★

注意事项：

1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（　　）

A.     B.     C.     D. 1，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据空间坐标的对称性进行求解即可．

【详解】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数， 

即点A关于坐标原点对称的点的坐标为， 

故选：D．

【点睛】本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键．比较基础．

2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（　　）

A. 45    B. 54    C. 90    D. 126

【答案】C

【解析】

【分析】

由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．

【详解】解：A种型号产品所占的比例为，

，故样本容量n=90．

故选：C．

【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．

3.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

A. 56    B. 60    C. 120    D. 140

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．

【详解】根据频率分布直方图，200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，

故200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.

故选：D．

【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．

4.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A. 32

B. 

C. 48

D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积．

【详解】解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，

所以该四棱锥的斜高为；

所以该四棱锥的侧面积为

4××4×2=16，

底面积为4×4=16，

所以几何体的表面积为16+16．

故选：B．

【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．

5.右图的正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成的角是（ ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

连接，由正方体的几何特征可得，则即为异面直线与所成的角，连接，易得，为正三角形，故，异面直线与所成的角是，故选C.

【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及正方体的性质，属于中档题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.

6.已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：

①若a⊥b，b⊥c则a∥c；

②若a∥b，b⊥c则a⊥c；

③若a∥β，b⊂β，则a∥b；

④若a与b异面，且a∥β则b与β相交；

其中真命题的个数是（　　）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】

①利用正方体的棱的位置关系即可得出； 

②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c； 

③若a∥β，b⊂β，利用线面平行的性质可得：a与平面β内的直线可以平行或为异面直线； 

④由a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，即可判断出．

【详解】解：①利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确； 

②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确； 

③若a∥β，b⊂β，则a与平面β内的直线可以平行或为异面直线，不正确； 

④∵a与b异面，且a∥β，则b与β相交，平行或b⊂β，故不正确． 

综上可知：只有②正确． 

故选：A．

【点睛】熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键．

7.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（　　）

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．

【详解】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于对称点为在直线上，∴化简得故选答案D． 

解法二：根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线选答案D 

故选：D．

【点睛】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．

8.已知直线 ，直线 ，其中，．则直线与的交点位于第一象限的概率为（ ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

试题分析：的斜率小于斜率时，直线与的交点位于第一象限，此时共有六种：因式概率为，选A．

考点：古典概型概率

【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法

（1）列举法．

（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．

（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．

（4）排列组合法：适用于条件较多且元素数目较多的题目．

9.若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　）

A. 18    B. 20    C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，利用数形结合进行求解即可．

【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，

由图象知，C点到原点的距离最大，

由得，

即C（，），此时x2+y2=，

故选：C．

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用两点间距离的几何意义，以及数形结合是解决本题的关键．

10.与圆和圆都相切的直线条数是（  ）

A. 3    B. 1    C. 2    D. 4

【答案】A

【解析】

圆的圆心为(−2,2),半径为1,圆心是(2,5)，半径为4

故两圆相外切

∴与圆和都相切的直线共有3条。

故选：C.

11.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别  是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．

【详解】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．

三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，

然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，

正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：．

∴球的半径为，

∴球的表面积为.

故选：B．

【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．

12.已知圆O：x2+y2=1，直线l：y=ax+2，在直线l上存在点M，过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则实数a的取值范围是（　　）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，由正方形的性质可得|OM|=，分析可得M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，进而可得若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=，解可得a的取值范围，即可得答案．

【详解】解：根据题意，圆O：x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，

若过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则|OM|=，

则M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，

若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，

则有d=，

解可得：a≤-1或a≥1，

即a的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞）；

故选：B．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及与圆有关的轨迹问题，关键是分析M的轨迹，属于基础题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．

【答案】    (1). 5    (2). 8

【解析】

【分析】

根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．

【详解】根据茎叶图中的数据，得：

∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；

又∵乙组数据的平均数为16.8，

∴16.8，

解得：y＝8；

综上，x、y的值分别为5、8．

故答案为：(1). 5    (2). 8

【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．

14.执行如图所示的程序框图若输人x的值为3，则输出y的值为______．

【答案】63

【解析】

【分析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】解：模拟程序的运行，可得 

x=3 

y=7 

不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15 

不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31 

不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63 

此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y的值为63． 

故答案为：63．

【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

15.在平面直角坐标系xOy中，以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．

【答案】（x-2）2+y2=8

【解析】

【分析】

根据题意，将直线的方程变形，分析可得其恒过点（4，-2），结合直线与圆的位置关系可得以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，求出圆的半径，结合圆的标准方程分析可得答案．

【详解】解：根据题意，直线ax-y-4a-2=0，即y+2=a（x-4），恒过定点（4，-2），设P为（4，-2） 

设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（2，0）， 

分析可得：以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（a∈R）相切的所有圆中，半径最大为CP， 

此时r2=|CP|2=（4-2）2+（-2-0）2=8， 

则要求圆的方程为（x-2）2+y2=8， 

故答案为：（x-2）2+y2=8．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，注意分析直线所过的定点，属于基础题．

16.正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为______．

【答案】2+．

【解析】

【分析】

过G做一个平面与面AEF平行，且与正四棱锥的表面相交，交线之和即为动点P的轨迹的周长．

【详解】解：取SB，AB中点H，P，连接HG，PC，取PB中点Q，连接HQ，GQ，

因为E、F分别为SD，CD中点，所以EF∥SC，SC∥HG，所以HG∥EF，HG不在面AEF内，所以HG∥面AEF．

因为QG是中位线所以QG∥PC，PC∥AF，所以QG∥AF，因为QG不在面AEF 内，所以QG∥面AEF，因为HG∩QG=G，所以面HQG∥面AEF．

动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为△HQG的周长．

正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，高为4，所以QG=，HG=，SP=2，HQ=，所以动点P的轨迹的周长为2+．

【点睛】本题考查面面平行的位置关系，属于中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.（1）求经过直线3x+4y-2=0与直线x-y+4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的直线方程；

（2）求过点P（-1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

【答案】（1）2x+y+2=0；（2）3x+y=0或x+y-2=0．

【解析】

【分析】

（1）联立直线方程求出点的坐标，再求出所求直线的斜率，代入直线方程点斜式得答案； 

（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，把点的坐标代入求得a，则直线方程可求．

【详解】解：（1）联立，解得，

∴两直线的焦点坐标为（-2，2），

直线x-2y-1=0斜率为，则所求直线的斜率为-2．

∴直线方程为y-2=-2（x+2），

即2x+y+2=0；

（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；

当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，则-1+3=a，即a=2．

是求直线方程为x+y=2．

∴所求直线方程为3x+y=0或x+y-2=0．

【点睛】本题考查直线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．

18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥平面AB1C．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）由正方形性质得E为B1C的中点，从而DE∥AC，由此能证明DE∥平面AA1C1C． 

（2）由线面垂直得AC⊥CC1，由AC⊥BC，得AC⊥平面BCC1B1，由此能证明BC1⊥平面AB1C．

【详解】证明：（1）因为四边形BB1C1C为正方形，B1C∩BC1=E，所以E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC．

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C．

（2）因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AA1⊥底面ABC

所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1．

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，

所以AC⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC．

因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面AB1C．

【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

19.已知一圆经过点，,且它的圆心在直线上.

（I）求此圆的方程；

（II）若点为所求圆上任意一点，且点,求线段的中点的轨迹方程.

【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．（2）（x﹣）2+（y﹣2）2=

【解析】

试题分析：（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程

试题解析：（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a﹣2），又由已知得|NA|=|NB|， 从而有，解得：a=2．

于是圆N的圆心N（2，4），半径

所以，圆N的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．（6分）

（2）设M（x，y），D（x1，y1），则由C（3，0）及M为线段CD的中点得：，解得：． 又点D在圆N：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10上，所以有（2x﹣3﹣2）2+（2y﹣4）2=10，化简得：

故所求的轨迹方程为

考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系

20.某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．

附：参考公式：=，=．=．

【答案】（1）=0.5x+2.3；（2）预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元.

【解析】

【分析】

（1）根据公式计算可得：=0.5x+2.3．

（2）t=8代入计算可得．

【详解】解：（1）==4，==4.3，

===0.5，

=-×=4.3-0.5×4=2.3，

y关于t的线性回归方程为：=0.5x+2.3．

（2）2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番．

当t=8时，y=0.5×8+2.3=6.3千元．

∴预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元．

【点睛】本题考查了线性回归方程，属于基础题．

21.如图：高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=1，AB=3，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．

（1）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？

（2）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．

【答案】（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC；（2）．

【解析】

【分析】

（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC，证明AD∥OP，即可证明AD∥平面MPC,

（2）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离．

【详解】解：（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC．

连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC=1，MB=2，

又∵DC∥MB，∴△MOB∽△COD，

∴OB：OD=MB：DC，∴OB=2OD，

∵PB=2PA，

∴OP∥AD，

∵AD⊄平面MPC，OP⊂平面MPC，

∴AD∥平面MPC；

（2）由题意，AM⊥MD，平面AMD⊥平面MBCD，∴AM⊥平面MBCD，

∴P到平面MBC的距离为，

△MBC中，MC=BC=，MB=2，∴MC⊥BC，

∴S△MBC=×=1，

△MPC中，MP==CP，MC=，

∴S△MPC=×=．

设点B到平面MPC的距离为h，

则由等体积可得，

∴h=．

【点睛】本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

22.已知圆O：x2+y2=2，直线．l：y=kx-2．

（1）若直线l与圆O相切，求k的值；

（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；

（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．

【答案】（1）k=±1；（2）（-）∪（1，）；（3）直线CD过定点（）．

【解析】

【分析】

（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，由此能求出k．

（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围．

（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y2=2上，求出直线CD：（x+）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD过定点（）．

【详解】解：（1）∵圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2．直线l与圆O相切，

∴圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，

即d==，

解得k=±1．

（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，整理，得（1+k2）x2-4kx+2=0，

∴，，

△=（-4k）2-8（1+k2）＞0，即k2＞1，

当∠AOB为锐角时，

=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）

=

=＞0，

解得k2＜3，

又k2＞1，∴-或1＜k＜．

故k的取值范围为（-）∪（1，）．

（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，

设P（t，），其方程为x（x-t）+y（y）=0，

∴，

又C，D在圆O：x2+y2=2上，

两圆作差得lCD：tx+，即（x+）t-2y-2=0，

由，得，

∴直线CD过定点（）．

【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．